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23.3　相似三角形
一、选择题(每小题5分，共30分)　　1.如图，在△ABC中，BC＝15，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB.若AD∶DB＝2∶3，则线段BF的长为(　　　　)　
　
A.10 B.9 C.6 D.5
2.如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，点F为边BC上一点，连结AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(　　　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点.若∠AEF＝90°，则一定有(　　　　)
A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF
C.△ADE∽△ECF D.△AEF∽△ABF
4.如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　　　　)
A.4 B.4 C.6 D.4
5.如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝76°，∠B＝34°.将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是(　　　　)
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
6.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，N为边AD上一点，连结BN，过点A作AP⊥BN于点P，点M为边AB上一点，且∠PMA＝∠PCB，连结CM.下列结论中正确的个数为(　　　　)
①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③∠MPB＝∠MCB；④若点N为AD中点，则S△PCN＝6；⑤AN＝AM.
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题(每小题5分，共30分)
7.在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为　　km.
8.若下图中两个三角形相似，则x＝　　.
9.如图，已知∠A＝∠D，不添加辅助线和字母，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　　.(只需写一个条件)
10.如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线BD上的一点，连结AF并延长，交BC于点E.已知BF∶FD＝2∶3，BC＝12cm，则CE＝　　cm.
11.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2.如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为　　.
12.[2024秋·临汾期中]如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连结AO并延长，交BC于点E.若BE＝3，则BC的长为　　.
三、解答题(共40分)
13.(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：
(1)AE＝AF；
(2)△CAF∽△BFQ.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
14.(8分)[2024秋·山西长治市壶关县期中]如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，连结CE，过点E作EF⊥EC交AD于点F.
(1)求证：AE·AB＝DE·AF；
(2)若AB＝1，BC＝2，求FD的长.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
15.(12分)[2024·内江二模]如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、BD、BC上.从下列条件中选择两个作为本题的条件.①AB2＝AD·AC；②∠BAE＝∠CAF；③＝.
(1)求证：△ABE∽△ACF；
(2)连结EF，如果BF＝CF，求证：EF∥AC.
　　
　　
　　
　　
　　
16.(12分)阅读与思考.
射影定理：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有如下结论：①AD2＝BD·DC；②AB2＝BD·BC；③AC2＝CD·BC.
下面是该定理的证明过程(部分)：
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠B＋∠BAD＝90°，∠B＋∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ABD∽△CAD(依据)，
∴＝，即AD2＝BD·DC.
(1)材料中的依据是指　　；
(2)选择②或③其中一个加以证明；
(3)如图2，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE于点F，连结OF，求证：BO·BD＝BF·BE；
(4)在图2中，若DE＝2CE，OF的长为，则正方形ABCD的边长为　　.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
1.C　2.C　3.C　4.B　5.C　6.B
7.800　8.2　9.AB∥DE(答案不唯一)
10.4　11.或　12.12
13.略
14.(1)略　(2)FD的长是.
15.略
16.(1)两角分别相等的两个三角形相似
(2)略　(3)略　(4)6
。

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