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专题05 解三角形范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：求周长范围与最值问题
题型二：求面积范围与最值问题
题型三：求长度及长度之和范围与最值问题
题型四：转化为角的范围
题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题
【知识点梳理】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
【典型例题】
题型一：求周长范围与最值问题
【例1】（24-25高一下·浙江·期中）已知分别为锐角三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若；
（i）求周长的取值范围.
（ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值.
【解析】（1）.
由正弦定理得
在中，
代入上式化简得：sinC
因为，所以，即
为锐角，
（2）（i）由正弦定理得
所以
是锐角三角形，
即
所以周长的取值范围为.
（ii）当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，
由题意可知，设，
则
所以，
当时，取最小值
所以的最小值是
【变式1-1】（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，令.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)已知当时，关于的方程有两个不等实根，求的取值范围和这两根之和；
(3)在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，，求周长的取值范围.
【解析】（1），
故周期为，
令，解得，
故单调递增区间为；
（2）当时，，
若有两个实数根，所以，
由于，故；
（3）由可得，故，故
，
由于为锐角，故，
故，
故，
由于，故，
因此，故，
因此，故.
【变式1-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若且，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【解析】（1）由，即，
根据正弦定理得，，
则，
则，
则，
因为，所以，
则，即.
（2）由（1）知，，
在中，由，
则，且，
则，即，
解得（舍去）或，
又，且，
解得，
所以
，
由正弦定理得，，
则，解得，
则.
（3）由正弦定理得，，
则，所以，，
则的周长为
，
由，则，即，
又，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.
题型二：求面积范围与最值问题
【例2】（23-24高三上·山东青岛·期中）如图，在平面四边形中，，，，.
(1)证明：；
(2)求面积的最大值；
(3)设为线段的中点，求的最大值.
【解析】（1）由题知，在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
所以，所以.
（2）在中，，
由余弦定理知：，
所以，所以，
解得，等号当仅当时取等号，
所以，.
（3）在中，设，则，则，
由正弦定理知：，
所以，，
在中，由余弦定理知，
所以
，
所以，等号当仅当时，即当时取等号，所以的最大值等于.
【变式2-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，.
(1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？
(2)求烧烤区占地面积的最大值.
【解析】（1）在中，米，，
由余弦定理可得
，
所以，，
当且仅当米时，等号成立，
所以，要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，米.
（2）设米，则米，设，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，烧烤区面积的最大值为平方米.
【变式2-2】（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．
(1)求证：的周长为定值，并求出该定值；
(2)求面积的最小值．
【解析】（1）法一：设，，，，则，，
因为，所以，变形得①，
的周长为②，
将①变形得代入②，
所以，
又，所以，
所以的周长为定值2；
法二：延长至点，使，连接，
易得，则，，，
所以，则，
的周长为.
（2）法一：
，
由①得，当且仅当时取等号③，
将③变形得，，
所以或（舍去），
所以，
所以面积的最小值为，
法二：设，，则，，
由第一问知，，
所以，
因为，所以，展开得，
由基本不等式变形可得，解得，
所以，所以面积的最小值为.
题型三：求长度及长度之和范围与最值问题
【例3】（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若．
(1)求角C的大小；
(2)若的面积为，求的最小值．
【解析】（1）由，得，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）因为，所以，
由余弦定理得，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
【变式3-1】（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，是的中线，求的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得，即，即，
由余弦定理知和，
得，即，
即，因为，所以.
（2）因为，，所以，
故，当且仅当，即时等号成立，
故；
由是的中线，得，
即得
，
即得，故的最大值为.
【变式3-2】（23-24高一下·湖南益阳·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
【解析】（1）因为，，且，
所以，
由正弦定理得，
因为，则，
，又，．
（2）因为，且，
由余弦定理，
即，
即，显然，所以，当且仅当时取等号，
又因为，所以，
的取值范围为．
题型四：转化为角的范围
【例4】（23-24高一下·山东济南·期末）如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，.

(1)已知.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的面积；
(2)求的最小值.
【解析】（1）（ⅰ）由题意得，
，
因为，，
所以，
，
所以，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）得，
在中，，
所以，
又，所以，
所以；
（2）由正弦定理得，
由（1）得，
故，
令，
因为，所以，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
【变式4-1】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）由及正弦定理得：．
，可得：,
，且是锐角三角形，
，可得：．
（2）,，．
，,．
．
.
【变式4-2】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)当时，求的取值范围．
【解析】（1）如图，连接，则当时，

在中，由余弦定理可得
，
所以在中，由勾股定理可得，所以，
所以；
（2）如图，连接，作于点，

则由，可得为的中点，设，
则，
在中，由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以，
由，可得，
所以
题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题
【例5】（23-24高三上·湖北襄阳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，
则，
即
又，
所以，即
又，所以
（2）因为，
所以，
因为为锐角三角形，
所以
解得 ，则
故，
即面积的取值范围为
【变式5-1】（24-25高一下·重庆荣昌·期中）在中，角A，B，C的对边分别为．
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
(3)若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围．
【解析】（1）在中，由，得，
，
又，所以.
（2）因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
因此，解得，而，
所以，
故的周长的取值范围是.
（3）因为，，
所以得，
设的内切圆半径为r，
由，
得，
由（1）知，
根据正弦定理，得，
则，，
所以
，
由为锐角三角形，得，解得，
所以，则，
因此，，
所以内切圆半径的取值范围为.
【变式5-2】（24-25高一下·湖南·期中）在中，内角的对边分别是，已知，且.
(1)求；
(2)若为内一点且，求长度的最大值；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
整理可得，所以，
因为，所以；
（2）取的中点，连接，所以，
因为，所以，所以为的中点，
因为，
所以
，
由余弦定理可得，即，
当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以，所以长度的最大值为；
（3）由正弦定理得，
所以，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以的周长的取值范围为.
【强化训练】
1．（23-24高一下·北京·期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围．
【解析】（1）因为
所以，
所以，又因为，所以；
（2）
令,因为，所以
由正弦定理可得：
,
所以，
所以，
又因为，所以
所以
2．（23-24高一下·北京延庆·期末）在中，，.
(1)求的大小；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件使不存在，第（2）问得0分.
(3)若，求周长的取值范围.
【解析】（1）由，得，
在中，由正弦定理得，
因为，，所以，
又，所以；
（2）选条件①：，所以，
由可得，
由，可得或，
由正弦定理解得或，
当时，的面积为，
当时，的面积为；
选条件②：，所以为钝角，且，
由正弦定理，得，
所以，又，故此三角形不存在；
选条件③：，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或，
当时，的面积为，
当时，的面积为；
（3）由正弦定理，可得，，
所以周长为
，
因为，所以，，，
所以周长取值范围为.
3．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若．
（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
（ii）求周长的取值范围．
【解析】（1）由可得,
因为在中，所以，
即，因为，所以.
（2）（i）若选条件①，结合（1）及，
由正弦定理,可得，
则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①，
若选条件②：，结合（1）及，
由余弦定理，可得，解得，
易知，故此时满足条件的三角形唯一.
所以.
若选条件③：，结合（1）及，
因为,所以为锐角,
由,可得，
因为在中
所以.
易知满足条件的三角形唯一.
由正弦定理,可得,
所以.
（ii）由余弦定理，
可得，
结合基本不等式，可得，
解得：,当且仅当，原式取等.
又在中易得.
所以周长.
周长的取值范围为.
4．（23-24高一下·湖南·期末）已知内角所对的边长分 为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【解析】（1）由，得，
由余弦定理得，
整理得，
所以，
又，则.
（2）因为为锐角三角形，，
所以可得，
又，故由正弦定理得：
，
因为，所以，所以，则，
所以 ，
故的取值范围为.
5．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，为角对应的边，为的面积.且.
(1)求；
(2)若，求内切圆半径的最大值.
【解析】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）设内切圆的半径为，
则，
所以，
又，所以，
则，
由，得，
当且仅当时取等号，
所以，
即内切圆半径的最大值为.
6．（23-24高一下·河南郑州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若的面积为，求，；
(3)若，求周长的取值范围．
【解析】（1）因为，
由余弦定理，可得，
由正弦定理可得
，
．
，，即，
，，
，则，．
．
（2）的面积为，，
由余弦定理得，即，
，即，
．
（3）法一：由正弦定理
，
，
所以，
由于为锐角三角形，则，则，所以，
又，
，，
的周长的取值范围为．
法二：，
由于为锐角三角形，所以，则，
，．
由余弦定理得，
所以的周长
记，则在上单调递增，
的周长的取值范围为．
7．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）平面四边形为凸四边形，即任意内角都小于180°．
(1)若在四边形中，和的外接圆半径相等，求证：和相等或互补；
(2)试证明：当时，四边形存在外接圆；
(3)在锐角三角形中，P为线段（不包含端点）上一动点，过P分别作和边的垂线，垂足为M，N．已知，三角形面积为S，，试用，S，m来表示线段长度的最小值．
【解析】（1）
由题意，设和的外接圆半径均为，
由正弦定理，在中，，在中，,
故，
所以和相等或互补.
（2）当时，和的外接圆均以直径，
因此四点四点共圆，即四边形存在外接圆.
（3）
设，，，，
所以，
因为，所以，
由余弦定理可得，
即，
所以.
因为,,
所以为在方向上的投影向量，为在方向上的投影向量，
所以,
，
所以，
，
所以，
由余弦定理可得，
所以
因为，
所以，
令，
当时，取到最小值，
因为，所以，
其中，所以，所以，
则.
所以
,
联立，可得
所以
所以，
所以，
故线段长度的最小值为.
8．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有．
材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上材料解决下面的问题：
(1)根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：；
(2)已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值；
(3)已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值．
【解析】（1）因为为直径，所以，
在中，，
又，所以，
连接，同理在中，，
又，所以，
连接并延长，交圆于点，连接，则，
在中，，
又，所以，
又，所以，
即；
（2）不妨设，，
则，
上式可以看成点到，，的距离之和，
显然为锐角三角形，要想距离之和最小，只需找到费马点，
在上取点，此时，故，
同理，故，所以，
点即为的费马点，
所以，
则的最小值为；
（3）由于为直角三角形，故，
设，，
由得，
在中，由余弦定理得
，
同理，在中，由余弦定理得，
在中，，
因为，
所以，
即，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，解得或（舍去），
所以的最小值为
9．（24-25高一下·河南·期中）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)若D为的中点，且，求的最大值.
【解析】（1）由余弦定理，
所以，又，当且仅当时取等号，
所以，即，
由正弦定理可得，又，所以，，
所以.
（2）因为D为的中点，
所以，所以，
又，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
10．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，且边边上的中线长，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围.
【解析】（1）在中，因为，
所以根据正弦定理得，
又，得，
所以，
所以，
因为，所以，所以.
又，所以.
（2）由，由余弦定理得，解得.
又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知，
等式两边平方得，解得（负值舍），
所以的面积.
（3）因为是锐角三角形，且由（1）知.
所以，即，解得.
由正弦定理得：
.
因为，所以，所以，
所以，
所以的范围为.
11．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以；
（2）将代入正弦定理，得，
所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，
所以，
即，
又，
所以，
解得.
所以的范围为.
12．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．
(1)判断角B与角C的关系，并说明理由；
(2)若，求的范围．
【解析】（1）∵，，∴或，
∴，
∴，
∴.
∵，
，
∴.
∵，
∴或，
∵，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
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专题05 解三角形范围与最值问题
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题型一：求周长范围与最值问题
题型二：求面积范围与最值问题
题型三：求长度及长度之和范围与最值问题
题型四：转化为角的范围
题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题
【知识点梳理】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
【典型例题】
题型一：求周长范围与最值问题
【例1】（24-25高一下·浙江·期中）已知分别为锐角三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若；
（i）求周长的取值范围.
（ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值.
【变式1-1】（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，令.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)已知当时，关于的方程有两个不等实根，求的取值范围和这两根之和；
(3)在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，，求周长的取值范围.
【变式1-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若且，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围.
题型二：求面积范围与最值问题
【例2】（23-24高三上·山东青岛·期中）如图，在平面四边形中，，，，.
(1)证明：；
(2)求面积的最大值；
(3)设为线段的中点，求的最大值.
【变式2-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，.
(1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？
(2)求烧烤区占地面积的最大值.
【变式2-2】（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．
(1)求证：的周长为定值，并求出该定值；
(2)求面积的最小值．
题型三：求长度及长度之和范围与最值问题
【例3】（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若．
(1)求角C的大小；
(2)若的面积为，求的最小值．
【变式3-1】（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，是的中线，求的最大值．
【变式3-2】（23-24高一下·湖南益阳·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
题型四：转化为角的范围
【例4】（23-24高一下·山东济南·期末）如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，.

(1)已知.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的面积；
(2)求的最小值.
【变式4-1】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
【变式4-2】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)当时，求的取值范围．
题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题
【例5】（23-24高三上·湖北襄阳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【变式5-1】（24-25高一下·重庆荣昌·期中）在中，角A，B，C的对边分别为．
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
(3)若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围．
【变式5-2】（24-25高一下·湖南·期中）在中，内角的对边分别是，已知，且.
(1)求；
(2)若为内一点且，求长度的最大值；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【强化训练】
1．（23-24高一下·北京·期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围．
2．（23-24高一下·北京延庆·期末）在中，，.
(1)求的大小；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件使不存在，第（2）问得0分.
(3)若，求周长的取值范围.
3．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若．
（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
（ii）求周长的取值范围．
4．（23-24高一下·湖南·期末）已知内角所对的边长分 为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
5．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，为角对应的边，为的面积.且.
(1)求；
(2)若，求内切圆半径的最大值.
6．（23-24高一下·河南郑州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若的面积为，求，；
(3)若，求周长的取值范围．
7．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）平面四边形为凸四边形，即任意内角都小于180°．
(1)若在四边形中，和的外接圆半径相等，求证：和相等或互补；
(2)试证明：当时，四边形存在外接圆；
(3)在锐角三角形中，P为线段（不包含端点）上一动点，过P分别作和边的垂线，垂足为M，N．已知，三角形面积为S，，试用，S，m来表示线段长度的最小值．
8．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有．
材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上材料解决下面的问题：
(1)根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：；
(2)已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值；
(3)已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值．
9．（24-25高一下·河南·期中）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)若D为的中点，且，求的最大值.
10．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，且边边上的中线长，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围.
11．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
12．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．
(1)判断角B与角C的关系，并说明理由；
(2)若，求的范围．
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