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第23章　图形的相似
23.3　相似三角形
3.相似三角形的性质
　
　1.相似三角形的性质1
性　　质：相似三角形对应边上的高的比等于　　，对应角的平分线之比等于　　，对应边上的中线之比等于　　，周长的比等于　　.
2.相似三角形的性质2
性　　质：相似三角形面积的比等于　　.
数学语言：若△ABC∽△A'B'C'，则＝.
类型之一　相似三角形对应边上的中线之比
　试证明相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程)
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　相似三角形的面积比
　如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结DE，交对角线AC于点F.若＝，则＝　　.
类型之三　相似三角形对应边上的高的比
　[2024秋·眉山洪雅县期中]在△ABC中，BC＝12，高AH＝8，点D在边AB上，点E、F在边BC上，点G在边AC上.
(1)如图1，当四边形DEFG是正方形时，求正方形DEFG的边长；
(2)如图2，当四边形DEFG是矩形，且此矩形可分割成两个并排放置的正方形时，求矩形的长和宽.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
1.[2024·内江]已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　　　)
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
2.[2024·重庆]若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是(　　　　)
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
3.[2024·云南]如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若＝，则＝　　.
1.[2024·大同期末]若两个相似三角形对应中线的比为，则这两个相似三角形的面积比为(　　　　)
A.∶3 B.3∶
C.9∶2 D.2∶9
2.试证明相似三角形对应角的平分线之比等于相似比.(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程)
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
3.试证明相似三角形周长之比等于相似比.(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程)
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
4.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
5.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，△ADE∽△ABC，M、N分别是DE、BC的中点.若＝，则＝　　.
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝　　 .
7.[2024·宜宾叙州期中]如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点F，点E在AD上，且∠ECF＝∠A.
(1)求证：CE2＝FE·ED；
(2)若CE＝5，EF＝3，求△CEF与△CFD的面积之比.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
8.[2024秋·内江市资中县月考]如图，已知△ABC∽△AEF，若B、E、F三点共线，线段EF与AC交于点O.
(1)求证：△ABE∽△ACF；
(2)若AF＝5，BC＝10，△AOF的面积为8，求△BOC的面积.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，内有边长分别为a、b、c的三个正方形.
(1)求证：△DSF∽△MTP；
(2)若a＝1，c＝2，求b的值；
(3)直接写出a、b、c满足的关系式.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
10.(推理能力)[2024·内江市威远县期中]
【基础巩固】
(1)如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE.若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE.
【尝试应用】
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO.若BD＝12，OE＝5，求AC的长.
【拓展提升】
(3)如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC的中点，F为DC上一点，连结AE、OE、AF，∠AEO＝∠CAF.若＝，AC＝6，求菱形ABCD的边长.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　参考答案
【预习导航】
1.相似比　相似比　相似比　相似比　
2.相似比的平方　
【归类探究】
【例1】略
【例2】　
【例3】(1)正方形DEFG的边长为.
(2)矩形的长为，宽为.
【当堂测评】
1.B　2.D　3.
【分层训练】
1.D　2.略　3.略　4.(1)略　(2)EC＝9
5.　6.　
7.(1)略
(2)△CEF与△CFD的面积之比为9∶16.
8.(1)略
(2)△BOC的面积为32.
9.(1)略　(2)b＝3　(3)b＝a＋c
10.(1)略　(2)AC＝18
(3)菱形ABCD的边长为2.
。

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