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　两类概率模型的辨析
　　对于2023年全国甲卷理19题的第一小问，学生们给出了三种不同解法，三种解法的期望一样，但是概率分布列不同，孰对孰错？如何才能正确区分超几何分布和二项分布呢？
一、真题呈现
（2023·全国甲卷理19题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；
（2）略
本题主要考察了离散型随机变量的分布列以及独立性检验问题.第二问没有分歧，下面主要研究第一小问的解法.
二、解法赏析
解法1：两只小白鼠分在两个组，每只小白鼠都各有两种分配方案，总的分配方案为4种，两只小白鼠全部分配到试验组有1种情况，有一只分配到对照组有2种情况，全部分配到对照组的有1种情况，X的可能取值为0，1，2，
由古典概型的概率计算公式可得：P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝.
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＝1.
解法2：每只小白鼠都可能被分到对照组和试验组，所以每只小白鼠被分到对照组的概率均为，依题意，X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝×（1－）×（1－）＝，
P（X＝1）＝××（1－）＝，
P（X＝2）＝××＝.
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＝1.
解法3：依题意，X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故E（X）＝0×＋1×＋2×＝1.
三、真假辨析
　　我们先看教材.在人A选三的7.4.2节，有这样一个问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.这个问题旨在让学生通过具体情境感知，如果采用放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X服从二项分布，如果采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但是每次抽取不是同一个实验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，X服从超几何分布.也就是说，有无放回是区别二项分布和超几何分布的重要特征.
　　结合本题，小白鼠抽取，显然是不再放回的，也就是属于不放回抽取，从而本题应该是超几何分布问题.这样解法3就是正确的，解法1错误在把特定的两只小白鼠等同于其他小白鼠，按照每只小白鼠被抽到的可能性相等，事实上，这两只小白鼠被抽到的可能性是不同于其他小白鼠的，相当于40件产品中，有2件次品，38件正品，次品和正品被抽到的可能性不等.解法2错误在把抽两只小白鼠当作2次独立重复实验，事实上每次抽取并不独立，会影响第二次抽取.
反思感悟
　　一般地，我们辨别是超几何分布还是二项分布，有两点，其一是看总体数大小，其二是有无放回.当总体数目较大或者没有给出时，或者是无放回抽取时，属于超几何分布，反之，为二项分布.
　一个车间有3台车床，它们各自独立工作，设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.
（1）3台车床型号相同，它们发生故障的概率是20%；
（2）3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型号车床发生故障的概率是10%，B型号车床发生故障的概率是20%.
在这里并没有明确的说明是“有放回”还是“无放回”的抽取，但是，（1）中车床型号相同，且发生故障的概率相同，可以理解为在相同试验条件下进行3次独立试验，满足n重伯努利试验的条件，所以X服从的是二项分布，而在（2）中车床分不同的型号，有差异，每种型号车床发生故障的概率有差异，那么发生故障的概率跟车床有关，所以服从超几何分布.
高考还可以这样考
1.某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记－1分，得分在5分以上（含5分）则获奖.
（1）求在1次游戏中，获奖的概率；
（2）求在1次游戏中，得分X的分布列及均值.
2.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有两个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.
（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，求X的分布列及数学期望E（X）；
（2）甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率.
考教衔接　两类概率模型的辨析
高考还可以这样考
1.解：（1）设“在1次游戏中摸出i个红球”为事件Ai（i＝0，1，2，3，4），
设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A3∪A4，且A3，A4互斥，
P（A3）＝＝＝，P（A4）＝＝＝，
所以在1次游戏中，获奖的概率P（B）＝P（A3∪A4）＝P（A3）＋P（A4）＝＋＝.
（2）依题意，X所有可能取值为－4，－1，2，5，8，由（1）知，
P（X＝－4）＝P（A0）＝＝，
P（X＝－1）＝P（A1）＝＝＝，
P（X＝2）＝P（A2）＝＝＝，
P（X＝5）＝P（A3）＝，P（X＝8）＝P（A4）＝，
所以X的分布列为：
X －4 －1 2 5 8
P
均值E（X）＝（－4）×＋（－1）×＋2×＋5×＋8×＝.
2.解：（1）由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为＝，上三级台阶的概率为＝，
且X的可能取值为6，7，8，9，
P（X＝6）＝（）3＝，
P（X＝7）＝××（）2＝，
P（X＝8）＝×（）2×＝，
P（X＝9）＝（）3＝，
所以X的分布列为：
X 6 7 8 9
P
X的数学期望E（X）＝6×＋7×＋8×＋9×＝7.
（2）因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，
结合题意可知：若学生位于第10级台阶，则投掷3次后，学生位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶，
可知每名学生不能获得奖品的概率为P1＝××（）2×＝，
所以甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为P＝× ×（1－）＝.
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考教衔接　两类概率模型的辨析
高中总复习·数学
　　对于2023年全国甲卷理19题的第一小问，学生们给出了三种不同解
法，三种解法的期望一样，但是概率分布列不同，孰对孰错？如何才能正
确区分超几何分布和二项分布呢？
一、真题呈现
（2023·全国甲卷理19题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如
下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对
照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正
常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和
数学期望；
（2）略
本题主要考察了离散型随机变量的分布列以及独立性检验问题.第二问没
有分歧，下面主要研究第一小问的解法.
二、解法赏析
解法1：两只小白鼠分在两个组，每只小白鼠都各有两种分配方案，总的
分配方案为4种，两只小白鼠全部分配到试验组有1种情况，有一只分配到
对照组有2种情况，全部分配到对照组的有1种情况，X的可能取值为0，
1，2，
由古典概型的概率计算公式可得：
P（X＝0）＝ ，P（X＝1）＝ ，P（X＝2）＝ .
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
解法2：每只小白鼠都可能被分到对照组和试验组，所以每只小白鼠被分
到对照组的概率均为 ，依题意，X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝ ×（1－ ）×（1－ ）＝ ，
P（X＝1）＝ × ×（1－ ）＝ ，
P（X＝2）＝ × × ＝ .
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
解法3：依题意，X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝
＝ ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
三、真假辨析
　　我们先看教材.在人A选三的7.4.2节，有这样一个问题：已知100件产
品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件，设抽取的
4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.这个问题旨在让学生通过
具体情境感知，如果采用放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X服从二
项分布，如果采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但是
每次抽取不是同一个实验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯
努利试验的特征，X服从超几何分布.也就是说，有无放回是区别二项分布
和超几何分布的重要特征.
　　结合本题，小白鼠抽取，显然是不再放回的，也就是属于不放回抽
取，从而本题应该是超几何分布问题.这样解法3就是正确的，解法1错误
在把特定的两只小白鼠等同于其他小白鼠，按照每只小白鼠被抽到的可能
性相等，事实上，这两只小白鼠被抽到的可能性是不同于其他小白鼠的，
相当于40件产品中，有2件次品，38件正品，次品和正品被抽到的可能性
不等.解法2错误在把抽两只小白鼠当作2次独立重复实验，事实上每次抽
取并不独立，会影响第二次抽取.
反思感悟
　　一般地，我们辨别是超几何分布还是二项分布，有两点，其一是看总
体数大小，其二是有无放回.当总体数目较大或者没有给出时，或者是无
放回抽取时，属于超几何分布，反之，为二项分布.
　一个车间有3台车床，它们各自独立工作，设同时发生故障的车床数为
X，在下列两种情形下分别求X的分布列.
（1）3台车床型号相同，它们发生故障的概率是20%；
（2）3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型号车床发生故障的概率是
10%，B型号车床发生故障的概率是20%.
在这里并没有明确的说明是“有放回”还是“无放回”的抽取，但
是，（1）中车床型号相同，且发生故障的概率相同，可以理解为在相
同试验条件下进行3次独立试验，满足n重伯努利试验的条件，所以X服
从的是二项分布，而在（2）中车床分不同的型号，有差异，每种型号
车床发生故障的概率有差异，那么发生故障的概率跟车床有关，所以
服从超几何分布.
1. 某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规
则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑
球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个
球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑
球记－1分，得分在5分以上（含5分）则获奖.
（1）求在1次游戏中，获奖的概率；
高考还可以这样考
解：设“在1次游戏中摸出i个红球”为事件Ai（i＝0，1，2，3，4），
设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A3∪A4，且A3，A4互斥，
P（A3）＝ ＝ ＝ ，P（A4）＝ ＝ ＝ ，
所以在1次游戏中，获奖的概率为P（B）＝P（A3∪A4）＝P（A3）＋P
（A4）＝ ＋ ＝ .
（2）求在1次游戏中，得分X的分布列及均值.
解： 依题意，X所有可能取值为－4，－1，2，5，8，由（1）知，
P（X＝－4）＝P（A0）＝ ＝ ，
P（X＝－1）＝P（A1）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝2）＝P（A2）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝5）＝P（A3）＝ ，
P（X＝8）＝P（A4）＝ ，
X －4 －1 2 5 8
P
均值E（X）＝（－4）× ＋（－1）× ＋2× ＋5× ＋8× ＝ .
所以X的分布列为：
2. 某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有两个“掷骰子赢奖
品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一
次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步
骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.规定：从
平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台
阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.
（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，求X的分布列
及数学期望E（X）；
解： 由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为 ＝ ，上三级台
阶的概率为 ＝ ，
且X的可能取值为6，7，8，9，
P（X＝6）＝（ ）3＝ ，
P（X＝7）＝ × ×（ ）2＝ ，
P（X＝8）＝ ×（ ）2× ＝ ，
P（X＝9）＝（ ）3＝ ，
X 6 7 8 9
P
X的数学期望E（X）＝6× ＋7× ＋8× ＋9× ＝7.
所以X的分布列为：
（2）甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率.
解： 因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，
结合题意可知：若学生位于第10级台阶，则投掷3次后，学生位于第7级台
阶，投掷第4次上三级台阶，
可知每名学生不能获得奖品的概率为P1＝ × ×（ ）2× ＝ ，
所以甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为P＝ × ×
（1－ ）＝ .
THANKS
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