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4.4利用三角形全等测距离
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，增加下列条件可以判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知≌，则的对应边是（ ）
A． B． C． D．
3．芜湖古城内的建筑多为徽派建筑，这种建筑风格以其独特的榫卯结构而闻名．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图所示，将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则木楔的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（ ）
A．88 B．70 C．88或62 D．18或70
7．如图，线段，相交于点，若，为了直接使用“”判定，则应补充条件（ ）
A． B． C． D．
8．若，且的周长为6，则的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（ ）
A．2 B．2.8 C．3 D．6
10．如图，和交于O，如，用证明还需添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
11．在外部取一点，得和全等，下面是两名同学的作法：
甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．
以下说法正确的是（ ）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
12．下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，，
二、填空题
13．如图，D在上，E在上，且，要说明．
（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ．
14．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
此时，测得DE的长度为15米，则河宽 米.
15．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是
16．如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是 ．（只需填一种情况）
17．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“AAS”证明△AOB≌△DOC还需增加条件 ．
三、解答题
18．综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师提出了如下问题：
如图1，在四边形中，，，E是上一点，连接，，，，求证：是等腰直角三角形．
问题探究：
(1)请解答老师提出的问题．
(2)“智慧小组”的同学把老师提出的问题进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由．
(3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，C，E在直线上，，，若，，直接写出的长．
19．如图，小北在公园玩双层型滑梯，每层楼梯的高度相同，都为2米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案：
课题 探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具 长度为5米的卷尺
测量步骤 ①测量出线段的长度； ②测量出线段的长度
测量数据 米，米
(1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由；
(2)猜想左右两个滑梯和所在直线的位置关系，并加以证明．
20．如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD

(1)请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是：　 　或　 　；
(2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由．
21．命题：如图，已知，共线，（1），那么．
(1)从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；
(2)根据你选择的条件，判定的方法是________；
(3)根据你选择的条件，完成的证明．
22．如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度．
23．如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______，
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
24．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
《4.4利用三角形全等测距离》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B C D C D C C
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】利用全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
A、添加，无法判定，故本选项错误，不符合题意；
B、添加，可利用角边角判定，故本选项正确，符合题意；
C、添加，无法判定，故本选项错误，不符合题意；
D、添加，无法判定，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的对应边的定义判断即可．
【详解】解：∵≌，
∴的对应边是．
故选：A ．
3．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质可得出，再结合求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
由题意可知，
∵，
∴，
∴．
故选B．
4．B
【详解】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【分析】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
，
故③符合题意；
④，，，
，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使的条件有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴平分
故①正确；
∵，且，
∴；
故④正确；
∵，
∴A、D都在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
故⑤正确；
∵，
∴，
故②正确；
若平分，则E应为中点，由条件无法得出，
故③不正确；
综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个，
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了全等三角形判定，利用分类讨论的思想求解是解答此题的关键．设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当，时，当，时，列方程即可求解．
【详解】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况：
情况一：当，时，
，，
，
解得：，
；
情况二：当，时，
，，
，
解得：，
，
综上所述，或70．
故选：D
7．C
【分析】由“”判定三角形全等的方法判断即可．
【详解】∵，，
∴使用“”判定，添加的条件应该是．
故选：C．
【点睛】此题考查了“”判断三角形全等的方法，解题的关键是熟练掌握“”判断三角形全等的方法．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质即可直接得出答案．
【详解】解：∵，且的周长为6，
∴的周长也为6，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图-基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．
【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D，
∵，
∴，
∵于E，于F．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则，
由题意得，，
解得；
当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则，
由题意得，，
解得．
综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
10．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
由，加上对顶角相等，再加上，即可利用得证．
【详解】解：还需添加的添加是，
在和中，
，
∴，
则还需添加的添加是，
故选：C．
11．D
【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，
对于①，先根据尺规作图的过程可知，，两边的夹角不相等，所以这两个三角形不全等；对于②，根据平行线的性质得，再根据，可结合“角边角”得出，判断答案即可．
【详解】解：如图所示，
根据题意可知，，
因为两边的夹角不相等，
所以这两个三角形不全等；
如图所示，
∵，
∴．
∵，
∴．
所以甲错误，乙正确．
故选：D．
12．B
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【详解】解：A、3+4=7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；
B、∠A=50°，∠B=30°，AB=2，根据(ASA)能画出唯一△ABC，故此选项正确；
C、∠C=90°，AB=90，不能根据(SA)画出唯一三角形，故本选项错误；
D、AC=4，AB=5，∠B=60°，不能根据(SSA)画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．
（1）根据全等三角形的判定定理得出即可；
（2）根据全等三角形的判定定理得出即可．
【详解】解：（1）条件是，
理由是：在和中，
，
∴，
故答案为：；
（2）条件是，
理由是：在和中，
，
∴，
故答案为：．
14．15
【分析】根据角边角定理证得△CDE≌△CBA，利用全等三角形的性质可证得AB=DE，即可得出答案．
【详解】根据题意可知，在△CDE和△CBA中，
，
∴△CDE≌△CBA，
∴DE=AB,
∵DE=15米，
∴AB=15米，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用、全等三角形的判定与性质，解答的关键是会构造全等三角形，利用全等三角形性质解决实际问题．
15．（或或或）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，
①添加条件为：，
在和中，
，
∴；
②添加条件为：，
在和中，
，
∴；
③添加条件为：，
∴，
在和中，
，
∴；
④添加条件为： ，
在和中，
，
∴；
∴这个条件可以是（或或或）,
故答案为：（或或或）．
16．AB＝AD（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：添加AE＝AD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
故答案为AE＝AD（答案不唯一）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．∠B=∠C
【分析】结合已知和图形分析，已经有一边和一角对应相等，而且角是边的邻角，所以只需再添加这边的对角即可．
【详解】∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，
∴当∠B=∠C时，符合AAS定理，
故答案为：∠B=∠C．
【点睛】本题考查全等三角形“AAS”判定定理，能结合图形分析是解题关键．
18．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)12
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）先运用证明可得，再说明即可证明结论；
（2）由可得，然后根据线段的和差即可解答；
（3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
19．(1)相等，见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用，找出已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解本题的关键．
（1）由已知条件得出，，从而得证，根据全等三角形的对应边相等得证；
（2）由，根据全等三角形的对应角相等得，再根据直角三角形两锐角互余，从而得证．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题意可知，，米，．
在和中
∴（SAS），
∴，即和的长相等；
（2）．证明如下：
如图，延长交于点C．
∵，
∴．
由题意得，
∴
∴，
∴，
∴．
20．(1)∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形判定条件添加一个满足题意的条件即可；
（2）选CE＝DE或者∠A＝∠B均可，利用SAS或AAS证明三角形全等，即可得出结论．
【详解】（1）解：∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE，
（2）方法一：选∠A＝∠B
在△FCA和△FDB中，
，
∴△FCA≌△FDB，
∴FC＝FD，FA＝FB，
∴FB﹣FC＝FA﹣FD ，
即BC＝AD，
方法二：选CE＝DE，
∵AC＝BD，
又∵CE＝DE，
∴AC﹣CE＝BD﹣DE，即AE＝BE，
在△BCE和△ADE中，
，
∴△BCE≌△ADE，
∴BC＝AD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，是开放型题目，答案不唯一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．(1)①
(2)SAS
(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）根据（1）直接填写即可；
（3）利用SAS进行证明．
【详解】（1）解：∵，
∴∠A=∠F，
∵AC=EF，
∴当时，可根据SAS证明；
当时，不能证明，
故答案为：①；
（2）解：当时，可根据SAS证明，
故答案为：SAS；
（3）证明：在△ABC和△FDE中，
，
∴．
【点睛】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
22．或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论：当，，时；当，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解．
【详解】解：如图所示，
当，，时，，
∴，
∴点运动的时间为，
∴点运动的速度为；
如图所示，
当，时，，
∴，
∴点运动的时间为，
点运动的速度为；
综上所述，点运动速度为或．
23．(1)证明过程见解析
(2)16
【分析】（1）若①，利用证明；若②，利用证明；若③，利用证明；
（2）根据，可得，根据即可求解．
【详解】（1）证明：若①
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
若②
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
若③
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
（2）解：∵
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
24．①或③（答案不唯一），证明见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
选择②；
无法证明，
无法得出；
选择③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即；
故答案为：①或③（答案不唯一）
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