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第21章　二次根式
21.1　二次根式
1.二次根式的概念　　
定　　义：形如　　的式子叫做二次根式.
注　　意：a表示一个数或一个含字母的代数式.
条　　件：a≥0.
2.二次根式的性质
性　　质：(1)≥0　　；
(2)()2＝　　(a≥0)；
(3)＝｜a｜＝
说　　明：(1)(a≥0)表示非负数a的算术平方根；
(2)利用()2＝a(a≥0)可进行化简，也可反过来逆用，即a＝()2(a≥0).
比　　较：()2与的区别.
前提条件 运算顺序 运算结果
()2 a≥0 先开方，后平方 a
a为一切实数 先平方，后开方 ｜a｜
类型之一　二次根式的概念
　下列各式、、－、、中，二次根式有(　　　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
类型之二　二次根式有意义的条件
　(1)[2023·江西]若有意义，则a的值可以是　　.
(2)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　　.
类型之三　利用二次根式的性质计算
　计算：
(1)()2；
(2)－()2；
(3)；
(4).
　　
　　
　　
　　
类型之四　二次根式的非负性
　若实数x、y满足＋＝0，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为　　.
　
1.[2024·云南]若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为(　　　　)
A.x≥0 B.x≤0 C.x＞0 D.x＜0
2.[2024·内江期末]下列各式是二次根式的是(　　　　)
A. B. C. D.
3.[2024·绥化]若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为(　　　　)
A.x≤ B.x≥－ C.x≥ D.x≤－
4.[2024·烟台]若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为　　.
5.计算：
(1)[2024·广安]3－＝　　；
(2)[2024·德阳]＝　　.
1.下列各式、、x0、中，无论x取任何实数都有意义的有(　　　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.[2024·内江校级开学]下列运算中，正确的是(　　　　)
A.＝±4 B.＝3
C.(－)2＝－3 D.＝0.1
3.[2024秋·眉山东坡区期中]若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是(　　　　)
A.x≤3且x≠2 B.x＞3 C.x≥3 D.2≤x≤3
4.若＋在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是(　　　　)
A.x＞－1且x≠3 B.x≥－1且x≠3
C.x≥1且x≠3 D.x≠－1且x≠3
5.计算：
(1)()2；
(2)(－)2；
(3)；　
(4).
　　
　　
　　
　　
6.计算：
(1)()2－；
(2)－(－)2.
　　
　　
7.x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
8.[2024·内江校级开学]实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简＋的结果为(　　　　)
A.7 B.－7 C.2a－15 D.无法确定
9.[2023·内蒙古]实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝　　.
10.若＋｜3a－b＋1｜＝0，则的负倒数是　　.
11.若2、5、n为三角形的三边长，化简＋.
　　
　　
　　
12.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：｜a－｜＋｜b＋｜－｜a－b｜＋.
　　
　　
　　
　　
13.阅读下面解题过程，并回答问题.
化简：()2－｜1－x｜.
解：由隐含条件1－3x≥0，得x≤，
∴1－x＞0，
∴原式＝(1－3x)－(1－x)＝1－3x－1＋x＝－2x.
参照上面的解法，化简：－()2.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
14.二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果≥0，利用的双重非负性解决以下问题：
(1)已知＋＝0，则2ab＝　　；
(2)已知实数m、n(n≠0)满足｜2m－4｜＋＝0，求m－n的值；
(3)若x、y为实数，且x2＝＋＋64，求x＋y的值.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
15.(模型观念)[2024春·山西阳高县期末]下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成下列问题.
双层二次根式的化简： 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号. 例如，化简. ∵(1＋)2＝12＋2×1×＋()2＝3＋2(依据　　　　)， ∴＝＝＝1＋. 通过计算，还发现： 设＝＝ m＋n(其中m、n、a、b都为正整数)， 则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn， ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn. 这样就找到了一种把化简的方法.
(1)文中横线位置应填　　；
(2)根据上面的思路，化简：；
(3)已知＝x＋2，其中a、x均为正整数，求a和x的值.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【预习导航】
1.(a≥0)　　2.(a≥0)　a
【归类探究】
【例1】B　
【例2】(1)6(答案不唯一)　(2)x≥2且x≠3　
【例3】(1)7　(2)－5　(3)－3
(4)π－3.14
【例4】20
【当堂测评】
1.A　2.A　3.C　4.x＞1　
5.(1)0　(2)3　
【分层训练】
1.B　2.B　3.A　4.B　
5.(1)6　(2)28　(3)5　(4)a2＋1
6.(1)1　(2)－2
7.(1)x＜　(2)x＝0　(3)0≤x≤1
(4)x≤且x≠－1
8.A　　9.2－m　10.－　11.5　12.b
13.1　14.(1)－20　(2)5　(3)11或－5
15.(1)完全平方公式　(2)3－
(3)a＝13，x＝1
。

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