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第22章　一元二次方程
22.2　一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
　　
一元二次方程根的判别式
根的判别式：式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ＝b2－4ac.
判　　别：当Δ＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根.
注　　意：一元二次方程最多有两个实数根.　
类型之一　判别一元二次方程根的情况
　利用判别式判断下列方程根的情况：
(1)x2－5x＝－7；
(2)x2＋5＝2x；
(3)(x－1)(2x＋3)＝x.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　根的判别式的应用
　已知关于x的方程(a－2)x2－2(a－1)x＋(a＋1)＝0，当a为何值时，
(1)方程只有一个实数根？(不包括等根情况)
(2)方程有两个实数根？
(3)方程无实数根？
　　
　　
　　
1.[2023·滨州]一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为(　　　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能判定
2.一元二次方程x2＋3x－1＝0根的判别式的值为　　.
3.关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0，当m　　时，方程有两个相等的实根；当m　　时，方程有两个不相等的实根；当m　　时，方程没有实数根.
1.[2023·泸州]关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情况是(　　　　)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
2.[2024·广安]若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(　　　　)
A.m＜0且m≠－1 B.m≥0
C.m≤0且m≠－1 D.m＜0
3.[2024·湖南]若关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为　　.
4.[2024·云南]若一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则实数c的取值范围为　　.
5.[2024·绵阳]已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2＋2＝0有实数根，则k的取值范围为　　.
6.[2024·成都期中]已知关于x的方程ax2＋4x－2＝0.
(1)当a取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当a取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当a取何值时，方程没有实数根？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
7.[2024·眉山期末]已知关于x的一元二次方程mx2＋(2－2m)x＋m－2＝0(m≠0).
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
8.(创新意识)[2024秋·资中县月考]已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC的三边长.
(1)如果方程的一个根为－1，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根；
(3)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由.
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【归类探究】
【例1】(1)此方程没有实数根.
(2)此方程有两个相等的实数根.
(3)此方程有两个不相等的实数根.
【例2】(1)当a＝2时，方程只有一个实数根(不包括等根情况).
(2)当a≤3且a≠2时，方程有两个实数根.
(3)当a＞3时，方程无实数根.
【当堂测评】
1.A　2.13　3.＝－1　＞－1　＜－1　
【分层训练】
1.C　2.A　3.2　4.c＞1　5.k≤－
6.(1)当a＞－2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根.
(2)当a＝－2时，方程有两个相等的实数根.
(3)当a＜－2时，方程没有实数根.
7.(1)略
(2)m的值为±1或±2.
8.(1)△ABC为等腰三角形.
(2)x1＝0，x2＝－1.
(3)△ABC为直角三角形.
。

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