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第23章　图形的相似
23.3　相似三角形
1.相似三角形
　
　1.相似三角形的定义及表示方法
定　　义：两个三角形的　　，　　，则这两个三角形相似.
表示方法：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，＝＝＝k，我们就说△ABC与△A'B'C'相似，记作△ABC∽△A'B'C'，比值k是它们的相似比.
注　　意：(1)当k＝1时，这两个三角形　　；
(2)当两个三角形相似时，对应角的顶点写在对应的位置上.
2.相似三角形判定的基本定理
内　　容：　　的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似.
注　　意：此定理为后面推出相似三角形判定方法做准备.当平行线与三角形两边的延长线相交时，结论仍成立.
类型之一　相似三角形的概念
　如图，已知△OAC∽△OBD，∠C＝∠D.
(1)写出它们的对应角及对应边的比例式；
(2)若OA＝4，AC＝2，OB＝2，求出△OAC与△OBD的相似比及BD的长.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　类型之二　利用相似三角形判定的基本定理求线段的比
　如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值.
　　
　　
　　
　　
1.已知△ABC与△A1B1C1相似，顶点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，∠A＝55°，∠B＝100°，则∠C1的度数是(　　　　)
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
2.已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为3，则下列结论正确的是(　　　　)
A.AB是A'B'的3倍 B.A'B'是AB的3倍
C.∠A是∠A'的3倍 D.∠A'是∠A的3倍
3.若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝(　　　　)
A. B. C. D.
4.如图，BC∥ED，BD、CE相交于点A，且DE＝4，BC＝8.
(1)若AE＝2，求AC的长；
(2)若BD＝9，求AB的长.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
1.如图，△ABO∽△CDO，BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是(　　　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.[2024·义乌市模拟]如图，若△DAC∽△ABC，则需满足(　　　　)
A.CD2＝AD·DB B.AC2＝BC·CD
C.＝ D.＝
3.如图，已知△ABC∽△ACD，且AD＝5，BD＝4，则△ACD与△ABC的相似比是　　.
4.[2024·成都武侯区期末]如图，已知△ABC∽△ACD.
(1)若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
(2)若AD＝3，BD＝5，求AC的长.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
5.[2024秋·眉山期末]如图，AD、BC相交于点E，AB∥CD∥EF，点B、F、D在一条直线上，AB＝10，CD＝15.
(1)求的值；
(2)求EF的长.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9，求BD和DE的长.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
7.(推理能力)如图，在 ABCD中，AE与BC的延长线交于点E，与BD、CD分别相交于点F、G.
(1)若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；
(2)求证：AF2＝FG·FE.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【预习导航】
1.对应角相等　对应边成比例　全等
2.平行于三角形一边　
【归类探究】
【例1】(1)对应角为∠A与∠B，∠C与∠D，∠AOC与∠BOD.对应边的比例式为＝＝.
(2)△OAC与△OBD的相似比为2，BD的长为1.
【例2】＝
【当堂测评】
1.C　2.A　3.D　
4.(1)AC＝4　(2)AB＝6
【分层训练】
1.C　2.B　3.　
4.(1)∠ADC＝70°　(2)AC＝2
5.(1)＝　(2)EF＝6
6.BD＝2，DE＝6
7.(1)CG＝1　(2)略
。

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