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第五节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ζ表示甲的得分，则{ζ＝3}表示（　　）
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局二次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
2.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且Y＝aX＋3，若E（Y）＝－2，则a＝（　　）
A.－3 B.－2
C. D.3
3.若随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
4.小智参加三分投篮比赛，投中1次得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D（｜ξ｜）为（　　）
A. B.
C. D.3
5.已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P
若P（X2＜x）＝，则实数x的取值范围是（　　）
A.4≤x≤9 B.4＜x≤9
C.4≤x＜9 D.4＜x＜9
6.〔多选〕已知随机变量X，Y的分布列如下，则（　　）
X 1 2
P 0.6 0.4
Y 1 －2
P 0.5 0.5
A.D（Y）＝9D（X） B.E（1－X）＝0.5
C.D（1－Y）＝2.25 D.E（X＋Y）＝0.9
7.若离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝p，4－5P（X＝0）＝p，则p＝　　　　.
8.一射手打靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则停止射击后剩余子弹数目的均值为　　　　.
9.（2025·河北部分重点高中期末）为欢度春节，某商场组织了“文明迎新年”知识竞赛活动，每名参赛者需要回答A、B、C三道题目，通过答题获得积分，进而获得相应的礼品.每题答错得0分，答对A题目得1分，答对B、C题目分别得2分，每名参赛者的最后得分为每题得分的累计得分，已知一名参赛者答对A题目的概率为，答对B、C题目的概率均为，并且每题答对与否相互独立.
（1）求该名参赛者恰好答对两道题目的概率；
（2）求该名参赛者最终累计得分的分布列和数学期望.
10.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则E（ξ）＝（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
11.〔多选〕已知＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有（　　）
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A.P（X＝2）的值最大
B.P（X＝0）＜P（X＝1）
C.E（X）随p的增大而减小
D.E（X）随p的增大而增大
12.〔多选〕将2n（n∈N*）个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子中的可能性相同，且每个盒子容纳的球数不限.记2个盒子中最少的球数为X（0≤X≤n，X∈N*），则下列说法中正确的是（　　）
A.当n＝1时，方差D（X）＝
B.当n＝2时，P（X＝1）＝
C. n≥3， k∈[0，n）（k，n∈N*），使得P（X＝k）＞P（X＝k＋1）成立
D.当n确定时，期望E（X）＝
13.（创新设问方式）已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m个红球与10－m个白球，B盒中有10－m个红球与m个白球（0＜m＜10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当D（ξ）取到最大值时，m＝　　　　.
14.（2025·沈阳质量监测）某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲、乙、丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为p.
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若p＝，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；
（2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若p＝，试比较乙、丙两同学得分的数学期望的大小.
15.（创新知识交汇）记复数的一个构造：从数集{0，1，}中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n次这样的构造，可得到n个复数，将它们的乘积记为zn.已知复数具有运算性质：｜（a＋bi）·（c＋di）｜＝｜（a＋bi）｜·｜（c＋di）｜，其中a，b，c，d∈R.
（1）当n＝2时，记｜z2｜的取值为X，求X的分布列；
（2）当n＝3时，求满足｜z3｜≤2的概率；
（3）求｜zn｜＜5的概率Pn.
第五节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
1.D　因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ζ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
2.A　E（X）＝1×＋2×＋3×＝.∵Y＝aX＋3，∴E（Y）＝aE（X）＋3＝a＋3＝－2，解得a＝－3.
3.C　由分布列性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时取等号.故选C.
4.B　由题意可得ξ的可能取值为－3，3，－1，1，小智投篮命中率为，所以P（ξ＝3）＝P（ξ＝－3）＝，P（ξ＝1）＝P（ξ＝－1）＝，故随机变量｜ξ｜的分布列为
｜ξ｜ 1 3
P
故E（｜ξ｜）＝1×＋3×＝，D（｜ξ｜）＝×＋×＝.故选B.
5.B　X2的可能取值为0，1，4，9，P（X2＝0）＝P（X＝0）＝，P（X2＝1）＝P（X＝－1）＋P（X＝1）＝＋＝，P（X2＝4）＝P（X＝－2）＋P（X＝2）＝＋＝，P（X2＝9）＝P（X＝3）＝.因为P（X2＜x）＝＝＋＋，所以实数x的取值范围是4＜x≤9.故选B.
6.CD　E（X）＝1×0.6＋2×0.4＝1.4，E（Y）＝1×0.5－2×0.5＝－0.5，D（X）＝（1－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.4＝0.24，D（Y）＝（1＋0.5）2×0.5＋（－2＋0.5）2×0.5＝2.25，所以D（Y）≠9D（X），E（1－X）＝－E（X）＋1＝－0.4，D（1－Y）＝（－1）2D（Y）＝2.25，E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0.9，故选C、D.
7.　解析：因为X服从两点分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝1，由4－5P（X＝0）＝p，得4－5[1－P（X＝1）]＝p，所以p＝.
8.2.376　解析：X＝k表示停止射击后剩余子弹的数目，P（X＝3）＝0.6，P（X＝2）＝0.4×0.6，P（X＝1）＝0.42×0.6，P（X＝0）＝0.43×（0.6＋0.4），∴E（X）＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＋0×0.43×（0.6＋0.4）＝2.376.
9.解：（1）由题意可得：该名参赛者恰好答对两道题目的概率P＝××（1－）＋×（1－）×＋（1－）××＝.
（2）设该名参赛者最终累计得分为X，可知X＝0，1，2，3，4，5，则
P（X＝0）＝（1－）×（1－）×（1－）＝；
P（X＝1）＝×（1－）×（1－）＝；
P（X＝2）＝（1－）××（1－）＋（1－）×（1－）×＝；
P（X＝3）＝××（1－）＋×（1－）×＝；
P（X＝4）＝（1－）××＝；
P（X＝5）＝××＝，
可得该名参赛者最终累计得分的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
所以数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.
10.D　由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ＝1）＝＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故选D.
11.BD　当p＝时，P（X＝2）＝，P（X＝1）＝1－＝＞，A错误；因为＜p＜1，所以p－p2＝p（1－p）＜1－p，即P（X＝0）＜P（X＝1），B正确；E（X）＝1－p＋2p2＝2（p－）2＋，因为＜p＜1，所以E（X）随p的增大而增大，C错误，D正确.
12.ACD　当n＝1时，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，E（X）＝，E（X2）＝，则D（X）＝E（X2）－[E（X）]2＝，A正确；当n＝2时，P（X＝1）＝2×＝，B错误；由已知得，P（X＝k）＝2×，P（X＝k＋1）＝2×，k≤n－2，P（X＝n）＝，又＝＞1，所以P（X＝n－1）＞P（X＝n），C正确；又E（X）＝＋＝－＝（2k－n）＝（4n－n）＝（4－）＝（4－）＝（4×－）＝，D正确.故选A、C、D.
13.5　解析：ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以E（ξ）＝1×＋2×＝1，D（ξ）＝E（ξ2）－[E（ξ）]2＝12×＋22×－1＝－（m－5）2＋.因此当m＝5时，D（ξ）取最大值.
14.解：（1）记事件A为该题的正确答案是2个选项，则为该题的正确答案是3个选项，
即P（A）＝p，P（）＝1－p，由p＝得，P（A）＝，P（）＝，
设事件B为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，
则P（B｜A）＝ ＝，P（B｜）＝＝，
则P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜）·P（）＝×＋×＝.
（2）由p＝得，P（A）＝，P（）＝，
设X表示乙同学答题得分，则X的可能取值为0，2，3，
所以P（X＝0）＝×P（A）＋×P（）＝×＋×＝，
P（X＝2）＝×P（）＝×＝，
P（X＝3）＝×P（A）＝×＝，
所以E（X）＝0×＋2×＋3×＝，
设Y表示丙同学答题得分，则Y的可能取值为0，4，6，
所以P（Y＝0）＝×P（A）＋×P（）＝×＋×＝，
P（Y＝4）＝×P（）＝×＝，
P（Y＝6）＝×P（A）＝×＝，
所以E（Y）＝0×＋4×＋6×＝，
即E（X）＜E（Y），
故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望.
15.解：（1）由题意可知，可构成的复数为{1，i，，i，1＋i，＋i}，共6个复数，
模为｜1｜＝｜i｜＝1，｜｜＝｜i｜＝，｜1＋i｜＝｜＋i｜＝2.
X的可能取值为1，，2，3，2，4，
P（X＝1）＝＝，P（X＝）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝4）＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3 2 4
P
（2）z3可能的结果共有··＝216种，
满足｜z3｜≤2的情况有：
①3个复数的模均为1，共有··＝8种；
②3个复数中，2个模均为1，1个模为或2，共有···＝48种，
所以P（｜z3｜≤2）＝＝.
（3）当n＝1或2时，显然都满足，此时Pn＝1；
当n≥3时，满足｜zn｜＜5共有三种情况：
①n个复数的模均为1，则共有（）n＝2n；
②n－1个复数的模为1，剩余1个复数的模为或2，则共有·（）n－1·＝n·2n＋1；
③n－2个复数的模为1，剩余2个复数的模为或2，则共有·（）n－2··＝n（n－1）·2n＋1，
故P（｜zn｜＜5）
＝
＝＝，
当n＝1，2时均成立.
所以Pn＝.
3 / 3第五节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求
　　通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）.
1.离散型随机变量及其分布列
（1）离散型随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以　　　　　的随机变量称为离散型随机变量；
（2）离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
（3）离散型随机变量分布列的性质
①pi≥　　　，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝　　　.
2.离散型随机变量的数字特征
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
（1）均值（数学期望）：称E（X）＝　　　　　＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了随机变量取值的　　　　　；
（2）方差：称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的　　　　，记为σ（X），它们都可以度量随机变量取值与其均值的　　　　　.
提醒 （1）D（X）越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近；（2）方差是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
1.若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
（1）E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数；
（2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）；
（3）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；
（4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2；
（5）若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.
2.若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量是指某一区间内的任意值.（　　）
（2）若随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）＝1－P（X＝0）.（　　）
（3）方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.（　　）
（4）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.（　　）
2.袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（　　）
A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7
C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，5
3.（人A选三P66练习1题改编）已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为（　　）
A. B.4
C.－1 D.1
4.（人A选三P59例1改编）设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X表示一次试验的成功次数，则P（X＝0）＝（　　）
A. B.
C. D.
5.随机变量X的可能取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，E（X）＝1，则D（X）＝（　　）
A. B.
C. D.
分布列的性质
（基础自学过关）
1.若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a c
则P（｜X｜＝1）＝（　　）
A. B.
C. D.
2.离散型随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）＝（　　）
A. B.
C. D.
3.〔多选〕已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是（　　）
A.a＝0.1 B.P（X≤2）＝0.7
C.P（X≥3）＝0.4 D.P（X≤1）＝0.3
4.设随机变量X满足P（X＝i）＝（i＝1，2，3），则k＝　　　　；P（X≥2）＝　　　　.
练后悟通
离散型随机变量分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
离散型随机变量的均值与方差
（定向精析突破）
考向1　均值与方差的性质
〔多选〕设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有（　　）
A.q＝0.1
B.E（X）＝2，D（X）＝1.4
C.E（X）＝2，D（X）＝1.8
D.E（Y）＝5，D（Y）＝7.2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
与均值、方差性质有关问题的解题思路
　　若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）.
考向2　离散型随机变量的均值与方差的求解
（2025·滨州一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组.观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表：
株高增量（单位：厘米） （4，7] （7，10] （10，13] （13，16]
第1组鸡冠花样本株数 4 10 4 2
第2组鸡冠花样本株数 3 8 8 1
第3组鸡冠花样本株数 7 5 7 1
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
（1）从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在（7，10]内的概率；
（2）分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量在（7，10]内，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）用“ξk＝0”表示第k组鸡冠花的株高增量在（4，10]内，“ξk＝1”表示第k组鸡冠花的株高增量在（10，16]内，k＝1，2，3.比较方差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3）的大小，并说明理由.
解题技法
求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列；
（4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）.
1.已知ξ的分布列如表所示：
ξ 0 1 2
P ？ ！ ？
其中，“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤，正确的个数是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.（2024·新乡模拟）甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球.
（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为X，求X的分布列与期望.
均值与方差在决策中的应用
（师生共研过关）
（2025·南昌一模）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案一：执行投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5 000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是40%，经济形势不好的概率是60%.
（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；
（2）根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.
解题技法
利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键
（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策.
某投资公司在2024年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
第五节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）一一列举　　（3）①0　②1
2.（1）x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　平均水平　（2）标准差　偏离程度
对点自测诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√
2.B　3.A　4.B　5.B
【考点·分类突破】
考点1
1.C　由随机变量X的分布列得P（｜X｜＝1）＝P（X＝－1）＋P（X＝1）＝a＋c＝1－＝.
2.D　因为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），所以＋＋＋＝1，即a＝，所以P（＜X＜）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝×＋×＝.
3.ABD　因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知P（X≤2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确.
4.　　解析：由已知得随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
∴＋＋＝1，∴k＝.
∴随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝.
考点2
【例1】 ACD　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；由已知可得E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正确.
【例2】 解：（1）记“从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，至少有1株鸡冠花的株高增量在（7，10]内”为事件A，所以P（A）＝＝.
（2）记“从第i（i＝1，2，3）组的鸡冠花中各随机抽取1株，这株鸡冠花的株高增量在（7，10]内”为事件Bi，
由题意可知：P（B1）＝，P（B2）＝，P（B3）＝，
且X的可能取值为0，1，2，3，则有：
P（X＝0）＝（1－）（1－）（1－）＝；
P（X＝1）＝×（1－）（1－）＋（1－）××（1－）＋（1－）（1－）×＝；
P（X＝2）＝××（1－）＋×（1－）×＋（1－）××＝；
P（X＝3）＝××＝；
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（3）由题意可知：ξ1，ξ2，ξ3均服从两点分布，则有：
ξ1的分布列为：
ξ1 0 1
P
可得ξ1的方差D（ξ1）＝×＝；
ξ2的分布列为：
ξ2 0 1
P
可得ξ2的方差D（ξ2）＝×＝；
ξ3的分布列为：
ξ3 0 1
P
可得ξ3的方差D（ξ3）＝×＝；
因为＞＞，
所以D（ξ2）＞D（ξ3）＞D（ξ1）.
跟踪训练
1.C　设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0，1]，2a＋b＝1.①E（ξ）＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；②D（ξ）＝（0－1）2×a＋（1－1）2×b＋（2－1）2×a＝2a≤1，因此②不正确；③P（ξ＝0）＝a＝≤，因此③正确.
2.解：（1）记这2个球颜色相同为事件A，
则P（A）＝×＋×＝.
（2）依题意X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝×＋×＋×＝，
P（X＝1）＝×＋×＋×＝，
P（X＝2）＝×＋×＝，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
考点3
【例3】 解：（1）记投资期间经济形势好为事件B1，投资期间经济形势不好为事件B2，投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件A，
则P（B1）＝0.4，P（B2）＝0.6，
因此P（A）＝P（B1A＋B2A）＝0.4×0.8＋0.6×0.3＝0.5.
（2）若采取方案一，设该公司获得的利润值为X万元，其分布列是
X 50 －20
P 0.4 0.6
E（X）＝50×0.4－20×0.6＝8万元；
若采取方案二：设该公司获得的利润值为Y万元，有以下情况，
投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为好，Y＝49.5，其发生的概率为：
P（B1A）＝0.4×0.8＝0.32，
投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为不好，Y＝－1.5，其发生的概率为：
P（B1）＝0.4×0.2＝0.08，
投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为好，Y＝－20.5，其发生的概率为：
P（B2A）＝0.6×0.3＝0.18，
投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为不好，Y＝－1.5，其发生的概率为：
P（B2）＝0.6×0.7＝0.42，
因此，随机变量Y的分布列为：
Y －20.5 －1.5 49.5
P 0.18 0.5 0.32
因此，E（Y）＝－20.5×0.18－1.5×0.5＋49.5×0.32＝－3.69－0.75＋15.84＝11.4万元，
因为E（X）＜E（Y），所以甲公司应该选择方案二.
跟踪训练
解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的所有可能取值为300，－150，分布列为
X1 300 －150
P
∴E（X1）＝300×＋（－150）×＝200，D（X1）＝（300－200）2×＋（－150－200）2×＝35 000；
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的所有可能取值为500，－300，0，分布列为
X2 500 －300 0
P
∴E（X2）＝500×＋（－300）×＋0×＝200，
D（X2）＝（500－200）2×＋（－300－200）2×＋（0－200）2×＝140 000.
∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2），
这说明虽然项目一、项目二获利的期望相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
5 / 5(共80张PPT)
第五节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
高中总复习·数学
课标要求
　　通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分
布列及其数字特征（均值、方差）.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 离散型随机变量及其分布列
（1）离散型随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有
唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或
可以 的随机变量称为离散型随机变量；
一一列举　
（2）离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值
为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，
2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
（3）离散型随机变量分布列的性质
①pi≥ ，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝ .
0　
1　
2. 离散型随机变量的数字特征
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
（1）均值（数学期望）：称E（X）＝ ＝
xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了随机变量取值的
；
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　
平均水
平　
（2）方差：称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…
＋（xn－E（X））2pn＝ （xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，并
称 为随机变量X的 ，记为σ（X），它们都可以度量
随机变量取值与其均值的 .
提醒 （1）D（X）越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反
之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近；（2）方差是一个常
数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
标准差　
偏离程度　
1. 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
（1）E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数；
（2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）；
（3）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；
（4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2；
（5）若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.
2. 若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量是指某一区间内的任意值. （　×　）
（2）若随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）＝1－P（X＝0）.
（　√　）
（3）方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小. （　√　）
（4）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4. （　√　）
×
√
√
√
2. 袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不
放回，直到取出的球是白球为止，记所需要的取球次数为随机变量X，则
X的可能取值为（　　）
A. 1，2，3，…，6 B. 1，2，3，…，7
C. 0，1，2，…，5 D. 1，2，…，5
解析： 　因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到
了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以
取球次数可以是1，2，3，…，7.
√
3. （人A选三P66练习1题改编）已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为（　　）
A. B. 4
C. －1 D. 1
解析： E（X）＝－1× ＋0× ＋1× ＝－ ，E（Y）＝E（2X＋
3）＝2E（X）＋3＝－ ＋3＝ .
√
4. （人A选三P59例1改编）设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机
变量X表示一次试验的成功次数，则P（X＝0）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　设P（X＝1）＝p，则P（X＝0）＝1－p，依题意得p＝2（1
－p），解得p＝ ，故P（X＝0）＝1－p＝ .
√
5. 随机变量X的可能取值为0，1，2，若P（X＝0）＝ ，E（X）＝1，
则D（X）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　设P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝q，由题意得
解得p＝ ，q＝ ，∴D（X）＝ ×（0－1）2＋
×（1－1）2＋ ×（2－1）2＝ .
√
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
分布列的性质（基础自学过关）
1. 若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a c
则P（｜X｜＝1）＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由随机变量X的分布列得P（｜X｜＝1）＝P（X＝－1）＋P
（X＝1）＝a＋c＝1－ ＝ .
2. 离散型随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝ （n＝1，
2，3，4），其中a是常数，则P（ ＜X＜ ）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　因为P（X＝n）＝ （n＝1，2，3，4），所以 ＋
＋ ＋ ＝1，即a＝ ，所以P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝
2）＝ × ＋ × ＝ .
√
3. 〔多选〕已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是（　　）
A. a＝0.1 B. P（X≤2）＝0.7
C. P（X≥3）＝0.4 D. P（X≤1）＝0.3
√
√
√
解析： 　因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；
由分布列知P（X≤2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝0.1
＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝
0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝0.1
＋0.2＝0.3，故D正确.
4. 设随机变量X满足P（X＝i）＝ （i＝1，2，3），则k＝ 　 　；P
（X≥2）＝ .
解析：由已知得随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
∴ ＋ ＋ ＝1，∴k＝ .
∴随机变量X的分布列为


X 1 2 3
P
∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝ ＋ ＝ .
练后悟通
离散型随机变量分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各
个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
离散型随机变量的均值与方差（定向精析突破）
考向1　均值与方差的性质
〔多选〕设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有（　　）
A. q＝0.1
B. E（X）＝2，D（X）＝1.4
C. E（X）＝2，D（X）＝1.8
D. E（Y）＝5，D（Y）＝7.2
√
√
√
解析： 　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；
由已知可得E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D
（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）
2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以
E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正确.
解题技法
与均值、方差性质有关问题的解题思路
　　若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思
路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋
b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分
布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相
等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）.
考向2　离散型随机变量的均值与方差的求解
（2025·滨州一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高
增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况.其中长效
肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组.观察一段
时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应
的株高增量数据整理如下表：
株高增量（单位：厘
米） （4，7] （7，10] （10，13] （13，16]
第1组鸡冠花样本株数 4 10 4 2
第2组鸡冠花样本株数 3 8 8 1
第3组鸡冠花样本株数 7 5 7 1
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
（1）从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花
的株高增量在（7，10]内的概率；
解： 记“从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，至少有1株
鸡冠花的株高增量在（7，10]内”为事件A，所以P（A）＝
＝ .
（2）分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡
冠花中恰有X株的株高增量在（7，10]内，求X的分布列和数学期望E
（X）；
解： 记“从第i（i＝1，2，3）组的鸡冠花中各随机抽取1株，这株
鸡冠花的株高增量在（7，10]内”为事件Bi，
由题意可知：P（B1）＝ ，P（B2）＝ ，P（B3）＝ ，
且X的可能取值为0，1，2，3，则有：
P（X＝0）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ ；
P（X＝1）＝ ×（1－ ）（1－ ）＋（1－ ）× ×（1－ ）＋（1－
）（1－ ）× ＝ ；
P（X＝2）＝ × ×（1－ ）＋ ×（1－ ）× ＋（1－ ）× × ＝
；
P（X＝3）＝ × × ＝ ；
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的期望E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
（3）用“ξk＝0”表示第k组鸡冠花的株高增量在（4，10]内，“ξk＝1”
表示第k组鸡冠花的株高增量在（10，16]内，k＝1，2，3.比较方差D
（ξ1），D（ξ2），D（ξ3）的大小，并说明理由.
解： 由题意可知：ξ1，ξ2，ξ3均服从两点分布，则有：
ξ1的分布列为：
ξ1 0 1
P
可得ξ1的方差D（ξ1）＝ × ＝ ；
ξ2 0 1
P
可得ξ2的方差D（ξ2）＝ × ＝ ；
ξ3的分布列为：
ξ3 0 1
P
ξ2的分布列为：
可得ξ3的方差D（ξ3）＝ × ＝ ；因为 ＞ ＞ ，
所以D（ξ2）＞D（ξ3）＞D（ξ1）.
解题技法
求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列；
（4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）.
1. 已知ξ的分布列如表所示：
ξ 0 1 2
P ？ ！ ？
其中，“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两
个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D
（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤ ，正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0，1]，2a＋b＝1.①
E（ξ）＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；②D（ξ）＝
（0－1）2×a＋（1－1）2×b＋（2－1）2×a＝2a≤1，因此②不正确；
③P（ξ＝0）＝a＝ ≤ ，因此③正确.
2. （2024·新乡模拟）甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相
同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球.
（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
解： 记这2个球颜色相同为事件A，
则P（A）＝ × ＋ × ＝ .
（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出
2个球，记从乙袋中取出的红球个数为X，求X的分布列与期望.
解： 依题意X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，
P（X＝1）＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，
P（X＝2）＝ × ＋ × ＝ ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
均值与方差在决策中的应用（师生共研过关）
（2025·南昌一模）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假
定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势
好，投资有25%的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益
率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案一：执行
投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请
费用为5 000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资
计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.
根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形
势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，
咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，
投资期间经济形势好的概率是40%，经济形势不好的概率是60%.
（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；
解： 记投资期间经济形势好为事件B1，投资期间经济形势不好为事
件B2，投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件A，
则P（B1）＝0.4，P（B2）＝0.6，
因此P（A）＝P（B1A＋B2A）＝0.4×0.8＋0.6×0.3＝0.5.
（2）根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明
理由.
解： 若采取方案一，设该公司获得的利润值为X万元，其分布列是
X 50 －20
P 0.4 0.6
E（X）＝50×0.4－20×0.6＝8万元；
若采取方案二：设该公司获得的利润值为Y万元，有以下情况，
投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为好，Y＝49.5，其发生
的概率为：
P（B1A）＝0.4×0.8＝0.32，
投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为不好，Y＝－1.5，其发
生的概率为：
P（B1 ）＝0.4×0.2＝0.08，
投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为好，Y＝－20.5，其
发生的概率为：
P（B2A）＝0.6×0.3＝0.18，
投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为不好，Y＝－1.5，其
发生的概率为：
P（B2 ）＝0.6×0.7＝0.42，
因此，随机变量Y的分布列为：
Y －20.5 －1.5 49.5
P 0.18 0.5 0.32
因此，E（Y）＝－20.5×0.18－1.5×0.5＋49.5×0.32＝－3.69－0.75
＋15.84＝11.4万元，
因为E（X）＜E（Y），
所以甲公司应该选择方案二.
解题技法
利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键
（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概
率模型的差异性，不能混淆；
（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特
征；
（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方
案，做出决策.
某投资公司在2024年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两
个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利
30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，
可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和
.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说
明理由.
解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的所有可能取值为
300，－150，分布列为
X1 300 －150
P
∴E（X1）＝300× ＋（－150）× ＝200，D（X1）＝（300－200）
2× ＋（－150－200）2× ＝35 000；
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的所有可能取值为500，－
300，0，分布列为
X2 500 －300 0
P
∴E（X2）＝500× ＋（－300）× ＋0× ＝200，
D（X2）＝（500－200）2× ＋（－300－200）2× ＋（0－200）2× ＝
140 000.
∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2），
这说明虽然项目一、项目二获利的期望相等，但项目一更稳妥.综上所
述，建议该投资公司选择项目一投资.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1
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1. 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用
ζ表示甲的得分，则{ζ＝3}表示（　　）
A. 甲赢三局
B. 甲赢一局输两局
C. 甲、乙平局二次
D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
解析： 　因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故{ζ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
√
2. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且Y＝aX＋3，若E（Y）＝－2，则a＝（　　）
A. －3 B. －2
C. D. 3
解析： 　E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝ .∵Y＝aX＋3，∴E（Y）
＝aE（X）＋3＝ a＋3＝－2，解得a＝－3.
√
3. 若随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为（　　）
A. B.
解析： 　由分布列性质可知a＋b＝ ，而a2＋b2≥ ＝ ，当且
仅当a＝b＝ 时取等号.故选C.
√
C. D.
4. 小智参加三分投篮比赛，投中1次得1分，投不中扣1分，已知小智投篮
命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D（｜ξ｜）为
（　　）
A. B.
C. D. 3
√
解析： 　由题意可得ξ的可能取值为－3，3，－1，1，小智投篮命中率为
，所以P（ξ＝3）＝P（ξ＝－3）＝ ，P（ξ＝1）＝P（ξ＝－1）＝ ，
故随机变量｜ξ｜的分布列为
｜ξ｜ 1 3
P
故E（｜ξ｜）＝1× ＋3× ＝ ，D（｜ξ｜）＝ × ＋
× ＝ .故选B.
5. 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P
若P（X2＜x）＝ ，则实数x的取值范围是（　　）
A. 4≤x≤9 B. 4＜x≤9
C. 4≤x＜9 D. 4＜x＜9
√
解析： 　X2的可能取值为0，1，4，9，P（X2＝0）＝P（X＝0）＝ ，
P（X2＝1）＝P（X＝－1）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝ ，P（X2＝4）＝
P（X＝－2）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝ ，P（X2＝9）＝P（X＝3）＝
.因为P（X2＜x）＝ ＝ ＋ ＋ ，所以实数x的取值范围是4＜x≤9.
故选B.
6. 〔多选〕已知随机变量X，Y的分布列如下，则（　　）
X 1 2
P 0.6 0.4
Y 1 －2
P 0.5 0.5
A. D（Y）＝9D（X）
B. E（1－X）＝0.5
C. D（1－Y）＝2.25
D. E（X＋Y）＝0.9
√
√
解析： 　E（X）＝1×0.6＋2×0.4＝1.4，E（Y）＝1×0.5－
2×0.5＝－0.5，D（X）＝（1－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.4＝
0.24，D（Y）＝（1＋0.5）2×0.5＋（－2＋0.5）2×0.5＝2.25，所
以D（Y）≠9D（X），E（1－X）＝－E（X）＋1＝－0.4，D（1－
Y）＝（－1）2D（Y）＝2.25，E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0.9，
故选C、D.
7. 若离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝p，4－5P（X＝
0）＝p，则p＝ .
解析：因为X服从两点分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝1，由4－
5P（X＝0）＝p，得4－5[1－P（X＝1）]＝p，所以p＝ .

8. 一射手打靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0.6，
现有4发子弹，则停止射击后剩余子弹数目的均值为 .
解析：X＝k表示停止射击后剩余子弹的数目，P（X＝3）＝0.6，P（X
＝2）＝0.4×0.6，P（X＝1）＝0.42×0.6，P（X＝0）＝0.43×（0.6
＋0.4），∴E（X）＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＋0×0.43×
（0.6＋0.4）＝2.376.
2.376
9. （2025·河北部分重点高中期末）为欢度春节，某商场组织了“文明迎
新年”知识竞赛活动，每名参赛者需要回答A、B、C三道题目，通过答
题获得积分，进而获得相应的礼品.每题答错得0分，答对A题目得1分，答
对B、C题目分别得2分，每名参赛者的最后得分为每题得分的累计得分，
已知一名参赛者答对A题目的概率为 ，答对B、C题目的概率均为 ，并
且每题答对与否相互独立.
（1）求该名参赛者恰好答对两道题目的概率；
解： 由题意可得：该名参赛者恰好答对两道题目的概率P＝ × ×
（1－ ）＋ ×（1－ ）× ＋（1－ ）× × ＝ .
（2）求该名参赛者最终累计得分的分布列和数学期望.
解： 设该名参赛者最终累计得分为X，可知X＝0，1，2，3，4，
5，则
P（X＝0）＝（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ ；
P（X＝1）＝ ×（1－ ）×（1－ ）＝ ；
P（X＝2）＝（1－ ）× ×（1－ ）＋（1－ ）×（1－ ）× ＝
；
P（X＝3）＝ × ×（1－ ）＋ ×（1－ ）× ＝ ；
P（X＝4）＝（1－ ）× × ＝ ；
P（X＝5）＝ × × ＝ ，
可得该名参赛者最终累计得分的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
所以数学期望E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5×
＝2.
10. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随
机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则E（ξ）＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ＝1）＝ ＝ ＝
，P（ξ＝2）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ ，P（ξ＝4）＝
＝ ，所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .故选D.
11. 〔多选〕已知 ＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确
的有（　　）
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A. P（X＝2）的值最大
B. P（X＝0）＜P（X＝1）
C. E（X）随p的增大而减小
D. E（X）随p的增大而增大
√
√
解析： 　当p＝ 时，P（X＝2）＝ ，P（X＝1）＝1－ ＝ ＞ ，A
错误；因为 ＜p＜1，所以p－p2＝p（1－p）＜1－p，即P（X＝0）＜
P（X＝1），B正确；E（X）＝1－p＋2p2＝2（p－ ）2＋ ，因为 ＜
p＜1，所以E（X）随p的增大而增大，C错误，D正确.
12. 〔多选〕将2n（n∈N*）个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已
知每个球放入这2个盒子中的可能性相同，且每个盒子容纳的球数不限.记
2个盒子中最少的球数为X（0≤X≤n，X∈N*），则下列说法中正确的
是（　　）
A. 当n＝1时，方差D（X）＝
B. 当n＝2时，P（X＝1）＝
C. n≥3， k∈[0，n）（k，n∈N*），使得P（X＝k）＞P（X＝k
＋1）成立
D. 当n确定时，期望E（X）＝
√
√
√
解析： 　当n＝1时，P（X＝0）＝ ，P（X＝1）＝ ，E（X）＝
，E（X2）＝ ，则D（X）＝E（X2）－[E（X）]2＝ ，A正确；当n
＝2时，P（X＝1）＝2 × ＝ ，B错误；由已知得，P（X＝k）＝
2 × ，P（X＝k＋1）＝2 × ，k≤n－2，P（X＝n）＝
，又 ＝ ＞1，所以P（X＝n－1）＞P（X＝n），C正确；
又E（X）＝ ＋ ＝ － ＝ （ 2k －n ）
＝ （ 4n －n ）＝ （ 4 － ）＝ （
4 － ）＝ （4× － ）＝ ，D正确.故选A、
C、D.
13. （创新设问方式）已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同
的红球、白球若干个，A盒中有m个红球与10－m个白球，B盒中有10－
m个红球与m个白球（0＜m＜10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示
所取的2个球中红球的个数，则当D（ξ）取到最大值时，m＝ .
解析：ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝ ＝ ，P
（ξ＝1）＝ ＝ ，P（ξ＝2）＝
＝ ，所以ξ的分布列为
5
ξ 0 1 2
P
所以E（ξ）＝1× ＋2× ＝1，D（ξ）＝E（ξ2）－
[E（ξ）]2＝12× ＋22× －1＝－ （m－5）2＋ .因
此当m＝5时，D（ξ）取最大值 .
14. （2025·沈阳质量监测）某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题
中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如
下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案
是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选
对1个正确选项得2分.甲、乙、丙三位同学各自作答一道此类题目，设该
题正确答案是2个选项的概率为p.
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若p＝ ，求他既选
出正确选项也选出了错误选项的概率；
解： 记事件A为该题的正确答案是2个选项，则 为该题的正确答案
是3个选项，
即P（A）＝p，P（ ）＝1－p，由p＝ 得，P（A）＝ ，P（ ）＝
，
设事件B为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，
则P（B｜A）＝ ＝ ，P（B｜ ）＝ ＝ ，
则P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜ ）P（ ）＝ × ＋ ×
＝ .
（2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可
能）选出2个选项作答，若p＝ ，试比较乙、丙两同学得分的数学期望的
大小.
解： 由p＝ 得，P（A）＝ ，P（ ）＝ ，
设X表示乙同学答题得分，则X的可能取值为0，2，3，
所以P（X＝0）＝ ×P（A）＋ ×P（ ）＝ × ＋ × ＝ ，
P（X＝2）＝ ×P（ ）＝ × ＝ ，
P（X＝3）＝ ×P（A）＝ × ＝ ，
所以E（X）＝0× ＋2× ＋3× ＝ ，
设Y表示丙同学答题得分，则Y的可能取值为0，4，6，
所以P（Y＝0）＝ ×P（A）＋ ×P（ ）＝ × ＋ × ＝
，
P（Y＝4）＝ ×P（ ）＝ × ＝ ，
P（Y＝6）＝ ×P（A）＝ × ＝ ，
所以E（Y）＝0× ＋4× ＋6× ＝ ，
即E（X）＜E（Y），
故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望.
15. （创新知识交汇）记复数的一个构造：从数集{0，1， }中随机取出
2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n次这样的构造，可得到n个复
数，将它们的乘积记为zn.已知复数具有运算性质：｜（a＋bi）·（c＋
di）｜＝｜（a＋bi）｜·｜（c＋di）｜，其中a，b，c，d∈R.
（1）当n＝2时，记｜z2｜的取值为X，求X的分布列；
解： 由题意可知，可构成的复数为{1，i， ， i，1＋ i，
＋i}，共6个复数，
模为｜1｜＝｜i｜＝1，｜ ｜＝｜ i｜＝ ，｜1＋ i｜＝｜ ＋
i｜＝2.
X的可能取值为1， ，2，3，2 ，4，
P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝ ）＝ ＝ ，P（X＝2）＝
＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝2 ）＝ ＝ ，P（X＝4）
＝ ＝ ，
X 1 2 3 2 4
P
所以X的分布列为
（2）当n＝3时，求满足｜z3｜≤2的概率；
解： z3可能的结果共有 · · ＝216种，
满足｜z3｜≤2的情况有：
①3个复数的模均为1，共有 · · ＝8种；
②3个复数中，2个模均为1，1个模为 或2，共有 · · · ＝48种，
所以P（｜z3｜≤2）＝ ＝ .
（3）求｜zn｜＜5的概率Pn.
解： 当n＝1或2时，显然都满足，此时Pn＝1；
当n≥3时，满足｜zn｜＜5共有三种情况：
①n个复数的模均为1，则共有（ ）n＝2n；
②n－1个复数的模为1，剩余1个复数的模为 或2，则共有 ·（ ）
n－1· ＝n·2n＋1；
③n－2个复数的模为1，剩余2个复数的模为 或2，则共有 ·（ ）
n－2· · ＝n（n－1）·2n＋1，
故P（｜zn｜＜5）＝ ＝ ＝ ，
当n＝1，2时均成立.所以Pn＝ .
THANKS
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