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数学参考答案及评分意见
一、 选择题
1—4：ABDA 5—8： CDBD
二、多选题
9.ACD 10.BD 11.ABD
三、填空题（第 14 题，对一空得 3 分，全对得 5 分）
1 1 1 1 n
12. 3 2 13. (0,e) 14. , ( )
2 4 4 3
四、解答题
15.(1)证明：因为a c a cosC c cos A 3b ，
由正弦定理得，sin A sin C sin AcosC sin C cos A 3sin B ， ………….2 分
则 sin A sin C sin(A C) 3sin B ，即sin A sin C sin B 3sin B
所以sin A sin C 2sin B， ……..…….4 分
所以a c 2b . ..……...….5 分
(2)由 AB AC 3，b 2，
3
得bc cos A 3，则cos A ， ..………….7 分
2c
b2 c2 a2
又由(1)知a c 2b =4， cos A ,
2bc
3 22 c2 (4 c)2 9
则 ，解得c ， ………….10 分
2c 4c 4
2 5
所以cos A ，则 sin A 1 cos2 A ， ………….12 分
3 3
1 3 5
所以 ABC 的面积 S bcsin A . ..……….13 分
2 4
16. 解：(1)因为10+ 30+m + n =100，m = 2n，所以m = 40 ，n = 20 . …..…2 分
(2)由分层随机抽样可知，抽取的 10 人中，成绩在 60,100 这两个区间内的人数为
40+ 20
10 = 6 . …..…..…..3 分
100
抽到的 4 人中成绩在[60,100]的人数为 X 的可能取值为 0，1，2，3，4.
C0C4 1 C1C3 24 4 C2 2
P(X = 0) = 6 4 = ， P(X =1) = 6 4 = = ，P(X = 2) = 6
C4 90 3= =
4 ，
C4 210 C4 210 35 C10 210 710 10
C3C1 80 8 C4 0
P(X = 3) = 6 4 = = ，P(X = 4) = 6
C4 15 1= =
4 4 . C10 210 21 C10 210 14
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
1 4 3 8 1
P
210 35 7 21 14
…………..9 分
1 4 3 8 1 12
所以E(X ) = 0 +1 + 2 +3 + 4 = . ....…….…11分
210 35 7 21 14 5
(2)由学生成绩T ~ N (64,121)，得学生成绩的平均值和标准差为： = 64 ， =11，
则 P (86 T 97) = P (64+22 T 64+33) = P ( +2 T +3 ) ,
1 1
= [P( 3 T +3 )-P( 2 T + 2 )] = (0.9733 0.9545) = 0.0214 ,……14 分
2 2
所以估计成绩在[86,97]内的人数为20000 0.0214 = 428 . .….…15 分
17．(1)证明：因为 PA 平面 ABCD，
所以 PA CD， ...…….1 分
又因为 AD CD， PA AD=A，CD 平面 ABCD，
所以 CD 平面 PAD. ………..3 分
(2)在平面 ABCD 内过点 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M.
因为 PA 平面 ABCD，
所以 PA AM，PA AD. ……….4 分
如图，建立空间直角坐标系 A-xyz,
则 A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)， ……..….5 分
因为 E 为 PD 的中点，所以 E(0,1,1)，
所以 AE (0,1,1), PC (2,2, 2), AP (0,0,2) ，
1 2 2 2
所以PF PC ( , , )，
3 3 3 3
2 2 4
AF AP PF ( , , )， ………….7 分
3 3 3
设平面 FAE 的法向量为n (x, y, z)，
y z 0
n AE 0
则 ，即 2 2 4 .
n AF 0 x y z 0
3 3 3
令 z=1，则 y=-1,x=-1,
于是可取n ( 1, 1,1)
又平面 PAE 的法向量可取m (1,0,0)， ……………9 分
设平面 FAE 和平面 PAE 的夹角为 ，
| n m | 3
则 cos | cos n,m | ,
| n || m | 3
3
所以平面 FAE 和平面 PAE 的夹角的余弦值为 . ……..……11 分
3
(3)直线 AG 在平面 AEF 内. …..………12 分
PG 2
因为点 G 在 PB 上，且 ， PB (2, 1, 2) ，
PB 3
2 4 2 4 4 2 2
所以PG PB ( , , )， AG AP PG ( , , ) , ……….. 14 分
3 3 3 3 3 3 3
由(2)可知，平面 AEF 法向量n ( 1, 1,1)，
4 2 2
所以 AG n 0，
3 3 3
所以直线 AG 在平面 AEF 内. ……..…15 分
18. 解：(1) Q 在线段PF1的垂直平分线上 QF1 = QP ，
( )2 点 P 是圆F2：x 5 + y2 =16上任意一点, PF2 = 4 ，
| QF1 | | QF2 | = | QP | | QF2 | =| PF2 |= 4 (定值) | F1F2 |，
点Q 的轨迹是以 F1, F2为焦点，实轴长为 4 的双曲线， ……….3 分
a = 2,c = 5,b =1，
x2 2
曲线C 的方程为： y =1. ……..…..5 分
4
(2)设 A(x1, y1)，D(x2 , y2 ) ，则 B(x1, y1)，
直线 AT 的方程为 y k(x 1)，联立直线 AT 与双曲线C 的方程
y k(x 1)
，得 (1 4k 2 )x2 8k 2x 4k 2 4 0，则
x2 4y2 4
8k 2 4k 2 4
x x ， x x ， …………7 分 1 2 1 2
4k 2 1 4k 2 1
64k 4 16(k 2 1)(1 4k 2 ) 16 48k 2 0，
y y
设直线 BD 的斜率为 k ，则 k 2 1
y y
BD ，得直线 BD 的方程为：y y
2 1
BD 1 (x x1) ，
x2 x1 x2 x1
y2 y1 x1y x y 1y x 2 2 1 [(y y )x (x y y ， …….8 分 2 1 1 2 1x2 )]
x2 x1 x2 x1 x2 x1
2k
又 y2 y1 k(x2 1) k(x1 1) k(x1 x2 ) 2k ，
4k 2 1
8k
x1y2 y1x2 kx1(x2 1) kx2 (x1 1) 2kx1x2 k(x1 x2 ) ，
4k 2 1
1 2k 8k 2k
y ( x ) (x 4)， ………10 分
x2 x1 4k
2 1 4k 2 1 (x x 22 1)(4k 1)
则当x 4时, y 0，
直线BD 过定点 E(4，0)； ……..…..11 分
(3)直线 l 过点 E(4，0)，与双曲线C 的右支交于M , N 两点，故斜率必不为 0，所以设 l 方程
为： x = my + 4 ,M (x1, y1)， N (x2 , y2 ) ，
x = my + 4 2 2
由 ，得 (m 4)y +8my +12 = 0 ,则
x2 4y
2 = 4
8m 12
y + y = ， y y = ， ……….12 分1 2 2 1 2m 4 m2 4
= 64m2 48(m2 4) 0，
2
2 m 2即m 0,4)， ……….13 分
1 3 64m2 48 3 16(m2 +12) m2 +12
S TMN = TE y1 y2 = = = 6 ，2 2 2
2 2 ( 2m2 4) m 4 2 (m2 4) (m2 4)
令m2 +12 = t,则t 12,16)，
t t 1
S TMN = 6 = 6 = 6 ， ……..…15 分( 2 2t 16) t 32t + 256 256t + 32
t
256
t + 在 t
256
12,16)上单调递减， 当t =12，即m = 0时， t + 有最大值，
t t
此时△TMN 的面积的最小值为3 3 . ……..…17 分
19.解：(1) 因为函数 f (x) = x 在 1,2 上一个“T (a)函数”，
1
所以对任意 x [1,2] ，ax2 x 2ax2 恒成立，即a 2a .
x
1
令 F(x) = , x 1,2 ，
x
1
则 F (x) F (x) =1min = F (2) = ， max ………..2 分
2
1
1 a 1
要使a 2a恒成立，则 2 ，解得a = .
x 2
2a 1
1
故 a的值为 . .….....….4 分
2
π π 1
(2) (i) 要证明函数 g (x) =1 cosx 在 , 上是一个“T 函数”，
2 2 4
π π 1 2 1
只需证当 x , 时， x 1 cos x x
2
，证明如下：
2 2 4 2
π x
当 x 0, 时， sin x x ，
2 2
π x
由图象的对称性可知，当 x ,0 时， x sin x . .….....….6 分
2 2
1 π π
令 h(x) = x
2 + cos x 1, x , ，
2 2 2
则 h (x) = x sin x ，
π π
当 x 0时，h (x) 0，h(x)在 ,0 上单调递减；
2 2
π π
当 0 x 时，h (x) 0，h(x)在 0, 上单调递增. .….....….8 分
2 2
1 1
所以h(x) h(0) = 0 x
2
，即 + cos x 1 0 1 cos x x
2
，所以 . ………..…9 分
2 2
1 π π
令M (x) = x
2 + cos x 1, x , ，
4 2 2
1
则M (x) = x sin x，
2
π π
同理可得M (x) 在 ,0 上单调递增，在 0, 上单调递减. ……..…11 分
2 2
1 1
则M (x) M (0) = 0 ，即 x
2 + cos x 1 0 2，所以 x 1 cos x .
4 4
1 2 1
综上所述， x 1 cos x x
2
.
4 2
π π 1
所以，函数 g (x) =1 cosx 在 , 上是一个“T 函数”. …….…12 分
2 2 4
x2
(ii) 当 x (0, 2 )时，1 0，
2
x2 1 1
由(i)可得，cos x 1 0 ,且0 sin x x, 0 .
2 sin x x
x2 2
1 x x
所以 1 2 ，即当 x (0, 2 )时， 1 . …..…15 分 tan x 2
tan x x
1 1
令 x = ,n N ，则 (0, 2 )，
n n
1 1 2
1 =1 2 2 1 1
则有 1 2n2 4n2 1 =1 =1 2 ，
n tan 4n 1 (2n 1)(2n+1) 2n 1 2n+1
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + n 1 + + +
所以 tan1 1 1 1

3 3 5 2n 1 2n +1 2tan 3tan ntan
2 3 n
1 2n 2n
2 n
= n 1 = n = ,
2n+1 2n+1 2n+1
1 1 1 1 2n2 n
+ + + +
故 tan1 1 1 1 2n +1 ， ……..…17 分
2 tan 3tan n tan
2 3 n

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