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第21章　二次根式
21.2　二次根式的乘除
3.二次根式的除法
1.二次根式的除法　　
法　　则：两个算术平方根的商，等于　　.
公　　式：＝　　.
注　　意：(1)法则成立的条件：　　；　　
(2)二次根式相除，结果要化简.
2.商的算术平方根
法　　则：商的算术平方根等于　　.
公　　式：＝　　.
注　　意：(1)法则成立的条件：　　；
(2)商的算术平方根，结果要化简.
3.最简二次根式
定　　义：被开方数中　　，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数　　，像这样的二次根式称为最简二次根式.
类型之一　利用二次根式的除法法则计算
　计算：
(1)÷；　　　
(2)；
(3)÷；　 　
(4)(a＞0).
　　
　　
　　
　　
类型之二　商的算术平方根
　计算：
(1)； 　　　
(2)；
(3)； 　 　
(4).
　　
　　
　　
　　类型之三　最简二次根式
　下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并对不是最简二次根式的进行化简.
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
　　
　　
　　
　　
　　
1.下列计算中，正确的是(　　　　)
A.＝ B.＝2
C.÷＝ D.÷＝3
2.下列根式中，不是最简二次根式的是(　　　　)
A. B. C. D.
3.计算：
(1)÷＝　　；
(2)＝　　.
1.[2024·眉山期末]计算÷□＝，则□中的数是(　　　　)
A.4 B. C.2 D.
2.等式＝成立的条件是(　　　　)
A.x＞－2 B.x＜9
C.－2≤x＜9 D.－2≤x≤9
3.计算：
(1)＝　　；
(2)÷＝　　；
(3)×÷3＝　　；
(4)－÷(3×)＝　　.
4.把下列二次根式化简为最简二次根式：
(1)；　
(2)；　
(3)；　
(4).
　　
5.[2024·内江资中县期中]已知＝a，＝b，则用a、b表示为(　　　　)
A. B. C. D.
6.计算：
(1)[2024·密云区期末]2×3÷；
(2)[2024·高安市期中]3÷2×.
　　
　　
7.(模型观念)[2024春·山西太原月考]在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知x＋y＝－6，xy＝4，求＋的值.
小刚是这样解的：
＋＝＋＝＋＝，
把x＋y＝－6，xy＝4代入，得＝＝－3.
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程.
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【预习导航】
1.把被开方数相除的商的算术平方根　(a≥0，b＞0)　a≥0，b＞0　
2.算术平方根的商　(a≥0，b＞0)　a≥0，b＞0
3.不含分母　都小于2　
【归类探究】
【例1】(1)2　(2)4　(3)　(4)2a
【例2】(1)　(2)　(3)　(4)
【例3】(3)是最简二次根式，(1)(2)(4)(5)不是最简二次根式.化简如下：
(1)＝3　(2)＝
(4)＝＝
(5)＝＝
【当堂测评】
1.D　2.B　3.(1)3　(2)　
【分层训练】
1.C　2.C　
3.(1)2　(2)　(3)　(4)－
4.(1)4　(2)　(3)　(4)
5.D　6.(1)6　(2)　7.3
。　　
第21章　二次根式
21.2　二次根式的乘除
2.积的算术平方根
积的算术平方根
性　　质：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.
公　　式：＝　　.
注　　意：(1)法则成立的条件是a≥0，b≥0；
(2)积的算术平方根的结果应尽量化简.
类型之一　积的算术平方根　　
　化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　二次根式的乘法与积的算术平方根的综合
　计算：
(1)×；
(2)－5××3；
(3)·(－).
　　
　　
　　
类型之三　把二次根式根号外的因式移到根号内
　把b中根号外的因式移到根号内的结果是(　　　　)
A. B.－ C. D.－
　　
1.化简的结果是(　　　　)
A.2 B.3 C.2 D.2
2.下列运算中，正确的是(　　　　)
A.＝×
B.＝－×
C.＝×
D.＝
3.将化简的结果是(　　　　)
A.10 B.±10
C.5 D.±5
4.计算×的结果是(　　　　)
A.6 B. C.4 D.2
5.化简：
(1)＝　　；
(2)＝　　.
6.计算：
(1)[2024·太原二模]×＝　　；
(2)[2024·山西模拟]×3＝　　.
1.计算×的结果是(　　　　)
A.6 B.6 C.6 D.6
2.如果＝·，那么(　　　　)
A.x≥0 B.x≥6
C.0≤x≤6 D.x为一切实数
3.[2024春·山西云冈月考]已知a＝，b＝，用含a、b的代数式表示，这个代数式是(　　　　)
A.a＋b B.ab C.2a D.2b
4.计算：
(1)×＝　　；
(2)×＝　　.
5.计算：
(1)－×；
(2)××；
(3)×2×(－).
　　
6.把二次根式(x－1)中根号外的因式移到根号内，结果是(　　　　)
A. B.－ C.－ D.
7.已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是(　　　　)
A.－a B.－a C.a D.a
8.如图是工人师傅做的一块三角形铁板，边BC的长为2cm，边BC上的高AD为cm，求该三角形铁板的面积.
　　
　　
9.(创新意识)[2024春·山西期中]先来看一个有趣的现象：＝＝＝2.这里根号内的因数2经过适当的变形，2竟然“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，例如，＝3，＝4等等.
(1)①请你写一个具有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若＝a(a、b为正整数)，则a＋b的值为　　.
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律.　　
　　
　　
　　
参考答案
【预习导航】
·(a≥0，b≥0)
【归类探究】
【例1】(1)77　(2)10　(3)2
(4)10a2b2｜c｜
【例2】(1)30　(2)－5　(3)－
【例3】B
【当堂测评】
1.A　2.C　3.A　4.D
5.(1)4　(2)6a2b2
6.(1)2　(2)6
【分层训练】
1.D　2.B　3.B　
4.(1)2b　(2)3a
5.(1)－24　(2)2　(3)－4
6.B　7.A　8.14cm2
9.(1)①＝5　②71
(2)结论：＝n.
理由：＝＝n.
。第21章　二次根式
21.2　二次根式的乘除
1.二次根式的乘法
二次根式的乘法　　
法　　则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的　　，用式子表示为·＝　　(a≥0，b≥0).
注　　意：上述法则成立的条件是　　，法则可推广到多个二次根式相乘的情形，二次根式相乘的结果应尽量化简.
类型之一　利用二次根式的乘法法则计算
　计算：
(1)×；
(2)2×3×；
(3)×；
(4)2·；
(5)3a·(－)(a≥0，b≥0).
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　二次根式乘法的应用
　小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长为 cm，宽为 cm，她又想设计一幅和矩形面积相等的圆形图片，请你帮助小静求出圆的半径.
　　
　　
　　
　　
　　
【点悟】 本题使用了矩形、圆的面积公式，利用的等量关系是两个图形的面积相等.在求圆的半径时，根据实际情况中圆的半径大于零，故只取正值.
1.[2023·衡阳]对于二次根式的乘法运算，一般地，有·＝.该运算法则成立的条件是(　　　　)
A.a＞0，b＞0 B.a＜0，b＜0
C.a≤0，b≤0 D.a≥0，b≥0
2.[2024·湖南]计算×的结果是(　　　　)
A.2 B. 7 C.14 D.
3.下列计算中，错误的是(　　　　)
A.×＝ B.(－3)×(－4)＝48
C.－5×3＝－15 D.2×3＝5
4.计算：
(1)×＝　　；
(2)·＝　　.
5.[2024·内江月考]计算：
(1)×；
(2)×.
　　
　　
1.下列各数中，与的积为有理数的是(　　　　)
A. B.3
C.2 D.2－
2.从、－、－这三个实数中任选两数相乘，所得的积中小于2的有(　　　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.计算：
(1)×；
(2)×；
(3)××；
(4)4·；
(5)6×(－3)；
(6)·(a＞0，b≥0).
　　
　　
　　
　　
　　
　　
4.(1)一个正方形的边长为2，求这个正方形的面积；
(2)一个圆的半径为4，求这个圆的面积(结果保留π)；
(3)一个三角形的一边长为2，该边上的高为3，求这个三角形的面积.
　　
　　
　　
5.一个三角形的三边长分别为、、，试判断该三角形的形状，并求出它的面积.
　　
　　
　　
　　
6.(模型观念)(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
4＋3　　2；
1＋　　2；
5＋5　　2.
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由.
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行改造，计划在该区域用篱笆围成一个矩形的花圃.如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，至少需要用篱笆　　m.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【预习导航】
积的算术平方根　　a≥0，b≥0　
【归类探究】
【例1】(1)6　(2)120　(3)3　(4)20a
(5)－12a2b
【例2】所求圆的半径为 cm.
【当堂测评】
1.D　2.D　3.D　4.(1)3　(2)4a　
5.(1)　(2)3
【分层训练】
1.C　2.C　
3.(1)14　(2)　(3)25　(4)4
(5)－72　(6)b
4.(1)20　(2)80π　(3)3
5.该三角形是直角三角形，它的面积为18.
6.(1)＞　＞　＝　
(2)m＋n≥2(m≥0，n≥0).理由略.
(3)40
。

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