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7.3定义、命题、定理
一、单选题
1．下列语句，不是命题的是（　　）
A．两点之间线段最短
B．在同一个平面内两直线不平行就相交
C．连接A，B两点
D．对顶角相等
2．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．直角都相等
C．同位角相等
D．全等三角形的对应角相等
3．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果两个角是直角，那么这两个角相等
B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C．对顶角相等
D．两直线平行，同位角相等
4．以下正确的命题共有（　　）
①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线OA与射线AO为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．要说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（　　）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝4，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣2
6．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　）
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c
D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c
7．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝92°，∠2＝40° B．∠1＝89°，∠2＝2°
C．∠1＝110°，∠2＝30° D．∠1＝103°，∠2＝3°
8．要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　）
A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2
C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣4
9．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（　　）
A．k＝1 B．k＝2 C．k＝4 D．k＝8
10．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．若AB∥EF，则∠4＝∠B B．若DE∥BC，则∠2＝∠4
C．若∠1＝∠B，则∠3＝∠C D．若∠1＝∠2，则∠2＝∠4
二、填空题
11．命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”是 　 　命题（填“真”或“假”）．
12．命题“同位角相等”的条件是 　 　，结论是 　 　．
13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 　 　，那么 　 　．
14．用一组a，b的值说明命题：“若a2＝b2，则a＝b”是错误的，这组值可以是a＝ 　 　，b＝ 　 　．
15．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：
①2222是“回文数”；
②所有两位数中，有9个“回文数”；
③所有三位数中，有81个“回文数”；
④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有 　 　．（填序号）
三、解答题
16．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　 　；
（2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程．
17.已知如图，BC与DE相交于点O，给出下面三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；
③BC∥EF．请以其中的两个论断为条件，填入“题设”栏中；剩下的论断为结论，
填入“结论”栏中，使之成为一个真命题，并加以证明．
题设：已知：如图，BC与DE相交于点O，　 　，　 　（填序号）．
结论：　 　（填序号）．
证明：
18．已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点．
（1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：　 　，结论：　 　.（填序号）
证明：
（2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数．
19．如图，直线AB、CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE，
（1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相 　 　
（3）由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线又具有怎样的位置关系？并证明你的结论；（要求作图证明结论）
20．探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；（﹣3）※（+4）＝﹣1；（+5）※（﹣8）＝﹣3．
（1）按照上述算式的规则计算：
①（+4）※（+3）＝ 　 　；
②（﹣2）※（﹣4）＝ 　 　；
③（﹣4）※（+5）＝ 　 　；
④（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]＝ 　 　.（括号的作用与有理数运算中的作用一致）
（2）我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时，　 　，异号两数进行※（宏）运算时 　 　．
（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你分别举例、计算，通过例子判断在※（宏）运算中交换律和结合律是否成立？若不成立，只需举一个反例．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】根据命题的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：A．两点之间线段最短，是命题；
B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题；
C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题；
D．对顶角相等，是命题．
故选：C．
2．
【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据直角的定义对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据全等三角形的性质对D进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；
B、直角都相等，所以B选项为真命题；
C、两直线平行，内错角相等，所以C选项为假命题；
D、全等三角形的对应角相等，所以D选项为真命题．
故选：C．
3．
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定判断即可．
【解答】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意；
B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
故选：D．
4．
【分析】利用确定直线的条件、及直线的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①过一点可画无数条直线，正确，符合题意；
②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条或1条直线，故原命题错误，不符合题意；
③射线OA与射线AO不是同一射线，故原命题错误，不符合题意；
④三条直线两两相交，必有1个或3个交点，故原命题错误，不符合题意，
正确的有1个，
故选：A．
5．
【分析】根据反例满足条件，结论与原结论矛盾，进行判断即可．
【解答】解：A、不满足|a|＞|b|，不符合题意；
B、条件和结论都与原命题相符，不符合题意；
C、条件和结论都与原命题相符，不符合题意；
D、条件满足|a|＞|b|，结论与原命题矛盾，符合题意；
故选：D．
6．
【分析】根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解．
【解答】解：A、，是真命题，故本选项不符合题意；
B、，应为a∥c，故本选项是假命题，故本选项符合题意；
C、，是真命题，故本选项不符合题意；
D、，是真命题，故本选项不符合题意．
故选：B．
7．
【分析】根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可．
【解答】解：A、92°﹣40°＝52°，52°是锐角，故本选项不符合题意；
B、89°不是钝角，故本选项不符合题意；
C、110°﹣30°＝80°，80°是锐角，故本选项不符合题意；
D、103°﹣3°＝100°，100°是钝角，故本选项符合题意；
故选：D．
8．
【分析】根据加法法则知识进行判断即可．
【解答】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如﹣1+（﹣3）＝﹣4，
故选：D．
9．
【分析】根据四个选项中的k值进行判断即可．
【解答】解：四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例判断如下：
A、k＝1不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例；
B、k＝2是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例；
选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例．
故选：B．
10．
【分析】根据平行线的性质和判定定理判断即可．
【解答】解：A、若AB∥EF，则∠4＝∠B，是真命题，不符合题意；
B、若DE∥BC，则∠2＝∠4，是真命题，不符合题意；
C、当∠1＝∠B时，DE∥BC，则∠3＝∠C，故本选项命题是真命题，不符合题意；
D、当∠1＝∠2时，AB∥EF，不能证明∠2＝∠4，故本选项命题是假命题，符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】利用平行线的传递性进行判断即可．
【解答】解：命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”是真命题．
故答案为：真．
12．
【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答．
【解答】解：命题中，已知的事项是“两个角是同位角”，由已知事项推出的事项是“相等”，
所以“两个角是同位角”是命题的题设部分，“相等”是命题的结论部分．
故答案为：两个角是同位角，相等．
13．
【分析】改写成“如果……，那么……”的形式时，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论．
【解答】答案：两个角是对顶角；这两个角相等．
解：“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
14．
【分析】通过a取1，b取﹣1可说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是错误的．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，满足a2＝b2，但a≠b．故命题错误．
故答案为：1，﹣1（答案不唯一）．
15．
【分析】根据“回文数”的定义进行分析即可求解．
【解答】解：①根据定义2222正读倒读都一样，故2222是“回文数”；①是真命题；
②两位数的“回文数”为：11，22，33，44，55，66，77，88，99，合计9个；②是真命题；
③三位数的“回文数”中，百位和个位是1的为：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191，合计10个，同理百位和个位是2的有10个，依次类推，则三位数的“回文数”合计10×9＝90个；③是假命题；
④设任意四位数m的“回文数”千位，百位，十位，个位上的数字分别为a，b，c，d，则p＝1000a+100b+10c+d，
根据定义，a＝d，b＝c，
∴p＝1001a+110b＝11×91a+11×10b＝11×（91a+10b），
∴p是11的倍数；④是真命题；
故答案为：①②④．
三、解答题
16．解：（1）命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，
故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
（2）如图，已知：CD⊥AB于M，EF⊥AB于N，
求证：CD∥EF，
证明：∵CD⊥AB于M，EF⊥AB于N，
∴∠CMN＝∠ENB＝90°，
∴CD∥EF．
17.解：题设：②、③；
结论：①；
证明过程如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠COD，
又∵BC∥EF，
∴∠E＝∠COD，
∴∠B＝∠E．
故答案为②，③，①．
18．（1）解：①②为条件，③为结论，证明如下：
∵DF∥AE，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠FDE＝∠A，
∴∠FDE＝∠DFB，
∴DE∥BA；
①③为条件，②为结论，证明如下：
∵DF∥AE，DE∥BA，
∴∠A＝∠DFB，∠FDE＝∠DFB，
∴∠FDE＝∠A；
②③为条件，①为结论，证明如下：
∵DE∥BA，
∴∠FDE＝∠DFB，
∵∠FDE＝∠A，
∴∠A＝∠DFB，
∴DF∥AE；
（2）解：∵∠FDE＝∠A，∠A＝∠BDF＝2∠EDC，∠FDE+∠BDF+∠EDC＝180°，
∴，
∴∠A＝72°，
∵DF∥AE，
∴∠AFD＝180°﹣∠A＝108°．
19．解：（1）EM∥FN，证明如下：
∵∠2+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠DFE，
∴AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CFE，
∵EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE，
∴，
∴∠3＝∠4，
∴EM∥FN；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行；
故答案为：平行；
（3）如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行，证明如下：
如图：已知AB∥CD，GI，HJ分别平分∠BGF，∠DHG，
则：∠BGF＝∠DHG，，
∴∠1＝∠2，
∴GI∥HJ，
∴如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行．
20．解：（1）①（+4）※（+3）＝7；
②（﹣2）※（﹣4）＝6；
③（﹣4）※（+5）＝﹣1；
④（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]
＝（﹣2）※（﹣3）
＝5；
故答案为：①7；②6；③﹣1；④5；
（2）归纳※（宏）运算的运算法则：同号两数进行※（宏）运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏）运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）交换律适用，结合律不适用，理由如下：
设这两个有理数为a，b，
若a，b均为正数，则a※b＝a+b，b※a＝a+b，
∴a※b＝b※a；
若a，b均为负数，则a※b＝+（﹣a﹣b）＝﹣a﹣b，b※a＝+（﹣a﹣b）＝﹣a﹣b，
∴a※b＝b※a；
若a，b异号，且a的绝对值大于b的绝对值，则a※b＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b，b※a＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b，
∴a※b＝b※a；
∴交换律适用；
∵（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]＝（﹣2）※（﹣3）＝5，（﹣2）※（+4）※（﹣1）＝（﹣2）※（﹣1）＝3，且5≠3，
∴结合律不适用．

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