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专题04 解三角形图形类问题
【题型归纳目录】
题型一：同角余弦相等列方程
题型二：两次使用正弦定理
题型三：中线问题
题型四：角平分线问题
题型五：高问题
题型六：外接圆与内切圆问题
【知识点梳理】
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
【典型例题】
题型一：同角余弦相等列方程
【例1】（2025·湖南·模拟预测）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．

(1)求的值；
(2)若测得，求待测径长．
【变式1-1】（2025·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且.
(1)求；
(2)若，求.
题型二：两次使用正弦定理
【例2】（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
【变式2-1】（2025·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当，且时，求AC的长；
（Ⅱ）当，且时，求的面积．
【变式2-2】（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线．
(1)若，求证；
(2)在（1）的条件下，若，求；
(3)若，求的取值范围．
题型三：中线问题
【例3】（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求；
(2)求∠MPN的余弦值．
【变式3-1】（23-24高一下·广东中山·期中）在中，满足
(1)求；
(2)若，边上的中线，，求的周长和面积.
【变式3-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角A的大小.
(2)若，求AC边上的中线BD的长.
题型四：角平分线问题
【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且．
(1)求的大小；
(2)若，求的面积．
【变式4-1】（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，角的平分线与AC交于点，且，求边的值．
【变式4-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）中，内角所对的边为，．
(1)若，试确定的形状；
(2)若，是的平分线，求长．
题型五：高问题
【例5】（2025·江苏南通·三模）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．
【变式5-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，BC边上的中线，求BC边上的高．
【变式5-2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，
(1)若，解三角形：
(2)若角且的外接圆半径为．
①求的面积；
②求边上的高．
题型六：外接圆与内切圆问题
【例6】（22-23高一下·河南南阳·期中）如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，．
(1)求角；
(2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积．
【变式6-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H.
(1)求；
(2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值；
(3)若，求的值.
【变式6-2】（24-25高一下·湖南长沙·期中）半径为1的圆内接，且．
(1)求数量积，，；
(2)求的面积．
【强化训练】
1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求证：；
(2)若，且，，求；
(3)若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围．
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）记的内角的对边分别为，满足．
(1)求角；
(2)若为上一点，且，，，求的面积；
(3)若，，是中线，求的长．
3．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，边上的中线．
(1)求的长；
(2)求的值．
4．（23-24高三上·湖北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，，，且.
(1)求的正弦值；
(2)，边上的两条中线，相交于点，求的余弦值.
5．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.
(1)求c；
(2)若为上的中线，求的余弦值.
6．（23-24高一下·北京通州·期中）在中，角，，所对的边为，，.，.
(1)求；
(2)若，为边上的中点，求边长及中线的长.
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专题04 解三角形图形类问题
【题型归纳目录】
题型一：同角余弦相等列方程
题型二：两次使用正弦定理
题型三：中线问题
题型四：角平分线问题
题型五：高问题
题型六：外接圆与内切圆问题
【知识点梳理】
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
【典型例题】
题型一：同角余弦相等列方程
【例1】（2025·湖南·模拟预测）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．

(1)求的值；
(2)若测得，求待测径长．
【解析】（1）在中，由正弦定理可得：，
则，因为，因为为钝角，
所以，所以.
（2）在，由余弦定理可得：，
解得：或（舍去），
因为，所以，
在，，
由余弦定理可得：，
解得：，
，，，，
，
在，由余弦定理可得：
，
故.
【变式1-1】（2025·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且.
(1)求；
(2)若，求.
【解析】（1）由，可得，如图所示：
在中，由正弦定理得，
所以
在中，由正弦定理得，
所以
故
因为为的中点，
所以，即，
（2）由（1）不妨设
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得.
所以.
解得.
故
题型二：两次使用正弦定理
【例2】（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，
因为，两式相除得，所以，
又因为，可得，所以.
（2）因为，所以，
又因为平分，可得，
因为，且，，
所以，
即，解得，
在中，由余弦定理得
，所以.
【变式2-1】（2025·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当，且时，求AC的长；
（Ⅱ）当，且时，求的面积．
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
因为为三角形内角，，
所以，可得，
因为，所以；
（2）（Ⅰ）此时，，
所以，所以，
在中，由正弦定理可得；
（Ⅱ）设，由，
可得，化简可得
有，
由于，所以，
所以，
则．
【变式2-2】（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线．
(1)若，求证；
(2)在（1）的条件下，若，求；
(3)若，求的取值范围．
【解析】（1）设边上的高为．
因为，即，所以，
又因为为的平分线，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，所以，
所以，即，即.
（2）因为，为的中点，所以，
又，
所以，即，
又，
故；
（3）在中，，
在中，，
又，所以，
两式相加得，
因为，，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，则，
所以，则，
又，即，所以，
所以，
由，
因为，所以，，
设，则，即，
解得或，
所以或
所以或，
所以或，
所以．
题型三：中线问题
【例3】（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求；
(2)求∠MPN的余弦值．
【解析】（1）因为，为的中点，所以,
在中，
，
所以
（2）因为为的中点，所以，
又，
所以,
所以，
，
所以，
又与的夹角相等，
所以，
所以的余弦值为.
【变式3-1】（23-24高一下·广东中山·期中）在中，满足
(1)求；
(2)若，边上的中线，，求的周长和面积.
【解析】（1）在中，因为，
由正弦定理得，
又因为，
则，
因为，可得，所以，
即，
化简得
因为，可得，
解得，所以.
（2）由边的中线，
可得，可得，
即，即，
在中，由余弦定理，可得，
联立方程组，可得，所以，
所以，
所以的周长为，面积为.
【变式3-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角A的大小.
(2)若，求AC边上的中线BD的长.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）因为，且，可知，
可得，
由正弦定理可得，则，
又因为BD为AC边上的中线，则，
可得，
所以AC边上的中线BD的长为.
题型四：角平分线问题
【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且．
(1)求的大小；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理可得．
因为，所以，
所以，故，
又因为，所以．
（2）由题意可知，
即，化简可得．
在中，由余弦定理得，
从而，解得或（舍）．
则．
【变式4-1】（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，角的平分线与AC交于点，且，求边的值．
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，即，所以，
可得，又因为，.
（2）由及角的平分线与交于点，可得，
因为，所以的面积
同理可得的面积,
又的面积，
所以，，
在中，由余弦定理得，，
解得：.
【变式4-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）中，内角所对的边为，．
(1)若，试确定的形状；
(2)若，是的平分线，求长．
【解析】（1），
因为，所以，
又，
又，故，
化简得，
又，故为等边三角形；
（2）由（1）知，，
又，
在中，由余弦定理得，
故，
由于，故为直角三角形，其中，
又是的平分线，故，
故，即，

故的长为
题型五：高问题
【例5】（2025·江苏南通·三模）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．
【解析】（1）因为，
由正弦定理，得，
即，即.
因为在中，，
所以.
又因为，所以.
（2）因为的面积为，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以的周长为.
【变式5-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，BC边上的中线，求BC边上的高．
【解析】（1）由已知得．
又，
故．
因为，所以，即．
因为，所以．
（2）因为，两边同时平方得，
即，解得（负值舍去），
由余弦定理得，所以．
因为△ABC的面积，
所以．
【变式5-2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，
(1)若，解三角形：
(2)若角且的外接圆半径为．
①求的面积；
②求边上的高．
【解析】（1）因为，
所以，
因为，所以．所以，
所以．
（2）①在中，，
根据余弦定理得，
，
，
②，
．
题型六：外接圆与内切圆问题
【例6】（22-23高一下·河南南阳·期中）如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，．
(1)求角；
(2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积．
【解析】（1）由，联立方程组，解得，
不妨设，可得
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由，由（1）知，可得，
因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆，
在直角中，可得，则，
因为，可得，
在直角中，可得，即，
所以，
所以，
所以四边形的面积为.
【变式6-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H.
(1)求；
(2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值；
(3)若，求的值.
【解析】（1）在锐角中，∵，其外接圆O的半径为，
∴由正弦定理可得：，解得.
.
由题可知，.
（2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点.
由题意及对称性可知.
故要使取得最小值，只需最小.
在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时.
∴，
即的最小值为.
（3）由（1）可知：，.
，.
又，
∴由圆的性质可知.
又，
∴，解得.
∴在锐角中，，，
，.
∴由正弦定理可得：，
∴，.
在中，由点H是的垂心可得，，.
在中，由正弦定理可得，.
同理可得，
，
∴.
【变式6-2】（24-25高一下·湖南长沙·期中）半径为1的圆内接，且．
(1)求数量积，，；
(2)求的面积．
【解析】（1），，
则，即得，
所以，同理，．
（2）由，，
由，，得，
则，
同理，，
则，
所以．
【强化训练】
1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求证：；
(2)若，且，，求；
(3)若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围．
【解析】（1）由题可得：，又由余弦定理可知：，
代入上式可得：，即得.
（2）由可得，即，
则有．记，
在中，由正弦定理可得：
在中，由正弦定理可得：
两式相除可得：，即得，
又由
整理得：，
将代入可得：
解得，所以再由（1）可知：，解得．
（3）由，由余弦定理，，即
又由（1）知，代入上式化简得：，则，
由等面积可得：，即，
化简得：，又由正弦定理可知：，
所以
由上分析可知为方程两正根，
则，解得，
又由为三边且，
故有，解得，故得．
易知在上单调递减，故．
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）记的内角的对边分别为，满足．
(1)求角；
(2)若为上一点，且，，，求的面积；
(3)若，，是中线，求的长．
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
由，故，
所以，
可得
因为，可得），所以，
又因为，所以.
（2）因为点为上一点，且，，，
由三角形面积公式可得，所以，
所以，则.
（3）由，可得，所以，
又由，由余弦定理得，
即，可得，
因为是中线，可得，
所以，所以.
3．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，边上的中线．
(1)求的长；
(2)求的值．
【解析】（1），，所以，
又，所以，
所以，即，所以，
故.
（2）由（1）可知，所以，所以，
所以,
在中，，所以，
在中，，即：所以，所以，
所以.
4．（23-24高三上·湖北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，，，且.
(1)求的正弦值；
(2)，边上的两条中线，相交于点，求的余弦值.
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，，
即，
整理得.
因为，所以，
所以，即.
又因为，所以.
由正弦定理，得.
（2）由余弦定理得，
即，所以.
在中，由余弦定理得，
则.
在中，，
所以，
解得.
由，分别为边，上的中线可知为的重心，
可得，.
在中，由余弦定理得，
又因为，所以.

5．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.
(1)求c；
(2)若为上的中线，求的余弦值.
【解析】（1）由的面积为可得：，
因为，，解得：得，
由角为锐角得，
故，解得.
（2）因为为上的中线，所以，
所以，
，
解得：.

故.
6．（23-24高一下·北京通州·期中）在中，角，，所对的边为，，.，.
(1)求；
(2)若，为边上的中点，求边长及中线的长.
【解析】（1）因为，，
在中，由正弦定理得，
所以.
（2）因为，，所以，
在中，，
根据余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
因为D为AC中点，故，
.
故中线.
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