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7.1.2两条直线垂直
一、单选题
1．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（　　）
A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180°
2．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　）
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之间的所有连线中线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度数是（　　）
A．43° B．137° C．57° D．47°
5．如图CD⊥AB，∠C＝90°，线段AC、BC、CD中最短的是（　　）
A．AC B．BC C．CD D．不能确定
6．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC．下列关于距离的语句：
①线段PB的长是点P到直线a的距离；
②PA，PB，PC三条线段中，PB最短；
③线段AC的长是点A到直线PC的距离；
④线段PC是点C到直线PA的距离．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段AB，测得PA＝10m，PB＝8m，则点P到直线AB的距离可能为（　　）
A．10m B．9m C．8m D．7m
8．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA＝3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（　　）
A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤3
9．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，OE⊥OF，若∠AOE＝45.2°，则∠COF＝（　　）
A．45°12′ B．45°20′ C．44°48′ D．44°80′
10．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（　　）
A．点C到AB的距离等于4
B．点B到AC的距离等于3
C．点A到直线l2的距离等于4
D．点C到直线l2的距离等于4
二、填空题
11．如图，直线m，n相交于点A，点P是直线m上一点，则点P到直线n的距离是线段 　 　的长度．
12．如图是地球截面图，其中AB，CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，已知∠MDN＝23°26′，则∠EDN的度数是 　．
13．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝20°时，∠BOD的度数是　 　．
14．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　 　．
15．如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30度，则∠1的度数为　 　°．
16．如图，C是河岸AB外一点．
（1）过点C修一条与河岸AB平行的绿化带（绿化带用直线l表示），请画图表示；
（2）现用水管从河岸AB将水引到C处，问：从河岸AB上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
17．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
（1）若∠AOF＝64°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOF：∠COE＝3：2，求∠EOF的度数．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数．
19．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 　 　cm；点A到BC的距离是 　 　cm；
（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
（3）AC 　 　CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 　 　．
20．定义：从∠α（90°＜α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“好线”．
如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”．
（1）若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝　64　°；
（2）若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数；
（3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【解答】解：A、∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
B、∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，所以可以得到∠COB＝90°，能判定垂直，故此选项不符合题意；
C、∠AOC＝∠BOD是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
D、∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：∵PN⊥QM，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是垂线段最短．
故选：C．
3．
【分析】直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．
【解答】解：在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：C．
4．
【分析】根据垂直定义可得：∠BOE＝90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠DOB＝43°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠DOB＝47°，
故选：D．
5．
【分析】根据垂线段最短即可得出结论．
【解答】解：根据垂线段最短可得：CD＜AC，CD＜BC，
∴线段AC、BC、CD中最短的是CD，
故选：C．
6．
【分析】根据点到直线距离的定义及垂线段最短，对题目中给出语句逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：∵PB⊥a，
∴线段PB的长是点P到直线a的距离，
故①正确；
根据垂线段最短得：PA，PB，PC三条线段中，PB最短，
故②正确；
∵AC与PC不垂直，
∴线段AC的长不是点A到直线PC的距离，
故③不正确；
∵PA⊥PC，
∴线段PC的长是点C到直线PA的距离，
故④不正确．
综上所述：正确的是①②，共2个．
故选：B．
7．
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案．
【解答】解：∵垂线段最短，
∴点P到直线AB的距离小于8cm，
∴点P到直线AB的距离可能为7cm，
故选：D．
8．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案．
【解答】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，
当d＝3时
此时PA⊥l
故选：C．
9．
【分析】证明∠AOE＝∠COF即可解决问题．
【解答】解：∵OC⊥AB，OE⊥OF，
∴∠AOE+∠COE＝90°，∠COF+∠COE＝90°，
∴∠COF＝∠AOE＝45.2°＝45°12′，
故选：A．
10．
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项判断即可．
【解答】解：∵AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB＝4，BC＝3，
∴点C到直线AB的距离等于3，选项A不符合题意；
点B到AC的距离不等于3，选项B不符合题意；
点A到直线l2的距离等于4，选项C符合题意；
点C到直线l2的距离等于0，选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】根据点到直线距离的定义解答即可．
【解答】解：点P到n的距离是点P到n的垂线，
∴线段PC的长度是点P到n的距离，
故答案为：PC．
12．
【分析】根据太阳光线与地面水平线EF垂直可得∠MDE＝90°，再由∠EDN＝90°﹣∠MDE，代入计算即可．
【解答】解：∵太阳光线与地面水平线EF垂直，
∴∠MDE＝90°，
∵∠MDN＝23°26′，
∴∠EDN＝90°﹣∠MDE＝90°﹣23°26′＝66°34，
即∠EDN的度数是66°34′．
故答案为：66°34′．
13．
【分析】根据题意，分OC、OD在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD，∠AOC＝20°，计算∠BOD的度数即可．
【解答】解：在直线AB同侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣20°＝70°；
在直线AB异侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝180°﹣（90°﹣20°）＝110°，
故答案为：70°或110°．
14．
【分析】依据垂线段最短，即可得到当AP⊥BC时，AP最短．根据面积法求得垂线段AP的长即可．
【解答】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短，
∵，
∴，
∴AP的最小值是．
故答案为：．
15．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠1是∠2的2倍少30度，利用方程组即可解决问题．
【解答】解：如图1，
根据题意得，，
解得∠1＝∠2＝30°；
如图2，
根据题意得，，
解得，
∴∠1的度数为30°或110°，
故答案为：110或30．
三、解答题
16．解：（1）如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带．
（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短．
设计的理由是垂线段最短．
17．解：（1）∵OF平分∠AOC，∠AOF＝64°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝128°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝128°﹣90°＝38°；
（2）由于∠AOF：∠COE＝3：2，可设∠AOF＝3x，∠COE＝2x，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOF＝6x，
∴∠EOF＝∠AOC﹣∠AOF﹣∠COE＝6x﹣3x﹣2x＝x，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°＝∠AOF+∠EOF＝3x+x＝4x，
∴x＝22.5°＝∠EOF，
即∠EOF的度数为22.5°．
18．（1）证明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°，
∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°．
∴∠NOD的度数为90°；
∴ON⊥CD
（2）解：∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°，
∵∠BOC＝4∠1，
∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1，
解得∠1＝30°，
∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°．
19．解：（1）由题意得：点B到AC的距离是4cm；点A到BC的距是3cm．
故答案为4，3；
（2）如图，CD为所作；
∵，
∴BC AC＝AB CD，
∴4×3＝5CD，
∴；
（3）AC＞CD．
理由是垂线段最短；
故答案为：＞，垂线段最短．
20．解：（1）如图1，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠DOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠DOE＝∠BOD＝26°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠COE＝90°﹣26°＝64°，
故答案为：64；
（2）若OE恰好平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOD，
∴∠BOD＝×（180°﹣90°）＝30°；
（3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°，理由如下：
如图2﹣1，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOE＝∠BOD，
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠EOF＝∠AOE＝∠BOD，
∴OG是∠BOC的平分线，
∴∠BOG＝∠BOC＝×（90°+∠BOD）＝45°+∠BOD，
∴∠DOG＝∠BOG﹣∠BOD＝45°﹣∠BOD，
∴∠EOF+∠DOG＝45°，
如图2﹣2，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠DOE＝∠BOD，
∴∠DOG＝∠BOC﹣∠BOD
＝（90°+∠BOD）﹣∠BOD
＝45°﹣∠BOD，
∠EOF＝∠AOE＝×（180°﹣2∠BOD）
＝90°﹣∠BOD，
∴∠EOF＝2∠DOG，
综上所述∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°．

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