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第22章　一元二次方程
22.2　一元二次方程的解法
＊5.一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系　
关　　系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1＋x2＝　　，x1x2＝　　.
语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的　　，两根的积等于常数项与二次项系数的　　.
易忽略点：利用一元二次方程的根与系数的关系的前提条件：①a≠0；②Δ≥0.
类型之一　利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值
　设x1、x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：
(1)＋；
(2)＋；
(3)(x1－3)(x2－3)；
(4)x1－x2.
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题
　[2023·衡阳]已知关于x的方程x2＋mx－20＝0的一个根是－4，则它的另一个根是　　.
　　
类型之三　利用根与系数的关系求方程中的未知数的值或取值范围
　[2024秋·瓦房店市期末]已知关于x的一元二次方程x2＋(k－4)x＋2－k＝0(其中k为常数).
(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
1.[2024秋·内江月考]若x1、x2是方程x2－8x－9＝0的两个根，则(　　　　)
A.x1＋x2＝－8 B.x1＋x2＝8
C.x1x2＝ D.x1x2＝9
2.设x1、x2是方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1＋x2＝　　，x1x2＝　　，＋＝(x1＋x2)2－　　＝　　.
3.[2024·泸州]已知x1、x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是　　.
1.[2024秋·眉山月考]设方程x2＋x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则＋的值为(　　　　)
A.1 B.－1 C. D.
2.若实数x1、x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则下列以x1、x2为根的一元二次方程是(　　　　)
A.x2－7x＋12＝0
B.x2＋7x＋12＝0
C.x2＋7x－12＝0
D.x2－7x－12＝0
3.设下列各方程的两根分别为x1、x2.
(1)3x2＝1，则x1＋x2＝　　，x1x2＝　　；
(2)2x2＋3x＝0，则x1＋x2＝　　，x1x2＝　　；
(3)x2－3x＋1＝0，则x1＋x2＝　　，x1x2＝　　；
(4)4x2－7x＋1＝0，则x1＋x2＝　　，x1x2＝　　.
4.[2024·内江一模]已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根α、β，且α2＋β2＝17，则m的值是　　.
5.已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，求下列各代数式的值：
(1)＋；　
(2)＋；
(3)(x1＋1)(x2＋1).
　　
　　
　　
　　
6.[2023·黄冈]已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1、x2，若x1x2＋2x1＋2x2＝1，则实数k＝　　.
7.[2023·达州]已知x1、x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)＝10，则k的值为　　.
8.[2024·遂宁]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根为x1、x2，且＋－x1x2＝9，求m的值.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
9.[2023·南充]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0.
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若x1、x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
10.(创新意识)[2023·通辽]阅读材料.
材料1　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根x1、x2和系数a、b、c，有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝.
材料2　已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m、n，求m2n＋mn2的值.
解：∵m、n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，
∴m＋n＝1，mn＝－1.
则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：若一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1、x2，则x1＋x2＝　　，x1x2＝　　；
(2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0 的两个实数根为m、n，求m2＋n2的值；
(3)提升：已知实数s、t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0 且s≠t，求－的值.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【预习导航】
－　　比的相反数　比　
【归类探究】
【例1】(1)＋＝.
(2)＋＝.
(3)(x1－3)(x2－3)＝－.
(4)x1－x2＝±.
【例2】5
【例3】(1)略
(2)k＝2，另一个根为0.
【当堂测评】
1.B　2.4　1　2x1x2　14　3.14
【分层训练】
1.A　2.A　3.(1)0　－　(2)－　0
(3)3　1　(4)　　4.－4
5.(1)＋＝30.
(2)＋＝10.
(3)(x1＋1)(x2＋1)＝－2.
6.－5　7.7
8.(1)略　(2)m的值为－2或1.
9.(1)略　(2)m的值为1或.
10.(1)－　－　(2)m2＋n2＝
(3)－＝±
。

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