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5.4二次函数与一元二次方程复习题
一、单选题
1．二次函数的图象与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下表是用计算器探索函数时所得的数值；则方程的一个解x的取值范围为（ ）
x 0 0.25 0.5 0.75 1
y 1.31 3
A． B． C． D．
3．如图是二次函数与一次函数的图像．当时，x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
4．抛物线与x轴两个交点间的距离是（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ）

A． B． C．或 D．或
7．已知关于的一元二次方程（均为常数且）的解是则关于的一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
9．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．一元二次方程 的两根是，则二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ．
12．如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点坐标是 ．

13．抛物线在x轴上截得的线段长度是 ．
14．已知二次函数，当时，；当时，，则与满足的关系式是 .
15．小强从如图所示的二次函数图象中，观察得出了下面几个信息：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④；⑤．你认为其中正确的说法有 ．（把正确答案的序号填在横线上）

16．二次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．

17．二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ．
18．若二次函数（为常数）的图像在的部分与直线有两个公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知二次函数（是常数）的图象是抛物线．
(1)若抛物线与轴只有一个公共点．求的值：
(2)求证：抛物线顶点在函数的图象上．
20．已知抛物线．
(1)证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
(2)若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______．
(3)若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______．
21．已知二次函数．
(1)试证明二次函数图象与轴始终有两个交点；
(2)若二次函数图象的顶点在直线上，求出该二次函数函数表达式．
22．已知二次函数．

x … …
y …
(1)请在坐标系中画出二次函数的图像；
①列表②描点③连线
(2)观察图像，回答下列问题：
①直接写出方程的解是 ；
②当时，x的取值范围是
23．规定：某一个函数图象上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．
(1)函数 “自反”函数（填：“是”或“不是” ，如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由；
(2)若抛物线为常数）上有且只有一个“反点”，求的值；
24．一次函数与二次函数的图象交于和两点，且当时，二次函数取得最大值．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，二次函数y的取值范围是 ；
(3)当自变量x的取值范围是 时，一次函数的值大于二次函数的值．
25．已知关于x的方程．
(1)当a<1时，请判别方程根的情况
(2)若方程有两个不相等的实数根，且，，求a的取值范围．
26．已知点，，，在二次函数的图象上，且满足．

(1)如图，若二次函数的图象经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，此时二次函数图象的顶点为点，求；
③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，求出此时点、的坐标；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，点，在对称轴的异侧，则的取值范围为 ．
参考答案
一、单选题
1．B
【分析】将代入函数解析式，求出相应的的值即可．
【详解】令，则，
次函数的图象与轴的交点坐标为：．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解．
根据表格中的数据，可以发现一元二次方程的一个解x的范围．
【详解】解：二次函数中，
抛物线开口方向向上，
∵对称轴，
时y随x的增大而增大，
当时，，当时，，
方程的一个正根：，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查二次函数、一次函数与不等式的综合，根据图像得到二次函数图像在直线下方部分的点的横坐标x的取值范围即可，解答的关键是找到两图像的交点的横坐标．
【详解】解：根据图像，函数和的图像的两交点的横坐标为0和4，
∵当时，二次函数图像在直线的下方，
∴当时，x的取值范围是，
故选：D．
4．C
【分析】令，可求出两个交点的横坐标，从而求出交点间的距离．
【详解】解：，
令，解得，
∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
∴两个交点间的距离是，
故选：C．
5．B
【分析】根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点，
∴且，
∴且．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了二次函数与不等式，先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∵当或时，，
∴不等式的解集为或，
故选：．
7．C
【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数图像上点的特征，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到抛物线与轴交点的横坐标为，根据二次函数的平移即可得到与轴交点的横坐标，故可求的解．
【详解】解：关于的一元二次方程的解为，
与轴交点的横坐标为，，
是由向右平移1个单位长度得到的，
与轴交点的横坐标分别为：
，，
的解为，．
故选C．
8．B
【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值．
【详解】当时，，
解方程，得，，
点在点的左侧，且，
，，
当时，，
，
，
，
，
∵轴，
，
，
，
作的平分线交于点，过点作于点，如图，

，，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，，
，
即，
．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点，
∴
化简得
解得：，
∵，
∵，抛物线开口向上，
当时，∵，y随m增大而增大，
∴时y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得：；
当时，
当时，y有最小值
∵的最小值为3，
∴
此时t无解；
当时，∵，y随m增大而减小，
∴ ，y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得（舍去）；
综上，若的最小值为3，则．
故选：D．
10．C
【分析】由题意可知：对称轴为，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出①正确；抛物线对称轴为直线，得，则，把代入得，，从而可判断出②正确；由抛物线顶点坐标为，则有两个相等实数根，所以，则，从而可判断出③正确；根据的最大函数值为，则有实数根，从而可判断出故④错误．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在，之间，
∴图象与x轴另一交点在，之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴有实数根，
故④错误，不合题意．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】由二次函数与一元二次方程的关系可知二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标为，再结合在x轴上的点的纵坐标为0即可得到与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵一元二次方程的两根是，
又一元二次方程的两根就是二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为．
故答案为：
12．
【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，掌握其对称轴的计算方法是解题的关键．
设另一个交点的横坐标为，根据中点横坐标的计算方法“”即可求解．
【详解】解：根据图示可知，对称轴为，一个交点为，
∴设另一个交点的横坐标为，
∴，
解得，，
∴另一个交点的坐标为，
故答案为：．
13．
【分析】要求二次函数在x轴上截得线段的长度，先将二次函数与x轴的两个交点横坐标分别求出，再计算截得线段长度即可．
【详解】解：当，
解得：
∴所以截得线段长度为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴为直线．利用抛物线的对称性得到和时，函数值相等，从而可判断抛物线经过点，然后把代入得a、b的关系，把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴和时，函数值相等，
∵当时，；当时，，
∴时，；时，，
即抛物线经过点，
把代入得，
∴．
故答案为．
15．②④⑤
【分析】当时，，即可判断①；根据图象的开口向下，可得，函数图象的对称轴在轴右边，即，可得异号，即可判断②；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断④；根据时，，即可判断⑤
【详解】根据图象可得，当时，，即，故①错误；
根据图象的开口向下，可得，函数图象的对称轴在轴右边，即，可得异号，故，故②正确；
由图象可知，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
故③错误；
由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，则，
故④正确；
由图象可知，当时，，即，
又∵图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
∴，
故⑤正确，
综上可知，其中正确的说法有②④⑤，
故答案为：②④⑤
16．
【分析】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．先得到函数的图象与轴的交点为，，再利用数形结合的方法解题即可.
【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在轴的下方（包括交点），
∴函数的图象与轴的交点为，，（把作为一个整体，代入上面的函数中，）
∴不等式的解集为，即，
故答案为：．
17．4
【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，先证明为等腰直角三角形，可得，从而可得答案.
【详解】解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，，
则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴该函数顶点的坐标为：，
∴ ，
解得：；
故答案为：4．
18．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程相结合，数量掌握根的判别式与二次函数的交点个数是解题的关键，由于二次函数与直线在的部分有两个公共点，可以得到有两个解，且都在，即可得到在内有两个根，从而可根据在内与轴有两个交点，解之即可得到的取值范围．
【详解】解：∵二次函数与直线在的部分有两个公共点，
∴有两个解，
即，在内有两个不相等的实数根，
将转换成二次函数得：，
则在内两个交点，
∴
即
解之得：，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：∵，，，
∴．
因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以，
解得，．
（2）解：∵，，，
∴
即顶点坐标为，
∵令，函数，
∴抛物线顶点在函数的图象上．
20．（1）令，可得方程x2-2mx+m2-9=0
∵，
∴不论m为何值，方程x2-2mx+m2-9=0总有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2），
∴抛物线的对称轴为：，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴，
∵该抛物线经过坐标原点，
∴，
解得：（负值不符合题意，舍去），
故答案为：3；
（3）当时，，
∴抛物线的对称轴为：直线，
作点O关于的对称点G，即有，
连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图，

根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小，
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
故答案为：．
21．（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交，即，
∴，
由题意，可得：，
∵,则，
∴恒成立，
∴二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）由二次函数的性质可知对称轴为直线，
设顶点坐标为，
∵二次函数图象的顶点在直线上，
∴，
解得：，
∴二次函数为．
22．（1）解：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
列表如下：
描点连线，如图所示；

（2）①解：根据函数图象可得：方程的解是
故答案为：．
②从图象看，当满足或时，函数值大于，
当时，的取值范围是或
故答案为：或．
23．（1）解：∵经过原点，满足定义，则是“自反”函数
依题意，
解得或，
“自反”函数的“反点”是或，
故答案为：是．
（2）解：依题意，
即有两个相等的实数解，
∴，
解得：或．
24．（1）解：把和分别代入中，
解得：，，
，，
二次函数的图象经过和两点，且当时，二次函数取得最大值，
，解得，
二次函数解析式为；
（2），
抛物线开口向下，顶点坐标为，
当时有最大值是9，
当时，，
当时，，
当时，二次函数的取值范围是．
故答案为：．
（3）一次函数与二次函数的图象交于和两点，抛物线开口向下，
当自变量的取值范围是时，一次函数的值大于二次函数的值．
故答案为：．
25．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意知，是图象与轴交点的横坐标，
当时，，即图象与轴交于点，
∵，，
∴图象开口向上，
∴当时，，解得，；
当时，，解得，；
∴126．（1）解：①二次函数的图象经过点，
，
．
二次函数的表达式为：．
答：二次函数的表达式为：．
②，
，关于抛物线的对称轴对称，
对称轴是直线，顶点为，且，

，
，解得，
，，，，
，，
，
答：值为．
③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
或，
当，在对称轴左侧时，
抛物线随的增大而增大，且，在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
，，
当时，，
，；
当，在对称轴右侧时，

抛物线随的增大而减小，且，在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
，，
当时，，
，．
综上，，或，．
答：，或，．
（2）二次函数，顶点为，函数的最大值为2，
当时，如图，

最大值与最小值的差为4，
，
设，的对称点为，，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
，，
根据题意得，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
解得；
当时，如图，

最大值与最小值的差为4，
，
设，的对称点为，，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
，，
根据题意得，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
解得；
综上，的取值范围为．

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