资源简介

第一节　数列的概念与表示
1.在数列，，，，…，，…中，是它的（　　）
A.第8项 B.第9项
C.第10项 D.第11项
2.已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝（　　）
A.240 B.230
C.220 D.210
3.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－an，则S2 025＝（　　）
A.4 050 B.－4 050
C.2 D.－2
4.给定一个函数y＝f（x），对任意an∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则该函数的图象是（　　）
5.已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2（n≥2，n∈N*），Sn为其前n项和，则（　　）
A.a4－a2＝7 B.a10＝55
C.S5＝35 D.a8＋a4＝28
7.〔多选〕（2024·石家庄二模）已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N*），前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A.数列{an}有最小项，且有最大项
B.使an∈Z的项共有5项
C.满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个
D.使Sn取得最小值的n为4
8.已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an}的通项公式为　　　　.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝（n2＋n）an，求数列{bn}的最大项.
10.（2025·宁波二模）已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是（　　）
A.［，］ B.（，）
C.（，） D.（，］
11.〔多选〕已知各项均为正数的数列{an}的前n项积为Tn，且an＋1＝则下列说法中正确的是（　　）
A.当n≥2时，0＜an≤2
B.当＜a1＜1时，T4n＝1
C.无论a1取何值，均存在λ∈N*，使得an＋λ＝an对任意n∈N*成立
D.无论a1取何值，数列{an}中均存在与a1的数值相同的另一项
12.已知数列{an}的各项都为正数，定义：Gn＝为数列{an}的“匀称值”.已知数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则该数列中的a10＝　　　　.
13.（2024·杭州模拟）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，…，若按此规律继续下去，则a5＝　　　　，若an＝145，则n＝　　　　.
14.已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋.我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，，…；当a＝－时，得到有穷数列：－，－1，0.
（1）求当a为何值时a4＝0；
（2）若＜an＜2（n≥4），求a的取值范围.
15.（创新考法）已知数列{an}的通项公式为an＝（n－k1）（n－k2），其中n∈N*，k1，k2∈Z.
（1）写出一组k1，k2的值，使得数列{an}中的各项均为正数；
（2）若0＜k1＜k2，数列{cn}满足cn＝an＋｜an｜，其前n项和为Sn，且使ci＝cj≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1，S2，…，Sn中至少有3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k2的最小值.
第一节　数列的概念与表示
1.B　由题意可得，数列的通项公式为an＝，令＝，解得n＝9.故选B.
2.D　由anam＝an＋m，a2＝2，得a20＝a2a18＝a2a2a16＝…＝＝210.故选D.
3.C　因为a1＝2，an＋1＝－an，所以a2＝－a1＝－2，a3＝－a2＝2，a4＝－2，…，所以an＋2＝an，所以{an}是周期为2的周期数列，所以S2 025＝a1＋a2＋…＋a2 025＝2＋（－2）＋2＋（－2）＋…＋2＝2.故选C.
4.A　由an＋1＝f（an），an＋1＞an知f（an）＞an，可以知道x∈（0，1）时f（x）＞x，即f（x）的图象在y＝x图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A符合条件.
5.A　若an＞0，则Sn＞Sn－1，所以{Sn}是递增数列，所以“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的充分条件；若{Sn}是递增数列，则Sn＞Sn－1，所以an＞0（n≥2），但是a1的符号不确定，所以“an＞0”不是“{Sn}是递增数列”的必要条件，故选A.
6.ABC　因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46，故选A、B、C.
7.ABD　因为an＝（n∈N*），所以an＋1－an＝－＝，令an＋1－an＞0，即（2n－7）（2n－9）＜0，解得＜n＜，又n∈N*，所以当n＝4时an＋1－an＞0，则当1≤n≤3或n≥5时an＋1－an＜0，令an＝＞0，解得n＞，所以a1＝－＞a2＝－＞a3＝－3＞a4＝－9，a5＞a6＞a7＞…＞0，所以数列{an}有最小项a4＝－9，且有最大项a5＝9，故A正确；由an∈Z，则∈Z，又n∈N*，所以n＝3或n＝4或n＝5或n＝6或n＝9，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确；要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误；因为n≤4时an＜0，n≥5时an＞0，所以当n为4时Sn取得最小值，故D正确.
8.an＝　解析：由log2（Sn＋1）＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.所以数列{an}的通项公式为an＝
9.解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn， ①
所以an－1＝1－Sn－1（n≥2）， ②
①－②并整理，得an＝an－1（n≥2），
又由a1＝1－S1，得a1＝，
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝.
（2）因为bn＝（n2＋n）an＝，
所以bn＋1－bn＝－＝，
当n≥2时，bn＋1≤bn，当n＜2时，bn＋1＞bn，
即b1＜b2＝b3＞b4＞b5＞…，
所以数列{bn}的最大项为b2＝b3＝＝.
10.C　因为对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，所以数列{an}在[1，4]上是递减数列.因为对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，所以数列{an}在[7，＋∞）上是递增数列.所以解得＜λ＜，所以实数λ的取值范围是（，）.故选C.
11.AB　若an∈（0，1]，则an＋1∈（0，2]；若an＞1，则an＋1∈（0，1），故an＋1∈（0，2]，A正确；＜a1＜1 a2＝2a1∈（1，2） a3＝∈（，1） a4＝∈（1，2） a5＝a1，故an＋4＝an，T4n＝（a1a2a3a4）n＝1，B正确；若a1＝，则a2＝，a3＝1，a4＝2，a5＝，数列从第2项开始按，1，2呈现周期变化，其中没有与a1相同的项，故C、D均不正确.
12.　解析：因为各项均为正数的数列{an}的“匀称值”为Gn＝＝n＋2，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n（n＋2）　①，所以n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝（n－1）·（n＋1）　②，①－②得nan＝2n＋1，所以an＝（n≥2），所以a10＝.
13.35　10　解析：由题意知，第1个五角形数记作a1＝1＝3×1－2，第2个五角形数记作a2＝5＝a1＋3×2－2，第3个五角形数记作a3＝12＝a2＋3×3－2，第4个五角形数记作a4＝22＝a3＋3×4－2，第5个五角形数记作a5＝a4＋3×5－2＝35，…，第n个五角形数记作an＝an－1＋3×n－2，即an－an－1＝3n－2，则an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋3（2＋3＋…＋n）－2（n－1）＝1＋3×－2（n－1）＝，由an＝145，即＝145，解得n＝10.
14.解：（1）a1＝a，an＋1＝1＋，a2＝，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，
故当a＝－时，a4＝0.
（2）要使＜an＜2（n≥4），即＜1＋＜2，所以1＜an－1＜2.
因为（，2） （1，2），只需当a4∈（，2），都有an∈（，2）（n≥5）.
由a4＝，得＜＜2，解不等式组得故a的取值范围为（0，＋∞）.
15.解：（1）k1＝－1，k2＝－2（答案不唯一，只要k1，k2均取小于1的整数即可）.
（2）因为an＝（n－k1）（n－k2）＝n2－（k1＋k2）n＋k1k2，且0＜k1＜k2，
所以cn＝an＋｜an｜＝
因为ci＝cj≠0（i，j∈N*，i＜j），所以i，j [k1，k2].
于是由cn＝2[n2－（k1＋k2）n＋k1k2]，可得＝，进一步得0＜i＜k1＜k2＜j，此时，i可取1，2，3，4，因此，k1＝5.
又S1，S2，…，Sn中至少有3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，
不妨设Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝…，
于是有cm＋1＝cm＋2＝…＝0.
因为当k1≤n≤k2时，cn＝0，
所以5＝k1≤m＋1＜m＋2＜…≤k2，
因此，k2≥6，即k2的最小值为6.
2 / 2第一节　数列的概念与表示
课标要求
　　通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的概念
概念 含义
数列 按照　　　　　　排列的一列数
数列的项 数列中的　　　　　
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与　　　　之间的关系式
前n项和 数列{an}中，Sn＝　　　　　　　
提醒 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
2.数列的分类及性质
3.数列的表示方法
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点　　　　　画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项 公式 把数列的通项用　　　　表示
递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
4.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是　　　　，对应的函数值是　　　　　　　，记为an＝f（n）.
1.在数列{an}（n≥2）中，若an最大，则若an最小，则
2.若an＋k＝an（k为非零常数），则数列{an}为周期数列，k为{an}的一个周期.
3.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（　　）
（2）1，1，1，1，…，不能构成一个数列.（　　）
（3）任何一个数列都有唯一的通项公式.（　　）
（4）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.（　　）
2.已知数列－1，，－，2，－，…，则该数列的第100项为（　　）
A.10　　B.－10　　C.－11　　D.
3.（人A选二P8练习3题改编）在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（n≥2），则a5＝（　　）
A. B.
C. D.
4.已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则实数k的取值范围是（　　）
A.（－2，＋∞） B.（－6，＋∞）
C.（－∞，－2） D.（－∞，2）
5.（人A选二P8练习4题改编）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2，则an＝　　　　　.
由数列的前几项归纳通项公式
（师生共研过关）
（人A选二P6例4改编）如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为　　　，这个数列的一个通项公式an＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征
（1）分式中分子、分母的特征；
（2）相邻项的变化特征；
（3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分；
（4）各项的符号特征.
　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）－1，7，－13，19，…；
（2）－，，－，，…；
（3），，，，，…；
（4）9，99，999，9 999，….
由an与Sn的关系求an
（师生共研过关）
（1）（2025·漳州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝an＋1，则＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
（2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
1.Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
2.已知Sn求an的3个步骤
（1）先利用a1＝S1求出a1；
（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）即可求出当n≥2时an的表达式；
（3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
1.数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则此数列的通项公式an＝　　　　.
2.（2025·湖北模拟）设数列{an}满足a1＋＋…＋＝，则此数列的通项公式an＝　　　　.
数列的性质
（定向精析突破）
考向1　数列的周期性
（2025·淄博测试）数列{an}满足a1＝，an＋1＝（n∈N*），则a2 027＝（　　）
A.　　　B.3　　　C.－2　　　D.－
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
解决数列周期性问题的方法
　　根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项的和.
考向2　数列的单调性
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，则“k≤2”是“数列{an}为单调递增数列”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
解决数列单调性问题的方法
（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
（2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断；
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
考向3　数列的最大（小）项
已知数列{an}的通项公式是an＝（n＋2）×（）n（n∈N*），设数列{an}中最大项为am，则m＝　　　　，am＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
求数列最大项与最小项的常用方法
（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法；
（2）解不等式组（n≥2）确定最大项，解不等式组（n≥2）确定最小项.
1.（2024·衡水联考）已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为（　　）
A. B.4－1
C. D.
2.如表定义函数f（x）：
x 1 2 3 4 5
f（x） 4 5 1 2 3
数列{an}中，a1＝3，an＝f（an－1），n＝2，3，4，…，则a2 025＝　　　　.
第一节　数列的概念与表示
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.确定的顺序　每一个数　序号n　a1＋a2＋…＋an
3.（n，an）　公式
4.序号n　数列的第n项an
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.A　3.D　4.B　5.2n－1　
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 17　4n－3　解析：从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根据上述规律an＝a1＋（n－1）×4＝1＋（n－1）×4＝4n－3.所以通项公式an＝4n－3.
跟踪训练
解：（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n；观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝（－1）n（6n－5）.
（2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式为an＝（－1）n·.
（3）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个通项公式为an＝.
（4）这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，故所求数列的一个通项公式为an＝10n－1.
考点2
【例1】 （1）A　（2）
解析：（1）因为3Sn＝an＋1，则3Sn＋1＝an＋1＋1，两式相减可得：3an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝－an，令n＝7，可得2a8＝－a7，且an≠0，所以＝－.
（2）当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2；∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n①，故a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝2n－1（n≥2）②，由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1（n≥2），∴an＝（n≥2）.显然当n＝1时不满足上式.∴an＝
跟踪训练
1.　解析：∵数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3－（2n－1－3）＝2n－1，显然当n＝1时不满足上式，∴an＝
2.（2n－1）·3n－1　解析：已知a1＋＋…＋＝①，当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a1＋＋…＋＝②，①－②得，＝－＝＝3n－1，所以an＝（2n－1）·3n－1，当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝（2n－1）·3n－1.
考点3
【例3】 C　因为数列{an}满足a1＝，an＋1＝（n∈N*），所以a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝＝，则{an}是以4为周期的周期数列，所以a2 027＝a506×4＋3＝a3＝－2.故选C.
【例4】 A　根据题意，数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，若数列{an}为单调递增数列，则有an＋1－an＝（n＋1）2－k（n＋1）＋5－（n2－kn＋5）＝2n＋1－k＞0（n∈N*），所以k＜2n＋1.因为n∈N*，所以当k≤2时，数列{an}为单调递增数列，而当数列{an}为单调递增数列时，k≤2不一定成立，所以“k≤2”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不必要条件.故选A.
【例5】 5或6　　解析：法一（作差法） an＋1－an＝（n＋3）×（）n＋1－（n＋2）×（）n＝（）n×.当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝.
法二（作商法） ＝＝.令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5.又an＞0，故有a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，所以当n＝5或n＝6时，{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝.
法三（解不等式（组））　由题知a1＜a2.假设{an}中有最大项，且最大项为第n（n≥2）项，则
即
解得即5≤n≤6.又n∈N*，故当n＝5或n＝6时，{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝.
跟踪训练
1.C　由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝28＋2＋4＋…＋2（n－1）＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，设f（x）＝x＋，可知f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，又n∈N*，且＝＜＝，故选C.
2.5　解析：由an＝f（an－1），a1＝3，可得a2＝f（a1）＝f（3）＝1，a3＝f（a2）＝f（1）＝4，a4＝f（a3）＝f（4）＝2，a5＝f（a4）＝f（2）＝5，a6＝f（a5）＝f（5）＝3，…，可得数列{an}是以5为周期的周期数列，则a2 025＝a5＝5.
3 / 4(共64张PPT)
第一节　数列的概念与表示
高中总复习·数学
课标要求
　　通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、
图象、通项公式），了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 数列的概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与 之间的关系式
前n项和 数列{an}中，Sn＝
确定的顺序　
每一个数　
序号n　
a1＋a2＋…＋an　
提醒 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置
序号.
2. 数列的分类及性质
3. 数列的表示方法
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点 画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项公式 把数列的通项用 表示
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递
推公式
（n，an）　
公式　
4. 数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R
的函数，其自变量是 ，对应的函数值是 ，
记为an＝f（n）.
序号n　
数列的第n项an　
1. 在数列{an}（n≥2）中，若an最大，则 若an最小，则
2. 若an＋k＝an（k为非零常数），则数列{an}为周期数列，k为{an}的一
个周期.
3. 若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列. （　×　）
（2）1，1，1，1，…，不能构成一个数列. （　×　）
（3）任何一个数列都有唯一的通项公式. （　×　）
（4）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－
Sn. （　√　）
×
×
×
√
2. 已知数列－1， ，－ ，2，－ ，…，则该数列的第100项为
（　　）
A. 10 B. －10
C. －11
解析： 　由题意知，该数列的通项公式为an＝（－1）n· ，∴a100＝
（－1）100× ＝10，故选A.
√
3. （人A选二P8练习3题改编）在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋
（n≥2），则a5＝（　　）
解析：D　a2＝1＋ ＝2，a3＝1＋ ＝ ，a4＝1＋ ＝3，
a5＝1＋ ＝ .
4. 已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则实数k的取值范
围是（　　）
A. （－2，＋∞） B. （－6，＋∞）
C. （－∞，－2） D. （－∞，2）
解析： 　要想{an}为递增数列，则an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝
2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又n＝1时，－2×3n取得最大值，
最大值为－6，故k＞－6.
√
5. （人A选二P8练习4题改编）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2，
则an＝ .
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，且a1
＝1也满足此式，故an＝2n－1，n∈N*.
2n－1　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
由数列的前几项归纳通项公式（师生共研过关）
（人A选二P6例4改编）如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相
连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数
为 ，这个数列的一个通项公式an＝ .
17　
4n－3　
解析：从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一
项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝
5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根
据上述规律an＝a1＋（n－1）×4＝1＋（n－1）×4＝4n－3.所以通项公
式an＝4n－3.
解题技法
由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征
（1）分式中分子、分母的特征；
（2）相邻项的变化特征；
（3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分；
（4）各项的符号特征.
　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）－1，7，－13，19，…；
解： 偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n；
观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列
的一个通项公式为an＝（－1）n（6n－5）.
（2）－ ， ，－ ， ，…；
解： 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒
数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式为an＝（－1）
n· .
（3） ， ， ， ， ，…；
解： 这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为
1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇
数的乘积，故所求数列的一个通项公式为an＝ .
（4）9，99，999，9 999，….
解： 这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－
1，故所求数列的一个通项公式为an＝10n－1.
由an与Sn的关系求an（师生共研过关）
（1）（2025·漳州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝an
＋1，则 ＝（　A　）
A
解析： 因为3Sn＝an＋1，则3Sn＋1＝an＋1＋1，两式相减可得：3an＋1
＝an＋1－an，即2an＋1＝－an，令n＝7，可得2a8＝－a7，且an≠0，所以
＝－ .

解析： 当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2；∵a1＋2a2＋3a3＋…＋
nan＝2n①，故a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝2n－1（n≥2）②，由
①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1（n≥2），∴an＝ （n≥2）.显然当n
＝1时不满足上式.∴an＝
　
解题技法
1. Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求
解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
2. 已知Sn求an的3个步骤
（1）先利用a1＝S1求出a1；
（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1
（n≥2）即可求出当n≥2时an的表达式；
（3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.

解析：∵数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－
1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3－（2n－1－3）＝2n－1，显然当n＝1
时不满足上式，∴an＝
　
2. （2025·湖北模拟）设数列{an}满足a1＋ ＋…＋ ＝ ，则此数
列的通项公式an＝ .
解析：已知a1＋ ＋…＋ ＝ ①，当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，
a1＋ ＋…＋ ＝ ②，①－②得， ＝ － ＝
＝3n－1，所以an＝（2n－1）·3n－1，当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an
＝（2n－1）·3n－1.
（2n－1）·3n－1　
数列的性质（定向精析突破）
考向1　数列的周期性
（2025·淄博测试）数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ （n∈N*），
则a2 027＝（　　）
B. 3
C. －2
√
解析： 　因为数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ （n∈N*），所以a2＝
＝3，a3＝ ＝－2，a4＝ ＝－ ，a5＝ ＝ ，则{an}是以4为周
期的周期数列，所以a2 027＝a506×4＋3＝a3＝－2.故选C.
解题技法
解决数列周期性问题的方法
　　根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，
进而求出有关项的值或者前n项的和.
考向2　数列的单调性
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，则“k≤2”是“数列
{an}为单调递增数列”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
√
解析： 　根据题意，数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，若数列
{an}为单调递增数列，则有an＋1－an＝（n＋1）2－k（n＋1）＋5－（n2
－kn＋5）＝2n＋1－k＞0（n∈N*），所以k＜2n＋1.因为n∈N*，所以
当k≤2时，数列{an}为单调递增数列，而当数列{an}为单调递增数列时，
k≤2不一定成立，所以“k≤2”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不
必要条件.故选A.
解题技法
解决数列单调性问题的方法
（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减
数列还是常数列；
（2）作商比较法：根据 （an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断；
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
考向3　数列的最大（小）项
已知数列{an}的通项公式是an＝（n＋2）×（ ）n（n∈N*），设
数列{an}中最大项为am，则m＝ ，am＝ .
解析：法一（作差法） an＋1－an＝（n＋3）×（ ）n＋1－（n＋2）×
（ ）n＝（ ）n× .当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝5
时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，所以当n＝5或n＝6时，数列
{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝ .
5或6　
　
法二（作商法） ＝ ＝ .令 ＞1，解得n
＜5；令 ＝1，解得n＝5；令 ＜1，解得n＞5.又an＞0，故有a1＜
a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，所以当n＝5或n＝6时，{an}有最大项，且
最大项为a5＝a6＝ .
法三（解不等式（组））　由题知a1＜a2.假设{an}中有最大项，且最大
项为第n（n≥2）项，则 即
解得 即
5≤n≤6.又n∈N*，故当n＝5或n＝6时，{an}有最大项a5和a6，且a5＝
a6＝ .
解题技法
求数列最大项与最小项的常用方法
（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直
接确定最大（小）项，否则，利用作差法；
（2）解不等式组 （n≥2）确定最大项，解不等式组
（n≥2）确定最小项.
1. （2024·衡水联考）已知数列{an}满足a1＝28， ＝2，则 的最
小值为（　　）
√
解析： 由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…
＋（an－an－1）＝28＋2＋4＋…＋2（n－1）＝n2－n＋28，∴ ＝n＋
－1，设f（x）＝x＋ ，可知f（x）在（0，2 ]上单调递减，在
（2 ，＋∞）上单调递增，又n∈N*，且 ＝ ＜ ＝ ，故选C.
2. 如表定义函数f（x）：
x 1 2 3 4 5
f（x） 4 5 1 2 3
数列{an}中，a1＝3，an＝f（an－1），n＝2，3，4，…，则a2 025
＝ .
解析：由an＝f（an－1），a1＝3，可得a2＝f（a1）＝f（3）＝1，a3＝f
（a2）＝f（1）＝4，a4＝f（a3）＝f（4）＝2，a5＝f（a4）＝f（2）＝
5，a6＝f（a5）＝f（5）＝3，…，可得数列{an}是以5为周期的周期数
列，则a2 025＝a5＝5.
5　
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 在数列 ， ， ， ，…， ，…中， 是它的（　　）
A. 第8项 B. 第9项
C. 第10项 D. 第11项
解析： 　由题意可得，数列的通项公式为an＝ ，令 ＝ ，解得
n＝9.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
2. 已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，
那么a20＝（　　）
A. 240 B. 230
C. 220 D. 210
解析： 　由anam＝an＋m，a2＝2，得a20＝a2a18＝a2a2a16＝…＝ ＝
210.故选D.
√
3. 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－an，则S2 025＝（　　）
A. 4 050 B. －4 050
C. 2 D. －2
解析： 　因为a1＝2，an＋1＝－an，所以a2＝－a1＝－2，a3＝－a2＝2，
a4＝－2，…，所以an＋2＝an，所以{an}是周期为2的周期数列，所以S2 025
＝a1＋a2＋…＋a2 025＝2＋（－2）＋2＋（－2）＋…＋2＝2.故选C.
√
4. 给定一个函数y＝f（x），对任意an∈（0，1），由关系式an＋1＝f
（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则该函数的图象是
（　　）
√
解析： 　由an＋1＝f（an），an＋1＞an知f（an）＞an，可以知道x∈（0，1）时f（x）＞x，即f（x）的图象在y＝x图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A符合条件.
5. 已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　若an＞0，则Sn＞Sn－1，所以{Sn}是递增数列，所以“an＞0”
是“{Sn}是递增数列”的充分条件；若{Sn}是递增数列，则Sn＞Sn－1，所
以an＞0（n≥2），但是a1的符号不确定，所以“an＞0”不是“{Sn}是递
增数列”的必要条件，故选A.
√
6. 〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2（n≥2，n∈N*），
Sn为其前n项和，则（　　）
A. a4－a2＝7 B. a10＝55
C. S5＝35 D. a8＋a4＝28
解析： 　因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4
＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝
62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2
＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝
a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋
15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46，故选A、B、C.
√
√
√
7. 〔多选〕（2024·石家庄二模）已知数列{an}的通项公式为an＝
（n∈N*），前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A. 数列{an}有最小项，且有最大项
B. 使an∈Z的项共有5项
C. 满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个
D. 使Sn取得最小值的n为4
√
√
√
解析： 　因为an＝ （n∈N*），所以an＋1－an＝ － ＝
，令an＋1－an＞0，即（2n－7）（2n－9）＜0，解得 ＜
n＜ ，又n∈N*，所以当n＝4时an＋1－an＞0，则当1≤n≤3或n≥5时an
＋1－an＜0，令an＝ ＞0，解得n＞ ，所以a1＝－ ＞a2＝－ ＞a3＝
－3＞a4＝－9，a5＞a6＞a7＞…＞0，所以数列{an}有最小项a4＝－9，且
有最大项a5＝9，故A正确；由an∈Z，则 ∈Z，又n∈N*，所以n＝3
或n＝4或n＝5或n＝6或n＝9，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确；
要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负
数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故
C错误；因为n≤4时an＜0，n≥5时an＞0，所以当n为4时Sn取得最小值，
故D正确.

解析：由log2（Sn＋1）＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝
3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.所以数
列{an}的通项公式为an＝
an＝ 　
9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 因为数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn， ①
所以an－1＝1－Sn－1（n≥2）， ②
①－②并整理，得an＝ an－1（n≥2），
又由a1＝1－S1，得a1＝ ，
所以数列{an}是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以an＝ .
（2）设bn＝（n2＋n）an，求数列{bn}的最大项.
解： 因为bn＝（n2＋n）an＝ ，
所以bn＋1－bn＝ － ＝ ，
当n≥2时，bn＋1≤bn，当n＜2时，bn＋1＞bn，
即b1＜b2＝b3＞b4＞b5＞…，
所以数列{bn}的最大项为b2＝b3＝ ＝ .
10. （2025·宁波二模）已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1，
2，3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则
实数λ的取值范围是（　　）
√
解析： 　因为对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，所以数列{an}在[1，
4]上是递减数列.因为对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，所以
数列{an}在[7，＋∞）上是递增数列.所以 解得 ＜λ＜ ，
所以实数λ的取值范围是（ ， ）.故选C.
11. 〔多选〕已知各项均为正数的数列{an}的前n项积为Tn，且an＋1＝
则下列说法中正确的是（　　）
A. 当n≥2时，0＜an≤2
C. 无论a1取何值，均存在λ∈N*，使得an＋λ＝an对任意n∈N*成立
D. 无论a1取何值，数列{an}中均存在与a1的数值相同的另一项
√
√
解析： 　若an∈（0，1]，则an＋1∈（0，2]；若an＞1，则an＋1∈（0，
1），故an＋1∈（0，2]，A正确； ＜a1＜1 a2＝2a1∈（1，2） a3＝
∈（ ，1） a4＝ ∈（1，2） a5＝a1，故an＋4＝an，T4n＝
（a1a2a3a4）n＝1，B正确；若a1＝ ，则a2＝ ，a3＝1，a4＝2，a5＝ ，
数列从第2项开始按 ，1，2呈现周期变化，其中没有与a1相同的项，故
C、D均不正确.
12. 已知数列{an}的各项都为正数，定义：Gn＝ 为数
列{an}的“匀称值”.已知数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则该数列
中的a10＝ .
解析：因为各项均为正数的数列{an}的“匀称值”为Gn＝
＝n＋2，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n（n＋2）　
①，所以n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝（n－1）·（n＋
1）　②，①－②得nan＝2n＋1，所以an＝ （n≥2），所以a10＝ .
　
13. （2024·杭州模拟）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙
滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小
石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1，5，12，22，…，
被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝
5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，…，若按此规
律继续下去，则a5＝ ，若an＝145，则n＝ .
35　
10　
解析：由题意知，第1个五角形数记作a1＝1＝3×1－2，第2个五角形数记
作a2＝5＝a1＋3×2－2，第3个五角形数记作a3＝12＝a2＋3×3－2，第4个
五角形数记作a4＝22＝a3＋3×4－2，第5个五角形数记作a5＝a4＋3×5－2
＝35，…，第n个五角形数记作an＝an－1＋3×n－2，即an－an－1＝3n－
2，则an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋3（2＋3
＋…＋n）－2（n－1）＝1＋3× －2（n－1）＝
，由an＝145，即 ＝145，解得n＝10.
14. 已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋ .我们知道当a取不同的值时，
得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2， ， ，…；当a＝
－ 时，得到有穷数列：－ ，－1，0.
（1）求当a为何值时a4＝0；
解： a1＝a，an＋1＝1＋ ，a2＝ ，a3＝1＋ ＝ ，a4＝1＋
＝ ，
故当a＝－ 时，a4＝0.
（2）若 ＜an＜2（n≥4），求a的取值范围.
解： 要使 ＜an＜2（n≥4），即 ＜1＋ ＜2，所以1＜an－1＜2.
因为（ ，2） （1，2），只需当a4∈（ ，2），都有an∈（ ，2）
（n≥5）.
由a4＝ ，得 ＜ ＜2，解不等式组 得
故a的取值范围为（0，＋∞）.
15. （创新考法）已知数列{an}的通项公式为an＝（n－k1）（n－k2），
其中n∈N*，k1，k2∈Z.
（1）写出一组k1，k2的值，使得数列{an}中的各项均为正数；
解： k1＝－1，k2＝－2（答案不唯一，只要k1，k2均取小于1的整数
即可）.
（2）若0＜k1＜k2，数列{cn}满足cn＝an＋｜an｜，其前n项和为Sn，且
使ci＝cj≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1，S2，…，Sn中
至少有3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k2的最小值.
解： 因为an＝（n－k1）（n－k2）＝n2－（k1＋k2）n＋k1k2，且0
＜k1＜k2，
所以cn＝an＋｜an｜＝
因为ci＝cj≠0（i，j∈N*，i＜j），所以i，j [k1，k2].
于是由cn＝2[n2－（k1＋k2）n＋k1k2]，可得 ＝ ，进一步得0＜
i＜k1＜k2＜j，此时，i可取1，2，3，4，因此，k1＝5.
又S1，S2，…，Sn中至少有3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，
不妨设Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝…，
于是有cm＋1＝cm＋2＝…＝0.
因为当k1≤n≤k2时，cn＝0，
所以5＝k1≤m＋1＜m＋2＜…≤k2，
因此，k2≥6，即k2的最小值为6.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑