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4.3探索三角形全等的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．如图，为了测量池塘两侧两点间的距离，在地面上找一点，连接，使．然后在的延长线上确定点，使，连接．测量的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．如图所示，中，，则由“”可以判定（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
5．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，已知中，，，分别是边的中点，，边上的动点，的最小值为（　　）
A．7.5 B．6 C．4 D．不能确定
7．如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点，已知，，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．下列图形中有稳定性的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形
C．长方形 D．平行四边形
9．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③
10．如图，已知线段米，于点A，米，射线于，点从点向A运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（ ）
A．5 B．5或10 C．10 D．6或10
11．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1：，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
12．如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（ ）时，与全等．
A．3 B．4 C．5 D．3或5
二、填空题
13．如图，，，点，则点B的坐标是 ．
14．如图，四边形是正方形， 和都是直角，且点E、A、B三点共线，若，则阴影部分的面积是 ．
15．将三边长分别为3、4、5的两个全等的直角三角形的斜边重合，且使得两个直角顶点落在重合斜边的异侧，则这两个直角顶点之间的距离是 ．
16．如图，，于D点，E、F为AD上的点，则图中共有 对全等三角形．
17．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝ ．
三、解答题
18．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．
（1）如图1，求证AE⊥BF；
（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；
19．如图，O为□ABCD 的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形 请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
20．如图，，求证：．
21．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝3厘米，DA＝DC＝4厘米，∠DAB＝∠DCB＝90°，点P从A点开始沿射线AB方向运动，点Q从点C开始沿射线BC方向运动，P、Q两点运动速度均为1厘米/秒，两点同时运动．
（1）在P、Q两点运动过程中，请问∠PDQ的大小是否发生变化？请说明理由；
（2）当点P在线段AB上运动时（如图1），请求出四边形PDQB的而积；
（3）如图2，P点运动到AB延长线上，设DP与线段BC的交点为E．
①当P、Q运动了多少秒时，S△CDE=S△BPE．
②当P、Q运动了多少秒时，第①小问中两个三角形的面积差为（3﹣）平方厘米．
22．如图，已知点是的中点，CD//BE，且．
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）若，求∠B的度数．
23．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，．
(1)求证：；
(2)求两堵木墙之间的距离．
24．如图，和均为等腰直角三角形，其中．试说明：．
《4.3探索三角形全等的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A D B D A C A
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件．
【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等，
带③去就可以，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据即可证明，根据全等可知，即可得到答案．
【详解】由题意可得
，
，
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“”证明，即可求解．
【详解】解：因为，
所以．
故选B．
4．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据尺规作图可知，可证，得到，即可得到结论．
【详解】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得，
，
，
，
故选：A ．
5．D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．
6．B
【分析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．
【详解】
如图：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CE，
∵，，
∴∠C=∠CBA=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
7．D
【分析】本题考查了垂直的应用，对顶角的性质，三角形全等的判定和性的应用，熟练掌握全等是解题的关键．
根据，，得，得到，结合，得，设，利用三角形全等证明计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则
∵，
∴，
∴
解得．
即
故选：D．
8．A
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性依次判断即可解答．
【详解】解：正方形、长方形、平行四边形具有不稳定性，具有稳定性的是等腰三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题，需熟记．
9．C
【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．
由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误．
【详解】解：∵E、F分别是上的任意点，
∴与不一定相等，故①错误；
∵于点于点D，
∴，
∵，
∴的另一个条件是，
∵与不一定相等，
∴与不一定全等，故②错误；
延长到点G，使，连接，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴平分，故③⑤正确；
若平分，而，
∴，与题干信息矛盾，故④错误；
故选C
10．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
分和两种情况，分别根据全等三角形的性质确定出时间即可．
【详解】解：设出发时间为x秒，由题意得：，
当时，，即，解得：；
当时，米，
此时所用时间为10秒，，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等．
故选A．
11．D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：方案Ⅰ：在与中，
，
∴，
∴；
方案Ⅱ：在与中，
，
∴，
∴，
故选：D．
12．C
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分情况讨论．
首先根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，设运动时间为t，则，，，然后表示出，，，然后根据题意分两种情况讨论：和，然后分别根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，
设运动时间为t，则，，
∴，，
∵
∴
∴当时
∴，
∴，
∴，
∴当时
∴，
∴，
∴（不合题意，舍去），
综上所述，当的值为5时，与全等．
故选：C．
13．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．
过C和B分别作轴于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【详解】解：过C和B分别作轴于D，于E，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴则B点的坐标是．
故答案为：．
14．2
【分析】由正方形的性质可得AC=AF，∠CAF=90°，由“AAS”可证△ACE≌△FAB，可得CE=AB=2，即可求解．
【详解】解：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC=AF，∠CAF=90°，
∴∠CAE+∠FAB=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠FAB，且∠E=∠ABF，AC=AF，
∴△ACE≌△FAB（AAS），
∴CE=AB=2，
∴S阴影=×AB×CE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明CE=AB是本题的关键．
15．5或
【分析】分两种情况讨论，根据勾股定理和全等三角形的判定与性质即可得出结论．
【详解】解：分两种情况讨论：
三角形和重合，如图所示：
；
连接与AB交于D，如图所示：
在和中，
，
，
又，
，
，
故答案为：5或．
【点睛】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识．
16．6
【分析】由AB=AC且AD⊥BC，可知AD为BC的垂直平分线，可得到EB=EC，FB=FC，再结合全等三角形的判定方法可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD为BC的垂直平分线，BD=CD，∠BAD=∠CAD
∴EB=EC，FB=FC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
同理可得△EBD≌△ECD，△ABE≌△ACE，△FBD≌△FCD，△ABF≌△ACF，△FBE≌△FCE，
∴共有6对三角形全等，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
17．
【分析】过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长．
【详解】解：过点作于，过点作于，连接，如图，
设，
，
，，
点为弧的中点，
，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和△中
，
△，
，，
，
，解得，
．
故答案为4．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
18．（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=BC，，用SAS证明，得，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；
（2）过点B作，交AN于点H，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS证明，得，根据角平分线性质得，则是等腰直角三角形，用SAS证明，得AH=CN，在中，根据勾股定理即可得；
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC，，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，过点B作，交AN于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AC，，
∵，
，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴,
∴，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵AN平分，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴BH=BN，
在和中，
∴（SAS），
∴AH=CN，
在中，根据勾股定理
，
∴；
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
19．（1）有4对全等三角形．分别为，，，；（2）见解析．
【分析】（1）有4对全等三角形，分别为，，，；利用平行四边形的性质，可证得；；再由OE=OF，可证得；，即可求解；
（2）先证得，可得，再根据平行四边形的性质，可得，即可求证．
【详解】解：（1）有4对全等三角形，分别为，，，；证明如下：
在 中，
∴ ，
∵O为□ABCD 的对角线AC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴；
∵OE=OF， ， ，
∴；
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴；
在 中，
，
∵ ，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．见解析
【分析】本题全等三角形的判定和性质，连接，证明，即可得出结论．
【详解】证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴．
21．（1）∠PDQ的大小不发生变化，总等于∠ADC；（2）四边形PDQB的而积为12平方厘米；（3）①P、Q运动了6秒时，S△CDE=S△BPE；②当秒或秒时，S△BPE与S△CDE的差为（3﹣）平方厘米．
【分析】（1）根据SAS证DAP≌△DCQ，推出∠ADP=∠CDQ，即可求出∠PDQ=∠ADC；
（2）求出四边形PDQB的面积=四边形ABCD的面积，求出四边形ABCD的面积即可；
（2）①S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，根据三角形面积公式得出方程，求出方程的解即可；
②得出S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，根据三角形面积公式得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）∠PDQ的大小不发生变化，
理由是：∵∠A=∠DCB=∠DCQ=90°，由已知得出AP=CQ，
∴在△DAP和△DCQ中，
，
∴△DAP≌△DCQ（SAS），
∴∠ADP=∠CDQ，
∴∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP=∠ADC，
即∠PDQ的大小不发生变化，总等于∠ADC；
（2）∵△ADP≌△DCQ，
∴S△ADP=S△DCQ，
∴四边形PDQB的面积是：
S四边形PDQB=S四边形PDCB+S△CDQ
=S四边形PDCB+S△ADP
=S四边形ABCD
=×3×4+×3×4
=12(平方厘米)；
（2）①连接BD，
设P、Q运动了t秒时，S△CDE=S△BPE，
∵S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB，
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，
∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4，
×3×4-×（t-3）×4=0，
解得t=6，
即P、Q运动了6秒时，S△CDE=S△BPE；
②连接BD，
设P、Q运动了t秒时，S△CDE-S△BPE=3-(平方厘米)，
∴AP=CQ=t，
∴S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB，
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，
∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4，
∴S△DCB=×3×4=6，S△PDB=×（t-3）×4=2（t-3），
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=6-2（t-3）=3-．
解得(秒)，
或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB=2（t-3）-6=3-．
解得(秒)，
综上，当秒或秒时，S△BPE与S△CDE的差为（3﹣）平方厘米．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△CBE；
（2）根据三角形内角和定理求得∠ACD，再根据三角形全等的性质得到∠B=∠ACD．
【详解】（1）∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD//BE，
∴，
在△ACD和△CBE中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是根据SAS证明△ACD≌△CBE．
23．(1)见解析
(2)两堵木墙之间的距离为
【分析】本题考查全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
（1）根据直角三角形的性质证明，进而可以得到结论；
（2）由题意得，，结合（1）知，得，，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：，，
，
又，
，，
，
在和中，
，
（2）解：由题意得：，，
，
∴，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
24．见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
根据等腰直角三角形的性质得，，，利用证得即可得出结论．
【详解】证明：因为和均为等腰直角三角形，
所以，，，
所以，
即．
在和中，
，
所以，
所以．
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