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第22章　一元二次方程
22.3　实践与探索
第2课时　增长率问题
1.按一定传播速度逐步传播的问题
注　　意：这类问题在现实世界中有许多原型，如细胞分裂、信息传播、传染病扩散.
2.用一元二次方程解变化率问题
规　　律：变化前数量×(1±平均变化率)变化次数＝变化后数量.
注　　意：有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解.在实际问题的求解过程中，要注意检验方程的根是否符合实际.
3.商品销售问题中的等量关系式
(1)售价、进价、利润的关系式：
商品利润＝商品售价－商品进价
(2)进价、利润、利润率的关系式：
利润率＝×100％
(3)标价、折扣数、商品售价的关系式：
商品售价＝标价×
(4)商品售价、进价、利润率的关系式：
商品售价＝商品进价×(1＋利润率)
类型之一　用一元二次方程解决增长率问题
　随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业.据统计，目前该省5G基站数量约1.5万座；计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.
(1)计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？
(2)按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　用一元二次方程解决销售利润问题
　某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件.
(1)若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？
(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
1.[2024·牡丹江]一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　　　　)
A.20％ B.22％ C.25％ D.28％
2.某商场将进价为30元的台灯的售价定为40元，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10个.为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为　　元.
　　
　　
　　
　　
　　
3.某种电脑病毒的感染速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.
(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
(3)n轮(n为正整数)感染后，被感染的电脑有　　台.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
1.[2024·重庆A卷]随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是 　　.
2.某种植物的主干上长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是　　.
　　
3.[2024秋·清城区期末]某电商在某平台上对一款成本价为30元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件.通过市场调查发现，一件商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
(1)在保证日获利1 000元的情况下，若商家想尽快销售完该款商品，则每件售价应定为多少元？
(2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件.若每天销售量的增长率相同，则该款商品销售量的日平均增长率为多少？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
4.[2024秋·渝中区期末]国庆期间，某博物馆展出的珍贵文物吸引了众多游客.据统计，博物馆10月1日接待的人数比9月30日的2倍多0.2万人，这两天共接待2.9万人.
(1)求博物馆10月1日接待游客的人数.
(2)10月2日、3日游客继续增加，据统计，10月3日接待游客2.88万人，预计10月4日游客数量将达到高峰.为使游客有较好的参观体验，规定人数达到3.5万人时，将会采取临时限流措施.按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日是否需要临时限流？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等领域不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个.
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
5.(应用意识)[2024春·东阳市期中]根据以下素材，完成相应的任务.
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率.
任务2 为使月销售利润达到10000元，且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【归类探究】
【例1】(1)计划在今年底，全省5G基站数量是6万座.
(2)按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70％.
【例2】(1)商场每件衬衫降价4元，商场每天可盈利1008元.
(2)每件衬衫应降价20元.
【当堂测评】
1.C　2.50
3.(1)每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑.
(2)3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.
(3)(1＋x)n
【分层训练】
1.10％　2.15
3.(1)每件售价应定为50元.
(2)该款商品销售量的日平均增长率为12.5％.
4.(1)博物馆10月1日接待游客2万人.
(2)按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日不需要临时限流.
5.(1)该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20％.
(2)该零件的实际售价应定为50元/个.
。第22章　一元二次方程
22.3　实践与探索
第1课时　图形面积问题
用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题
步　　骤：(1)整体地、系统地审题；
(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；
(3)设未知数，列出方程；
(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；　
(5)写出答案.
类型之一　一元二次方程在图形面积问题中的应用
　[2024·山西期中]如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为28m)，另外的边利用总长为55m的铁栏围成，并开有两个长为1m的门(门用其他材料).
(1)若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽.
(2)能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　利用一元二次方程解决几何图形的动点问题
　如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.点P、Q分别从点A、B同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动.
(1)几秒后，PQ的长度等于2cm？
(2)△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
1.若一个直角三角形的面积为24，两条直角边之和为14，则其斜边是(　　　　)
A.2 B.4 C.8 D.10
2.从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形铁片，余下部分的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是(　　　　)
A.96cm2 B.64cm2
C.54cm2 D.52cm2
3.用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2的矩形，则矩形的长、宽分别是　　.
1.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为(　　　　)
A.(30－2x)(40－x)＝600
B.(30－x)(40－x)＝600
C.(30－x)(40－2x)＝600
D.(30－2x)(40－2x)＝600
2.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙长不超过35m)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料).当羊圈的边AB为　　m时，能围成一个面积为640m2的羊圈.
3.[2024·青岛]如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为　　m.
4.[2024秋·英德市期末]为了解决居民停车难的问题，某社区利用矩形空地ABCD建了一个露天停车场，其布局如图所示.已知AD＝90m，AB＝60m，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度相等的道路.若阴影部分的面积为4000m2，求道路的宽.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动.如果点P、Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为ts.
(1)BQ＝　　，PB＝　　(用含t的代数式表示).
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
6.(模型观念)[2024春·海曙区校级期中]根据以下素材，完成探索任务.
探索菜园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块足够大的空地，其中有一面长为6m的墙，现准备用长为20m的篱笆围成一个菜园.他设计了三种方案，图1、图2、图3都是菜园的平面图.其中图1为矩形菜园ABCD，AD的长不超过墙长；图2是两间矩形菜园，AD的长也不超过墙长；图3是两间矩形菜园，AD的长超过墙长.设所有矩形菜园垂直于墙面的那条边长为xm.
素材2 该农户发现三种方案中用图1围成的矩形菜园面积最大，故农户采用了图1方式进行大棚蔬菜种植.已知每平方米蔬菜的年平均销售净利润为400元，蔬菜大棚建造和维护大概需要2300元，初期需投入资金1000元，蔬菜成本费大约500元.
任务1 (1)请直接写出图3中x的取值范围.
任务2 (2)一开始，该农户想利用图2方案种植大棚蔬菜.若要使种植区域面积为25m2，则是否存在x的值使得此设计图符合要求？请说明理由.
任务3 (3)一年后，该农户大棚蔬菜种植预期净利润能否达到9000元？请说明理由.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【归类探究】
【例1】(1)自行车车棚的长和宽分别为27m、10m.
(2)不能围成面积为300m2的自行车车棚.理由略.
【例2】(1)3s后，PQ的长度等于2 cm.
(2)不能.理由略.
【当堂测评】
1.D　2.B　3.6m、4m
【分层训练】
1.D　2.20　3.2　
4.道路的宽是5m.
5.(1)2t　5－t　
(2)当t＝0或2时，PQ的长度等于5 cm.
(3)当t＝1时，五边形APQCD的面积等于26 cm2.
6.(1)0＜x＜
(2)当x＝5时，种植区域的面积为25m2.符合要求.
(3)预期净利润能达到9000元.理由略.
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