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　圆锥曲线的第二定义
1.圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜e＜1时为椭圆；当e＝1时为抛物线；当e＞1时为双曲线.
2.第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e.圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化.
求焦点弦长
过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＋x2＝6，则｜AB｜的长为　　　　.
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求离心率
已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），F1，F2分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　.
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求点的坐标
双曲线x2－＝1的右支上一点P，到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2∶1，则点P的坐标为　　　　.
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求最值
已知点A（－2，），设点F为椭圆＋＝1的右焦点，点M为椭圆上一动点，求｜MA｜＋2｜MF｜的最小值，并求此时点M的坐标.
1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则｜AB｜＝（　　）
A.　　　B.6　　　C.12　　　D.7
2.已知P为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，A为其左顶点，F（4，0）为其右焦点，满足｜AF｜＝｜PF｜，∠PFA＝60°，则点F到直线PA的距离为（　　）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，若方程＝m｜x－2y＋3｜表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是　　　　.
微突破　圆锥曲线的第二定义
类型1
【例1】 8　解析：设AB的中点为E，点A，E，B在抛物线准线l：x＝－1上的射影分别为G，H，M.则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AG｜＋｜BM｜＝2｜EH｜＝2｜－（－1）｜＝8.
类型2
【例2】 ［，1）　解析：设点P（x0，y0），则由第二定义得｜PF1｜＝e（x0＋）＝a＋ex0，｜PF2｜＝e（－x0）＝a－ex0.因为△PF1F2中∠F1PF2＝90°，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2.即（a＋ex0）2＋（a－ex0）2＝（2c）2＝4c2，解得＝，由椭圆方程中x的范围知0≤≤a2.所以0≤＜a2，解得≤e＜1.
类型3
【例3】 （，±）　解析：设点P（x0，y0）（x0＞0），双曲线的左准线为l1：x＝－，右准线为l2：x＝，则点P到l1，l2的距离分别为d1＝x0＋，d2＝x0－.所以＝＝＝，解得x0＝.将其代入原方程，得y0＝±.因此，点P的坐标为（，±）.
类型4
【例4】 解：如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M.
∵椭圆的离心率e＝，
∴由第二定义得2｜MF｜＝｜MN｜，
∴｜AM｜＋2｜MF｜的最小值为｜AN｜的长，且｜AN｜＝2＋8＝10，
∴｜AM｜＋2｜MF｜的最小值为10，此时点M的坐标为（2，）.
跟踪训练
1.C　由题意，得F（，0），又因为k＝tan 30°＝，故直线AB的方程为y＝（x－），与抛物线C：y2＝3x联立，消去y得16x2－168x＋9＝0，设点A（x1，y1），点B（x2，y2），则由根与系数的关系得x1＋x2＝，并由抛物线的定义得，｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋＝12.故选C.
2.D　由题意，知A（－a，0），右准线方程为x＝，由｜AF｜＝｜PF｜，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，所以P（，（a＋c）），由双曲线的第二定义可得＝，化为c2－3ac－4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a＝，则点F到PA的距离为（a＋c）＝×5＝.故选D.
3.（0，）　解析：已知等式可变形为＝m，此式可看成点（x，y）到定点（0，－1）的距离与到直线x－2y＋3＝0的距离之比为常数m，由椭圆的第二定义知0＜m＜1，所以0＜m＜.
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微突破　圆锥曲线的第二定义
高中总复习·数学
1. 圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的
点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜e＜1时为椭圆；当e＝1时为抛物线；当e＞
1时为双曲线.
2. 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分
子、点线距为分母”，其商即是离心率e.圆锥曲线的第二定义，给出了圆
锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第
二定义对它们进行相互转化.
求焦点弦长
过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，
y2），若x1＋x2＝6，则｜AB｜的长为 .
解析：设AB的中点为E，点A，E，B在抛物线准线l：x＝－1上的射影
分别为G，H，M. 则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AG｜＋｜BM｜
＝2｜EH｜＝2｜ －（－1）｜＝8.
8
求离心率
已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0），F1，F2分别是左、右焦点，若椭
圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围
为 .
［ ，1）
解析：设点P（x0，y0），则由第二定义得｜PF1｜＝e（x0＋ ）＝a＋
ex0，｜PF2｜＝e（ －x0）＝a－ex0.因为△PF1F2中∠F1PF2＝90°，
所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2.即（a＋ex0）2＋（a－ex0）2＝
（2c）2＝4c2，解得 ＝ ，由椭圆方程中x的范围知0≤ ≤a2.所
以0≤ ＜a2，解得 ≤e＜1.
求点的坐标
双曲线x2－ ＝1的右支上一点P，到左焦点F1与到右焦点F2的距离
之比为2∶1，则点P的坐标为 .
（ ，± ）
解析：设点P（x0，y0）（x0＞0），双曲线的左准线为l1：x＝－ ，右准
线为l2：x＝ ，则点P到l1，l2的距离分别为d1＝x0＋ ，d2＝x0－ .所以
＝ ＝ ＝ ，解得x0＝ .将其代入原方程，得y0＝± .因
此，点P的坐标为（ ，± ）.
求最值
已知点A（－2， ），设点F为椭圆 ＋ ＝1的右焦点，点M为
椭圆上一动点，求｜MA｜＋2｜MF｜的最小值，并求此时点M的坐标.
解：如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭
圆交于点M.
∵椭圆的离心率e＝ ，
∴由第二定义得2｜MF｜＝｜MN｜，
∴｜AM｜＋2｜MF｜的最小值为｜AN｜的长，且｜AN｜＝2＋8＝10，
∴｜AM｜＋2｜MF｜的最小值为10，此时点M的坐标为（2 ， ）.
1. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于
A，B两点，则｜AB｜＝（　　）
A. B. 6
C. 12 D. 7
√
解析： 　由题意，得F（ ，0），又因为k＝tan 30°＝ ，故直线AB
的方程为y＝ （x－ ），与抛物线C：y2＝3x联立，消去y得16x2－
168x＋9＝0，设点A（x1，y1），点B（x2，y2），则由根与系数的关系
得x1＋x2＝ ，并由抛物线的定义得，｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ＋ ＝12.
故选C.
2. 已知P为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，A为其左
顶点，F（4 ，0）为其右焦点，满足｜AF｜＝｜PF｜，∠PFA＝
60°，则点F到直线PA的距离为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由题意，知A（－a，0），右准线方程为x＝ ，由｜AF｜
＝｜PF｜，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，所以P（ ，
（a＋c）），由双曲线的第二定义可得 ＝ ，化为c2－3ac－4a2＝
0，可得c＝4a，由c＝4 ，可得a＝ ，则点F到PA的距离为 （a
＋c）＝ ×5 ＝ .故选D.
3. 在平面直角坐标系中，若方程 ＝m｜x－2y＋3｜表
示的曲线为椭圆，则m的取值范围是 .
解析：已知等式可变形为 ＝ m，此式可看成点（x，
y）到定点（0，－1）的距离与到直线x－2y＋3＝0的距离之比为常数
m，由椭圆的第二定义知0＜ m＜1，所以0＜m＜ .
（0， ）
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