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第一节　基本立体图形及表面积与体积
1.下列说法正确的是（　　）
A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度为（　　）
A.　　　　　　　　 B.2
C.2 D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　）
A.2π B.3π
C.6π D.9π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.（2025·北京东城一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20 cm，高为20 cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2 cm的黏土，然后，沿圆桶母线方向将黏土层分割成四等份（如图），等黏土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的黏土量（不计损耗）约为（参考数据：π≈3.14）（　　）
A.0.8 m3 B.1.4 m3
C.1.8 m3 D.2.2 m3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（　　）
A.24－3π B.24－π
C.24＋π D.24＋5π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷11题改编）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为V1，V2，V3，则（　　）
A.V3＝2V1 B.V3＝V2
C.V2＝2（V1＋V3） D.2V3＝3V1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.（2025·吕梁一模）已知圆台O1O2的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，则该圆台的母线长为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，CC1＝，动点M在棱CC1上，连接MA，MD1，则MD1＋MA的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF＝1，A1F＝x，DP＝y，DQ＝z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（　　）
A.与x，y，z都有关 B.与x有关，与y，z无关
C.与y有关，与x，z无关 D.与z有关，与x，y无关
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.（2024·天津一模）在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积为（　　）
A.3π B.2π
C.2π D.2π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是（　　）
A.直三棱柱的侧面积是4＋2
B.直三棱柱的体积是
C.三棱锥E-AA1O的体积为定值
D.AE＋EC1的最小值为2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15.（创新考法）〔多选〕（2024·甘肃二诊）如图所示，长方体ABCD-EFGH的表面积为6，AE＝1，则（　　）
A.该长方体不可能为正方体
B.该长方体体积的最大值为1
C.若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥H-AFC的体积为
D.该长方体外接球表面积的最小值为3π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
16.（创新知识交汇）（2025·晋城一模）若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2，3}，则n的最小值为　　　　，该棱台各棱的长度之和的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第一节　基本立体图形及表面积与体积
1.B　虽然各侧面都是正方形，但底面可能是菱形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误.
2.B　过点A'作A'D'⊥O'B'，垂足为D'.因为A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，所以O'A'＝＝，所以原四边形中AO的长度为2O'A'＝2.故选B.
3.B　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B.
4.B　由条件可得四片瓦的体积V＝π×122×20－π×102×20＝880π（cm3），所以500名学生，每人制作4片瓦共需黏土的体积为500×880π＝440 000π（cm3），又π≈3.14，所以共需黏土的体积约为1.381 6≈1.4 m3，故选B.
5.B　由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的个球后的剩余部分，则其表面积为6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π.
6.AC　由题可知V1＝＝＝·B1P，V2＝＝－（V1＋V3），V3＝VC-ABP＝VP-ABC＝S△ABC·BP，根据三棱柱的性质易得S△ABC＝，又BP＝2B1P，所以V3＝2V1，A正确，D错误；因为＝·BB1＝3（S△ABC·B1P＋S△ABC·BP）＝3（V1＋V3），所以V2＝3（V1＋V3）－（V1＋V3）＝2（V1＋V3），B错误，C正确.
7.12　解析：一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则×6××22·h＝2，∴h＝1，棱锥的斜高为＝＝2，该六棱锥的侧面积为6××2×2＝12.
8.5　解析：设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，因为中截面的半径为3，所以根据梯形中位线性质可知：r＋R＝6.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，所以根据圆台侧面积公式可知：＝＝，解得r＝1，所以R＝5.又圆台的高为3，所以圆台的母线长为＝＝5.
9.　解析：由题意，将平面DCC1D1展开到矩形ACC1A1所在平面，结合展开图可知当A，M，D1三点共线时，MD1＋MA取得最小值，最小值为展开图中D1A的长度.因为AC＝＝2，CD＝1，所以展开图中AD＝3.又因为DD1＝CC1＝，所以展开图中D1A＝＝.
10.D　由四面体PEFQ的一个面△PEF的面积不变，即S△PEF＝·EF·a＝a为定值，且△PEF在面A1B1CD内，所以点Q到△PEF的距离就是点Q到平面A1B1CD的距离.设点Q到平面A1B1CD的距离为d，由题意知d随z的变化而变化，又V四面体PEFQ＝S△PEF·d，所以V四面体PEFQ与d有关，即与z有关，与x，y无关.
11.A　如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F，G，所以三棱锥D-EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG面积为S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为2××××2×2sin 60°×1＝，三棱柱的体积为×2×2sin 60°×2＝2，故剩余几何体的体积为2－＝.故选A.
12.A　由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面；圆台的下底面即原圆锥的底面.不妨设圆台上底面半径为r1，圆台下底面半径为r2，小圆锥母线长为l1，原圆锥母线长为l2，由轴截面为正三角形知，＝＝2，则小圆锥底面积为π，底面周长为2πr1，侧面积为l1·πr1＝2π，易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积，则圆台侧面积为2π（－），下底面积为π，由于两部分表面积相等，则π＋2π＝π＋π＋2π（－） ＝，因为r2＝2，则r1＝，所以截面面积为3π，故选A.
13.B　如图，连接NC.以A为顶点，三棱锥A-PMN与三棱锥A-PNC的高相同，底面分别为△PMN和△PNC，分别以PM和PC为底边，则这两个三角形的高相同，S△PMN∶S△PNC＝PM∶PC＝1∶3，所以V三棱锥A-PMN∶V三棱锥A-PNC＝1∶3，即V三棱锥A-PMN＝V三棱锥A-PNC.同理，以C为顶点，三棱锥C-PAN与三棱锥C-PAB的高相同，底面分别为△PAN和△PAB，且S△PAN∶S△PAB＝PN∶PB＝2∶3，所以V三棱锥C-PAN∶V三棱锥C-PAB＝2∶3，即V三棱锥C-PAN＝V三棱锥C-PAB.所以V三棱锥A-PMN＝V三棱锥A-PNC＝×V三棱锥C-PAB＝V三棱锥C-PAB，即V三棱锥P-AMN＝V三棱锥P-ABC.故选B.
14.ACD　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；
如图1所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E-AA1O的高为定值，＝××2＝，所以＝××＝，故C正确；
将侧面AA1B1B和BB1C1C展开到一个平面上，则四边形AA1C1C为边长为2的正方形，如图2所示.则AC1即为所求AE＋EC1的最小值，AC1＝＝2，故D正确.
15.BD　对于A，当长方体的所有棱长都为1时，表面积为6，此时该长方体为正方体，错误.对于B，设AD＝a，AB＝b，则2（ab＋a＋b）＝6，ab＋a＋b＝3，V长方体＝ab·1＝ab＝3－（a＋b）≤3－2，解得0＜ab≤1，当且仅当a＝b时取“＝”，故长方体体积的最大值为1，正确.对于C，当长方体底面的一条边长为2时，可得与其相邻的边长为，VH-AFC＝V长方体－4VF-ABC＝2××1－4××2×××1＝，错误.对于D，设AD＝a，AB＝b.长方体外接球的直径为其体对角线，长为，S球＝4πR2＝4π（）2＝π（a2＋b2＋1），∵a＋b≥2＝2，∴（a＋b）2≥4[3－（a＋b）]，解得a＋b≥2，当且仅当a＝b时取“＝”，又≥，∴a2＋b2≥2，当且仅当a＝b时取“＝”，∴外接球表面积的最小值为3π，正确.故选B、D.
16.6　42　解析：根据正棱台的结构特征可知，正n棱台的总棱数为3n（n≥3，n∈N*），则3n＞15，得n＞5，所以n的最小值为6.要想各棱长之和最小，则棱数总和要最小，故n＝6，又因为棱台的上、下底面边长不相等，所以可取上底面边长为2，下底面边长为3，要使各棱长之和最小，则侧棱长取2，故该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12＋3×6＝42.
4 / 4第一节　基本立体图形及表面积与体积
课标要求
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.
1.基本立体图形
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相　　　且　　　　 多边形 互相　　　且　　　　
侧棱 互相　　　且　　　　 相交于一点，但不一定相等 延长线交于　　　
侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形
提醒 常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且 相等，于底面 长度　　　　且相交于一点 长度相等且延长线交于　
轴截面 全等的 　　 全等的 　　 全等的 　　 圆面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.立体图形的直观图
（1）画法：常用斜二测画法；
（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为　　　　（或　　　　），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直；
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　　　　，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的　　　　.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面 积公式 S圆柱侧＝ 　　　 S圆锥侧＝ 　　　 S圆台侧＝ 　　　
4.空间几何体的表面积与体积公式
　　名称 几何体　　 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝　　　
台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝　　　
球 S＝4πR2 V＝　　　
提醒 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
1.原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：（1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图.
2.与体积有关的几个结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差；
（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（　　）
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（　　）
（3）菱形的直观图仍是菱形.（　　）
（4）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.（　　）
2.（人A必修二P106习题8题改编）如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（　　）
A.棱台 B.四棱柱
C.五棱柱 D.六棱柱
3.（人A必修二P111习题1题改编）下列说法正确的是（　　）
A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.正方形的直观图是正方形
D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
4.（人A必修二P119习题2题改编）如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为　　　　.
5.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为　　　　 cm.
基本立体图形
（定向精析突破）
考向1　结构特征
〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
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辨别空间几何体的两种方法
考向2　直观图
已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为　　　　.
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　　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半.
考向3　展开图
如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（　　）
A.2　　　B.3　　　C.2　　　D.3
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1.多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部分空间问题转化为平面问题.
2.旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展开，注意球无法展开成平面图形.
1.〔多选〕下面关于空间几何体的叙述正确的是（　　）
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C.长方体是直平行六面体 D.存在每个面都是直角三角形的四面体
2.如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（　　）
A.4＋4 B.4＋4 C.8 D.8
3.某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中ME垂直于底面，OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为　　　　.
空间几何体的表（侧）面积
（师生共研过关）
（人A必修二P120习题6题改编）如图所示为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的，其中O为圆台下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上、下底面圆的半径为2 cm，O1O2＝5 cm，OO1＝4 cm，圆台下底面圆半径为5 cm，则该组合体的表面积为（　　）
A.42π cm2 B.84π cm2 C.36π cm2 D.64π cm2
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解题技法
求解几何体表面积的类型及方法
（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；
（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系；
（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.
如图所示，已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，则这个三棱台的侧面积为（　　）
A. B.
C. D.3＋2
空间几何体的体积
（师生共研过关）
（1）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　　　；
（2）棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为　　　　；
（3）如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
求空间几何体的体积的三种方法
1.（2025·八省联考）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（　　）
A.π　　　B.π　　　C.2π　　　D.3π
2.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（　　）
A.36π B.39π C.42π D.45π
第一节　基本立体图形及表面积与体积
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）平行　全等　平行　相似　平行　相等　一点　（2）垂直　相等　一点　矩形　等腰三角形　等腰梯形
2.（2）①45°　135°　②不变　一半
3.2πrl　πrl　π（r＋r'）l
4.Sh　（S上＋S下＋）h　πR3
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.C　3.D　4.1∶47　5.2
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 AD　若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
【例2】 　解析：法一 实际图形和直观图如图1和图2所示.因为OE＝＝1，由斜二测画法可知O'E'＝，E'F＝，D'C'＝1，A'B'＝3，则直观图A'B'C'D'的面积S'＝×＝.
法二 因为OE＝＝1，S原图形＝×1＝2，故S直观图＝×2＝.
【例3】 C　将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB'，根据余弦定理得BB'＝＝2.
跟踪训练
1.CD　当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确；当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确；长方体是直平行六面体，故C正确；如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形，故D正确.
2.B　根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝＝2，故原平面图形的周长为2＋2＋2＋2＝4＋4.
3.2　解析：圆柱的侧面展开图及M，N的位置（N为EE'的四等分点）如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径.EN＝×16＝4，EM＝2，∴MN＝＝＝2.
考点2
【例4】 B　由题知，圆柱的上底面面积为4π cm2，圆柱的侧面积为4π×5＝20π（cm2），圆台的下底面面积为25π cm2，圆台的母线长为＝5（cm），所以圆台的侧面积为π（2＋5）×5＝35π（cm2），则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π＋35π＝84π（cm2）.
跟踪训练
A　因为CC1⊥平面ABC，AC，CB 平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，又AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，所以＝＝×（1＋2）×1＝，在梯形A1ABB1中，易知A1B1＝，AB＝2，AA1＝BB1＝，所以＝（＋2）×＝，所以这个三棱台的侧面积S侧＝＋＋＝＋＋＝.
考点3
【例5】 （1）　（2）1　（3）4
解析：（1）法一 如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×（22＋12＋）×＝.
法二 如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，所以＝×（22＋12＋）×＝.
（2）如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得＝2×2－2××2×1－×1×1＝，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2，所以＝＝··D1A1＝××2＝1.
（3）法一（分割法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝（×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝（×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝4.
法二（补形法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝×8＝4.
跟踪训练
1.A　由题可知圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，高h＝＝＝，∴圆锥的体积为V＝πR2h＝π.故选A.
2.B　将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS＝30°，则MS＝6×＝2，故圆柱的底面半径为，则容器内液体的体积为×（10＋16）×π×（）2＝13×π×3＝39π.故选B.
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第一节　基本立体图形及表面积与体积
高中总复习·数学
课标要求
1. 认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现
实生活中简单物体的结构.
2. 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决
简单的实际问题.
3. 能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其
简单组合）的直观图.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 基本立体图形
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 互相
且 多边形 互相 且

侧棱 互相
且 相交于一点，但不一定
相等 延长线交于
侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形
平行　
全等　
平行　
相
似　
平行　
相等　
一点　
提醒 常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相
等， 于
底面 长度 且
相交于一点 长度相等且延长线
交于
垂直　
相等　
一点　
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 全等的 全等的
全等的
圆面
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
矩形
等腰三
角形
等腰梯
形
2. 立体图形的直观图
（1）画法：常用斜二测画法；
（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的
夹角为 （或 ），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直；
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和
z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观
图中变为原来的 .
45°　
135°　
不变　
一半　
3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面 积公式 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝

2πrl　
πrl　
π（r＋r'）l
4. 空间几何体的表面积与体积公式
　　名称 几何体　　 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝
Sh　
　　名称 几何体　　 表面积 体积
台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋
S下 V＝

球 S＝4πR2 V＝
提醒 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所
有底面面积之和.
（S上＋S下＋　　
）h　
πR3　
1. 原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：
（1）S直观图＝ S原图形；（2）S原图形＝2 S直观图.
2. 与体积有关的几个结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差；
（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.
（　×　）
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
（　×　）
（3）菱形的直观图仍是菱形. （　×　）
（4）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形. （　√　）
×
×
×
√
2. （人A必修二P106习题8题改编）如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（　　）
A. 棱台 B. 四棱柱
C. 五棱柱 D. 六棱柱
解析： 　由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.
√
3. （人A必修二P111习题1题改编）下列说法正确的是（　　）
A. 相等的角在直观图中仍然相等
B. 相等的线段在直观图中仍然相等
C. 正方形的直观图是正方形
D. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
解析： 　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的
平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形.
√
4. （人A必修二P119习题2题改编）如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 .
1∶47
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1
＝ × × a× b× c＝ abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－ abc
＝ abc，所以V1∶V2＝1∶47.
5. 已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆
的半径为 cm.
解析：设圆锥底面圆的半径为r cm，母线长为l cm，依题意得2πr＝πl，
∴l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2
（cm）.
2
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
基本立体图形（定向精析突破）
考向1　结构特征
〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D. 如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
√
√
解析： 　若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱
柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正
确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行
且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长
后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是
360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符
合长方体的定义，故D正确.
解题技法
辨别空间几何体的两种方法
考向2　直观图
已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝ ，下底
AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的
面积为 .
　
解析：法一 实际图形和直观图
如图1和图2所示.因为OE＝
＝1，由斜二测画
法可知O'E'＝ ，E'F＝ ，D'C'
＝1，A'B'＝3，则直观图A'B'C'D'的面积S'＝ × ＝ .
法二 因为OE＝ ＝1，S原图形＝ ×1＝2，故S直观图＝
×2＝ .
解题技法
　　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段
的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半.
考向3　展开图
如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点
B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（　　）
A. 2 B. 3
√
解析： 　将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图
如图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周
回到点B的最短路线的长为BB'，根据余弦定理得BB'＝
＝2 .
解题技法
1. 多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相
等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部
分空间问题转化为平面问题.
2. 旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展
开，注意球无法展开成平面图形.
1. 〔多选〕下面关于空间几何体的叙述正确的是（　　）
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C. 长方体是直平行六面体
D. 存在每个面都是直角三角形的四面体
√
√
解析： 　当顶点在底面的投影是正多边形的中心时
才是正棱锥，故A不正确；当平面与圆柱的母线平行或
垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆
的一部分，故B不正确；长方体是直平行六面体，故C正
确；如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形，故D正确.
2. 如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'是
边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（　　）
D. 8
解析： 　根据题意，把直观图还原成原平面图形，如
图所示，其中OA＝2 ，OD＝4，AB＝CD＝2，则
AD＝ ＝2 ，故原平面图形的周长为2＋2＋
2 ＋2 ＝4 ＋4.
√

解析：圆柱的侧面展开图及M，N的位置（N为EE'的四等
分点）如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最
短路径.EN＝ ×16＝4，EM＝2，∴MN＝
＝ ＝2 .
2
空间几何体的表（侧）面积（师生共研过关）
（人A必修二P120习题6题改编）如图所示为某工厂内一手电筒最初
模型的组合体，该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的，其中O为圆台
下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱
上、下底面圆的半径为2 cm，O1O2＝5 cm，OO1＝4 cm，圆台下底面圆半
径为5 cm，则该组合体的表面积为（　　）
A. 42π cm2 B. 84π cm2
C. 36π cm2 D. 64π cm2
√
解析： 　由题知，圆柱的上底面面积为4π cm2，圆柱的侧面积为4π×5＝
20π（cm2），圆台的下底面面积为25π cm2，圆台的母线长为
＝5（cm），所以圆台的侧面积为π（2＋5）×5＝35π
（cm2），则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π＋35π＝84π（cm2）.
解题技法
求解几何体表面积的类型及方法
（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利
用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；
（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，
将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开
图中的边长关系；
（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、
锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和
或作差，求出所给几何体的表面积.
如图所示，已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，
CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，则这个三棱台的侧面积为
（　　）
√
解析： 　因为CC1⊥平面ABC，AC，CB 平面ABC，所以CC1⊥AC，
CC1⊥CB，又AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，所以 ＝
＝ ×（1＋2）×1＝ ，在梯形A1ABB1中，易知A1B1＝ ，AB＝2 ，
AA1＝BB1＝ ，所以 ＝ （ ＋2 ）× ＝ ，所
以这个三棱台的侧面积S侧＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＋ ＝ .
空间几何体的体积（师生共研过关）
（1）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB
＝2，A1B1＝1，AA1＝ ，则该棱台的体积为 　　 　　；

解析： 法一 如图所示，设点O1，O分别为正
四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接
B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中
点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-
A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，
则B1E＝O1O. 因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝
，O1B1＝ ，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝ ，又AA1＝ ，所以BB1＝ ，B1E＝ ＝ ＝ ，所以O1O＝ ，所
以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ .
法二 如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正
四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，
AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，
PC，PD的中点，又A1A＝ ，所以PA＝2 ，
即PB＝2 .连接BD，取BD的中点为O，连接
PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝ ，所以PO＝ ＝ ，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为 ，所以 ＝
×（22＋12＋ ）× ＝ .
（2）棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的
中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为 ；
解析： 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为
BB1，AB的中点，得 ＝2×2－2× ×2×1－
×1×1＝ ，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且
D1A1＝2，所以 ＝ ＝ · ·D1A1＝ × ×2＝1.
1
（3）如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂
直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝
2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为 .
4
解析： 法一（分割法） 因为几何体有两对相对面
互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接
EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个
斜三棱柱BEF-CHG. 由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝
S△DEH×AD＝（ ×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝
S△BEF×DE＝（ ×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝4.
法二（补形法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝ ×8＝4.
解题技法
求空间几何体的体积的三种方法
1. （2025·八省联考）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（　　）
B. π
C. 2π D. 3π
解析： 　由题可知圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，高h＝
＝ ＝ ，∴圆锥的体积为V＝ πR2h＝ π.故选A.
√
2. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（　　）
A. 36π B. 39π
C. 42π D. 45π
√
解析： 　将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作
底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知
∠MNS＝30°，则MS＝6× ＝2 ，故圆柱的底面半径为
，则容器内液体的体积为 ×（10＋16）×π×（ ）2＝
13×π×3＝39π.故选B.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
解析： 　虽然各侧面都是正方形，但底面可能是菱形，所以该四棱柱不
一定是正方体，故A错误；球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经
过球心的线段”，故B正确；以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一
周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得
的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；用一个平行于底
面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误.
2. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，
其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度
为（　　）
C. 2
√
解析： 　过点A'作A'D'⊥O'B'，垂足为D'.因为A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，所以O'A'＝ ＝ ，所以原四边形中AO的长度为2O'A'＝2 .故选B.
3. （2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，
且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（　　）
解析： 　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，而
它们的侧面积相等，所以2πr× ＝πr× ，即2 ＝ ，
故r＝3，故圆锥的体积为 π×9× ＝3 π.故选B.
√
4. （2025·北京东城一模）《天工开物》是我国明代科学
家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一
种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为
同学们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底
面外圆的直径为20 cm，高为20 cm.首先，在圆桶的外侧面
均匀包上一层厚度为2 cm的黏土，然后，沿圆桶母线方向将黏土层分割成四等份（如图），等黏土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四
片瓦，全年级共500人，需要准备的黏土量（不计损耗）约为（参考数
据：π≈3.14）（　　）
A. 0.8 m3 B. 1.4 m3
C. 1.8 m3 D. 2.2 m3
√
解析： 　由条件可得四片瓦的体积V＝π×122×20－π×102×20＝880π
（cm3），所以500名学生，每人制作4片瓦共需黏土的体积为500×880π＝
440 000π（cm3），又π≈3.14，所以共需黏土的体积约为1.381 6≈1.4 m3，
故选B.
5. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（　　）
A. 24－3π B. 24－π
C. 24＋π D. 24＋5π
解析： 　由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个
顶点为球心，2为半径的 个球后的剩余部分，则其表面积为6×22－3×
×π×22＋ ×4×π×22＝24－π.
√
6. 〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷11题改编）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为V1，V2，V3，则（　　）
A. V3＝2V1 B. V3＝V2
C. V2＝2（V1＋V3） D. 2V3＝3V1
√
√
解析： 　由题可知V1＝ ＝ ＝ ·B1P，V2
＝ ＝ －（V1＋V3），V3＝VC-ABP＝VP-ABC＝
S△ABC·BP，根据三棱柱的性质易得S△ABC＝ ，又BP＝2B1P，所
以V3＝2V1，A正确，D错误；因为 ＝ ·BB1＝3（
S△ABC·B1P＋ S△ABC·BP）＝3（V1＋V3），所以V2＝3（V1＋V3）－（V1
＋V3）＝2（V1＋V3），B错误，C正确.
7. 一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相
等，则该六棱锥的侧面积为 .
解析：一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2的正
六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高
为h，则 ×6× ×22·h＝2 ，∴h＝1，棱锥的斜高
为 ＝ ＝2，该六棱锥的侧面积为6× ×2×2＝12.
12
8. （2025·吕梁一模）已知圆台O1O2的高为3，中截面（过高的中点且垂直
于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2
的两部分，则该圆台的母线长为 .
解析：设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，因为
中截面的半径为3，所以根据梯形中位线性质可知：r＋
R＝6.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，所以根据圆台侧面积公式可知： ＝ ＝ ，解得r＝1，所以R＝5.又圆台的高为3，所以圆台的母线长为 ＝ ＝5.
5
9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝ ，CC1＝ ，
动点M在棱CC1上，连接MA，MD1，则MD1＋MA的最小值为 .

解析：由题意，将平面DCC1D1展开到矩形ACC1A1所在平面，结合展开图
可知当A，M，D1三点共线时，MD1＋MA取得最小值，最小值为展开图
中D1A的长度.因为AC＝ ＝2，CD＝1，所以展开图中AD＝
3.又因为DD1＝CC1＝ ，所以展开图中D1A＝ ＝ .
10. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱
A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF＝1，A1F＝x，DP＝
y，DQ＝z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（　　）
A. 与x，y，z都有关
B. 与x有关，与y，z无关
C. 与y有关，与x，z无关
D. 与z有关，与x，y无关
√
解析： 　由四面体PEFQ的一个面△PEF的面积不变，即S△PEF＝
·EF· a＝ a为定值，且△PEF在面A1B1CD内，所以点Q到△PEF
的距离就是点Q到平面A1B1CD的距离.设点Q到平面A1B1CD的距离为
d，由题意知d随z的变化而变化，又V四面体PEFQ＝ S△PEF·d，所以V四面体
PEFQ与d有关，即与z有关，与x，y无关.
11. （2024·天津一模）在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下
底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三
棱柱中挖去两个三棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为（　　）
√
解析： 　如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F，
G，所以三棱锥D-EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG面积
为 S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的
体积为2× × × ×2×2 sin 60°×1＝ ，三棱柱的体积
为 ×2×2 sin 60°×2＝2 ，故剩余几何体的体积为2 － ＝
.故选A.
12. 一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面
将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的
截面面积为（　　）
A. 3π
D. 2π
√
解析： 　由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，
下半部分为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面，
即该平面在原圆锥上的截面；圆台的下底面即原圆锥
的底面.不妨设圆台上底面半径为r1，圆台下底面半径
为r2，小圆锥母线长为l1，原圆锥母线长为l2，由轴截面为正三角形知，
＝ ＝2，则小圆锥底面积为π ，底面周长为2πr1，侧面积为l1·πr1＝
2π ，易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积，则圆台侧
面积为2π（ － ），下底面积为π ，由于两部分表面积相等，则π
＋2π ＝π ＋π ＋2π（ － ） ＝ ，因为r2＝2，则r1＝ ，
所以截面面积为3π，故选A.
13. 在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝ PC，线段PB上的
点N满足PN＝ PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为
（　　）
√
解析： 如图，连接NC. 以A为顶点，三棱锥A-PMN
与三棱锥A-PNC的高相同，底面分别为△PMN和
△PNC，分别以PM和PC为底边，则这两个三角形的高
相同，S△PMN∶S△PNC＝PM∶PC＝1∶3，所以V三棱锥A-
PMN∶V三棱锥A-PNC＝1∶3，即V三棱锥A-PMN＝ V三棱锥A-PNC.
同理，以C为顶点，三棱锥C-PAN与三棱锥C-PAB的高相同，底面分别为△PAN和△PAB，且S△PAN∶S△PAB＝PN∶PB＝2∶3，所以V三棱锥C-PAN∶V三棱锥C-PAB＝2∶3，即V三棱锥C-PAN＝ V三棱锥C-PAB. 所以V三棱锥A-PMN＝ V三棱锥A-PNC＝ × V三棱锥C-PAB＝ V三棱锥C-PAB，即V三棱锥P-AMN＝ V三棱锥P-ABC. 故选B.
14. 〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，
∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，
下列判断正确的是（　　）
C. 三棱锥E-AA1O的体积为定值
√
√
解析： 　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝
BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直
角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋
×2＝4＋2 ，故A正确；直三棱柱的体积为
V＝S△ABC·AA1＝ ×1×1×2＝1，故B不正确；如图1所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱
锥E-AA1O的高为定值 ， ＝ × ×2＝ ，
所以 ＝ × × ＝ ，故C正确；将侧
面AA1B1B和BB1C1C展开到一个平面上，则四边形AA1C1C为边长为2的正方形，如图2所示.则AC1即为所求AE＋EC1的最小值，AC1＝ ＝2 ，故D正确.
15. （创新考法）〔多选〕（2024·甘肃二诊）如图所示，长方体ABCD-
EFGH的表面积为6，AE＝1，则（　　）
A. 该长方体不可能为正方体
B. 该长方体体积的最大值为1
D. 该长方体外接球表面积的最小值为3π
√
√
解析： 　对于A，当长方体的所有棱长都为1时，表面积为6，此时
该长方体为正方体，错误.对于B，设AD＝a，AB＝b，则2（ab＋a＋
b）＝6，ab＋a＋b＝3，V长方体＝ab·1＝ab＝3－（a＋b）≤3－
2 ，解得0＜ab≤1，当且仅当a＝b时取“＝”，故长方体体积的最
大值为1，正确.对于C，当长方体底面的一条边长为2时，可得与其相
邻的边长为 ，VH-AFC＝V长方体－4VF-ABC＝2× ×1－4× ×2× ×
×1＝ ，错误.对于D，设AD＝a，AB＝b.长方体外接球的直径为其体
对角线，长为 ，
S球＝4πR2＝4π（ ）2＝π（a2＋b2＋1），∵a＋b≥2 ＝
2 ，∴（a＋b）2≥4[3－（a＋b）]，解得a＋b≥2，当
且仅当a＝b时取“＝”，又 ≥ ，∴a2＋b2≥2，当且仅当a
＝b时取“＝”，∴外接球表面积的最小值为3π，正确.故选B、D.
16. （创新知识交汇）（2025·晋城一模）若一个正n棱台的棱数大于15，
且各棱的长度构成的集合为{2，3}，则n的最小值为 ，该棱台各
棱的长度之和的最小值为 .
解析：根据正棱台的结构特征可知，正n棱台的总棱数为3n（n≥3，
n∈N*），则3n＞15，得n＞5，所以n的最小值为6.要想各棱长之和最
小，则棱数总和要最小，故n＝6，又因为棱台的上、下底面边长不相等，
所以可取上底面边长为2，下底面边长为3，要使各棱长之和最小，则侧棱
长取2，故该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12＋3×6＝42.
6
42
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