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　圆的参数方程
　　（人A选一P89习题10题）圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），不妨令则θ为参数，该方程就是圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的参数方程，特别地，若原点为圆心，则圆的标准方程为x2＋y2＝r2（r＞0），则其对应的参数方程为其中θ为参数.
利用圆的参数方程求代数式的最值
已知点P（x，y）在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，则x＋y的最大值为（　　）
A.4 B.10
C.6－2 D.6＋2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 先把圆的一般方程化为标准方程，再转化为参数方程，利用参数方程把待求式化为关于参数θ的函数，利用三角函数的有界性求最值，这种求解十分方便，这正是参数方程的优势.
利用圆的参数方程求参数的最值（范围）
已知抛物线y＝x2＋t与圆x2＋y2＝1有公共点，则实数t的取值范围是　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 利用圆的参数方程，采用代入法把求参数的最值（范围）问题转化为求三角函数的值域问题，使问题迅速获解，可谓转化巧妙.
利用圆的参数方程求距离的最值（范围）
（2025·上海模拟）已知动圆（x－a）2＋（y－b）2＝1经过原点，则动圆上的点到直线x－y＋2＝0距离的最大值是　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 在求解多元坐标的几何或代数的最值（范围）时，可对参数进行转化，化为求三角函数的最值（范围）来处理.
1.若x，y是非负实数，且x2＋y2＝6，则2x＋y的最大值为（　　）
A.　　 B.2　　
C.3　　 D.
2.（2025·襄阳模拟）已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为（　　）
A.－1－ B.－1＋
C.1＋ D.1－
3.（2025·宜春模拟）已知曲线（α为参数）上任意一点P（x0，y0），不等式m≥x0＋y0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A.［，＋∞） B.[，＋∞）
C.[2，＋∞） D.（－∞，－］
4.已知P（x，y）是圆x2＋y2＝2y上的动点，若x＋y＋a≥0有解，则实数a的取值范围是　　　　.
5.在平面直角坐标系中，圆C1的方程为x2＋（y＋2）2＝4，直线方程为x＋y－2＝0，若P为C1上任意一点，则点P到直线x＋y－2＝0的距离的取值范围为　　　　.
6.已知直线l：x＋y－1＝0与圆x2＋y2＝1交于两个不同的点A，B，点P在圆C上运动，则△PAB的面积的最大值为　　　　.
微突破　圆的参数方程
应用1
【例1】 D　由圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0，得（x－3）2＋（y－3）2＝4，转化为参数方程（θ为参数），因为点P（x，y）在圆C上，所以x＋y＝6＋2sin（θ＋），当sin（θ＋）＝1时，x＋y的最大值为6＋2.故选D.
应用2
【例2】 ［－，1］　解析：把圆的方程化为参数方程可得x＝cos α，y＝sin α，α∈[0，2π），代入抛物线方程y＝x2＋t可得t＝sin α－cos2α＝sin2α＋sin α－1＝（sin α＋）2－.当sin α＝－时，t取得最小值，最小值为－；当sin α＝1时，t取得最大值，最大值为1.故实数t的取值范围是［－，1］.
应用3
【例3】 ＋2　解析：由题可知原点在圆上，所以a2＋b2＝1，圆心到直线的距离为d＝＝，令a＝cos θ，b＝sin θ，则d＝＝，
当cos（θ＋）＝1时，dmax＝＝＋1，所以动圆上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值是＋2.
跟踪训练
1.D　∵x，y是非负实数， x2＋y2＝6，∴可设x＝cos θ，y＝sin θ（θ∈［0，］），则2x＋y＝2cos θ＋sin θ＝（sin θ＋cos θ）＝sin（θ＋φ）≤，其中tan φ＝2，∴2x＋y的最大值为.故选D.
2.A　∵实数x，y满足x2＋y2＝1，设x＝cos θ，y＝sin θ，θ∈[0，2π），∴＝，令 t＝sin θ＋cos θ＝sin（θ＋）∈[－，]，则t2＝1＋2sin θcos θ，∴2sin θcos θ＝t2－1，∴＝＝t－1∈[－1－，－2）∪（－2，－1]，∴的最小值为－1－.故选A.
3.C　根据题意，曲线（α为参数），则x＋y＝（－1＋2cos α）＋（1＋2sin α）＝2sin α＋2cos α＝2sin（α＋），由sin（α＋）≤1，得x＋y≤2.若P（x0，y0）是曲线上任意一点，则x0＋y0≤2，因为不等式m≥x0＋y0恒成立，所以m≥2，即实数m的取值范围是[2，＋∞）.
4.[－－1，＋∞）　解析：把圆的方程化为参数方程可得θ为参数且θ∈[0，2π），若x＋y＋a≥0有解，即x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0，即a≥－（cos θ＋sin θ）－1＝－sin（θ＋）－1有解，所以a≥－－1，即实数a的取值范围是[－－1，＋∞）.
5.[2－2，2＋2]　解析：圆C1的参数方程为（α为参数），所以可设P（2cos α，2sin α－2）.所以点P到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝＝2－2sin（α＋），所以点P到直线x＋y－2＝0的距离的取值范围为[2－2，2＋2].
6.　解析：联立直线与圆的方程可得解得或不妨取A（1，0），B（0，1）.设点P（cos θ，sin θ），0≤θ＜2π，则点P到直线l的距离为d＝＝，故当θ＝时，d的最大值为1＋，故△PAB的面积的最大值为｜AB｜·d＝××（1＋）＝.
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微突破　圆的参数方程
第八章　解析几何
高中总复习·数学
课标要求
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
　　圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），不妨令
则 θ为参数，该方程就是圆（x－a）2
＋（y－b）2＝r2的参数方程，特别地，若原点为圆心，则圆的标准方程
为x2＋y2＝r2（r＞0），则其对应的参数方程为 其中θ为参
数.（人A选一P89习题10题）
利用圆的参数方程求代数式的最值
已知点P（x，y）在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，则x＋y的
最大值为（　　）
A. 4 B. 10
C. 6－2 D. 6＋2
解析：D　由圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0，得（x－3）2＋（y－3）2
＝4，转化为参数方程 （θ为参数），因为点P（x，
y）在圆C上，所以x＋y＝6＋2 sin （θ＋ ），当 sin （θ＋ ）＝1
时，x＋y的最大值为6＋2 .故选D.
点评 先把圆的一般方程化为标准方程，再转化为参数方程，利用参数方程
把待求式化为关于参数θ的函数，利用三角函数的有界性求最值，这种求
解十分方便，这正是参数方程的优势.
利用圆的参数方程求参数的最值（范围）
已知抛物线y＝x2＋t与圆x2＋y2＝1有公共点，则实数t的取值范围
是 .
［－ ，1］
解析：把圆的方程化为参数方程可得x＝ cos α，y＝ sin α，α∈[0，
2π），代入抛物线方程y＝x2＋t可得t＝ sin α－ cos 2α＝ sin 2α＋ sin α
－1＝（ sin α＋ ）2－ .当 sin α＝－ 时，t取得最小值，最小值为－
；当 sin α＝1时，t取得最大值，最大值为1.故实数t的取值范围是［－
，1］.
点评 利用圆的参数方程，采用代入法把求参数的最值（范围）问题转化为
求三角函数的值域问题，使问题迅速获解，可谓转化巧妙.
利用圆的参数方程求距离的最值（范围）
（2025·上海模拟）已知动圆（x－a）2＋（y－b）2＝1经过原点，
则动圆上的点到直线x－y＋2＝0距离的最大值是 .
＋2
解析：由题可知原点在圆上，所以a2＋b2＝1，圆心到直线的距离为d＝
＝ ，令a＝ cos θ，b＝ sin θ，则d＝
＝ ，当 cos （θ＋ ）＝1时，dmax＝
＝ ＋1，所以动圆上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值
是 ＋2.
点评 在求解多元坐标的几何或代数的最值（范围）时，可对参数进行转
化，化为求三角函数的最值（范围）来处理.
1. 若x，y是非负实数，且x2＋y2＝6，则2x＋y的最大值为（　　）
A. B. 2 C. 3 D.
解析：D　∵x，y是非负实数， x2＋y2＝6，∴可设x＝ cos θ，y＝
sin θ（θ∈［0， ］），则2x＋y＝2 cos θ＋ sin θ＝ （ sin
θ＋ cos θ）＝ sin （θ＋φ）≤ ，其中tan φ＝2，∴2x＋y的最
大值为 .故选D.
2. （2025·襄阳模拟）已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则 的最小值
为（　　）
A. －1－ B. －1＋
C. 1＋ D. 1－
解析：A　∵实数x，y满足x2＋y2＝1，设x＝ cos θ，y＝ sin θ，
θ∈[0，2π），∴ ＝ ，令 t＝ sin θ＋ cos θ＝ sin
（θ＋ ）∈[－ ， ]，则t2＝1＋2 sin θ cos θ，∴2 sin θ cos θ＝
t2－1，∴ ＝ ＝t－1∈[－1－ ，－2）∪（－2， －1]，
∴ 的最小值为－1－ .故选A.
3. （2025·宜春模拟）已知曲线 （α为参数）上任意一
点P（x0，y0），不等式m≥x0＋y0恒成立，则实数m的取值范围是
（　　）
A. ［ ，＋∞） B. [，＋∞）
C. [2 ，＋∞） D. （－∞，－ ］
解析：C　根据题意，曲线 （α为参数），则x＋y＝
（－1＋2 cos α）＋（1＋2 sin α）＝2 sin α＋2 cos α＝2 sin （α＋
），由 sin （α＋ ）≤1，得x＋y≤2 .若P（x0，y0）是曲线上任意
一点，则x0＋y0≤2 ，因为不等式m≥x0＋y0恒成立，所以m≥2 ，
即实数m的取值范围是[2 ，＋∞）.
4. 已知P（x，y）是圆x2＋y2＝2y上的动点，若x＋y＋a≥0有解，则实
数a的取值范围是 .
解析：把圆的方程化为参数方程可得 θ为参数且θ∈[0，
2π），若x＋y＋a≥0有解，即x＋y＋a＝ cos θ＋ sin θ＋1＋a≥0，即
a≥－（ cos θ＋ sin θ）－1＝－ sin （θ＋ ）－1有解，所以a≥－
－1，即实数a的取值范围是[－ －1，＋∞）.
[－ －1，＋∞）
5. 在平面直角坐标系中，圆C1的方程为x2＋（y＋2）2＝4，直线方程为x
＋y－2＝0，若P为C1上任意一点，则点P到直线x＋y－2＝0的距离的取
值范围为 .
解析：圆C1的参数方程为 （α为参数），所以可设P（2
cos α，2 sin α－2）.所以点P到直线x＋y－2＝0的距离为d＝
＝ ＝2 －2 sin （α＋ ），所以
点P到直线x＋y－2＝0的距离的取值范围为[2 －2，2 ＋2].
6. 已知直线l：x＋y－1＝0与圆x2＋y2＝1交于两个不同的点A，B，点P
在圆C上运动，则△PAB的面积的最大值为 .
[2 －2，2 ＋2]

解析：联立直线与圆的方程可得 解得 或
不妨取A（1，0），B（0，1）.设点P（ cos θ， sin θ），
0≤θ＜2π，则点P到直线l的距离为d＝ ＝
，故当θ＝ 时，d的最大值为1＋ ，故△PAB的
面积的最大值为 ｜AB｜·d＝ × ×（1＋ ）＝ .
THANKS
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