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2024-2025学年高二下学期第一次四校联考数学试题
一、单选题
1．设数列的前项和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值
4．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（ ）参考数据：，
A． B． C． D．
5．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设等差数列的前n项和为，且公差不为0，若，，，成等比数列，，则（ ）
A．7 B．8 C．10 D．123
7．已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值
范围是（　　　）
A．[0,) B． C． D．
二、多选题
9．在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为的等差数列
10．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“面对面”义诊活动，每名医生只能到一家企业工作，每家企业至少派1名医生，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．所有不同分派方案共36种
C．若甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D．若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共30种
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．不等式的解集为
C．若恒成立，则 D．若，则
三、填空题
12．曲线过原点的切线方程为 .
13．用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有 种不同的涂色方法.（用数字回答）
14．已知函数，则不等式的解集为 .
四、解答题
15．现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题．
(1)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？
(2)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？
16．已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
17．设数列的前n项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若数列满足，，求数列的前14项的和．
18．已知函数．
(1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围．
19．已知.
(1)求证：当时，；
(2)设.
（ⅰ）求证：数列为递减数列；
（ⅱ）求证：.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C B C C D AD BCD
题号 11
答案 BCD
1．A
根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出.
【详解】数列的前项和，则.
故选：A
2．C
先排5个独唱节目共种；再排舞蹈节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头，从剩下5个空中选3个插空共有种，可得选项.
【详解】第1步，先排5个独唱节目共种；第2步，排舞蹈节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头，从剩下5个空中选3个插空共有种，所以一共有种排法．
故选：C.
3．D
利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负，
不是单调的函数，所以选项A错误，
对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误，
对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误，
对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确，
故选：D.
4．C
根据指数函数模型计算即可.
【详解】由题意，第10代得到的种子数为
故第10代得到的种子数约为
故选：C.
5．B
根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为，，，构造函数，
因为，由，得到，
由，得到，所以在区间上单调递减，
因为，，，
因为，所以，故选项A，C，D错误，选项B正确，
故选：B.
6．C
设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案.
【详解】设公差为，
由题意可得，
即，解得舍去，或，
所以，
可得.
故选：C.
7．C
由题意知是递增数列，，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得.
【详解】由，当时，成立，即数列递增，
则对于任意的，都有.
已知，
则有恒成立，
即对于任意的都成立，
因为当时，，所以.
故选：C.
8．D
【详解】试题分析：因为，所以，选A.
考点：导数的几何意义、正切函数的值域.
9．AD
先根据条件求解出的值，然后根据的单调性求解出，利用，即可判断选项A的正误，对于选项B、C和D，根据条件，先求出，再等差数列、等比数列的定义，即可求解.
【详解】因为是等比数列，所以，
又因为，由，解得或，
又因为数列是递增数列，所以，
对于选项A，因为，所以选项A正确，
对于选项B，因为，所以，所以，
所以不为常数，所以选项B错误，
对于选项C，因为，所以，所以选项C错误，
对于选项D，因为，所以，
所以，则是等差数列，且公差为，所以选项D正确，
故选：AD.
10．BCD
先将四人分成三组，然后分配到三个企业即可判断AB；分企业有两人和企业只有一人，两种情况讨论即可判断C；先求出甲，乙安排到同一家企业的种数，再利用排除法求解即可.
【详解】由题意，所有不同分派方案共种，故A错误，B正确；
对于C，若甲必须到A企业，
若企业有两人，则将其余三人安排到三家企业，每家企业一人，
则不同分派方案有种，
若企业只有一人，则不同分派方案有种，
所以所有不同分派方案共种，故正确；
对于D，若甲，乙安排到同一家企业，
则将剩下的两人安排到另外两家企业，每家企业一人，
则有种不同的分派方法，
所以若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共种，故D正确.
故选：BCD.
11．BCD
对于A，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B，利用选项A中结果，结合，即可求解；对于C，分和两种情况，当时，恒成立，当，根据条件可得，构造函数，求出的最大值，即可求解；对于D，根据条件得到，再结合选项A的结果，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，由，得到，
当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A错误，
对于选项B，由得到，由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且当时，，又，所以的解集为，故选项B正确，
对于选项C，由，得到，当时，恒成立，
当时，由，得到，所以，
令，则，当时，，当时，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，
则，故选项C正确，
对于选项D，由，得到，
则，由选项A知，在区间上单调递增，
所以，则，故选项D正确，
故选：BCD.
12．
设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可求解.
【详解】由得
设切点为，则切线方程为
由于切线经过原点，所以，解得，
所以切线方程为，即，
故答案为：
13．
按照使用了多少种颜色涂色分两类计数，再相加即可得解.
【详解】若四种颜色全部用到，则同色或同色，则共有种；
若只用三种颜色涂色，则同色且同色，共有种，
根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法.
故答案为：.
14．
利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式.
【详解】由得，
所以函数是R上的增函数，
又由得函数是奇函数，
则由得，
所以，
解得.
故答案为：.
15．(1)96；
(2)60.
【详解】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，
再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
（2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
所以用这5个数字能够组成组成个无重复数字的五位偶数；
16．(1)，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最大值为2，最小值为.
【详解】（1），
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为R，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故的最大值为2，最小值为.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），
则，
，得，即，
，即
令中，得，解得，则
是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，则，
，且，
当为偶数时，，即，
，
，
．
18．(1)
(2)当时，在上为减函数，
当时，在上是减函数，在上是增函数．
(3)
【详解】（1）由，求导得，
直线的斜率为，
又函数在点处的切线与直线垂直，
所以，即，解得．
（2）因为，，
所以当时，，所以在上单调递减；
当时，，
令，解得，当，解得，当，解得，
所以时，单调递减，时，单调递增．
综上，可知：当时，在上为减函数，
当时，在上是减函数，在上是增函数．
（3）①若，由（2）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
由于均为上单调递增函数，所以函数在单调递增，
当时，，故当时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，，
由，故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，所以，因此在上有一个零点．
综上，的取值范围为．
19．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由得，
令，则
当时，，所以函数在上单调递增，
又∵，∴，
∴在上单调递增，
∵，∴.
（2）（i）由题意可得：，
令，，即.
令，，
∵，
∴在上单调递减，
∵，∴，
∴，，
∴为递减数列；
（ⅱ）由（i）可知，，
∵，
∴，
由（1）可知，当时，，即，
当时，，
∴,
∴.
又，
∴.

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