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　比赛背景下的概率分布问题
一、常见的比赛规则
1.2n－1局n胜制：这种规则的特点为一旦某方获得n次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到n胜.
2.连胜制：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场连胜且之前没有达到m场连胜.
3.比分差距制：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
二、解答此类题目的技巧
1.善于引入变量表示事件：可用“字母＋变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如Ai：表示“第i局比赛胜利”，则表示“第i局比赛失败”.
2.善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P（A）＝1－P（）解出所求事件的概率.在处理离散型随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件的概率.
2n－1局n胜制
为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响.
（1）求甲班在项目A中获胜的概率；
（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望.
连胜制
甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望.
比分差距制
2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为.如果在一局比赛中，由乙队员先发球.
（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.
1.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　.
2.某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人连胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立.则比赛进行四局结束的概率为　　　　.
3.（2023·新高考Ⅰ卷21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（Xi）＝qi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.
微突破　比赛背景下的概率分布问题
类型1
【例1】 解：（1）记事件A＝“甲班在项目A中获胜”，则P（A）＝××＋×（）2××＋×（）2×（）2×＝，所以甲班在项目A中获胜的概率为.
（2）记事件B＝“甲班在项目B中获胜”，则P（B）＝（）3＋×（）4＋×（）5＝.
X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝P（）＝P（）P（）＝×＝，
P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E（X）＝0×＋1×＋2×＝.所以甲班获胜的项目个数的数学期望为.
类型2
【例2】 解：（1）设Ai＝“甲在第i局获胜”，事件A＝“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，所以P（A）＝P（A1A2）＋P（A2A3）＋P（A1A3A4）＝×＋××＋×××＝.
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（）＝（）2＋（）2＝，
P（X＝3）＝P（A2A3）＋P（A1）＝×（）2＋×（）2＝＝，
P（X＝4）＝P（A1A3A4）＋P（A2）＝××（）2＋××（）2＝，
P（X＝5）＝P（A1A3）＋P（A2A4）＝×××＋×××＝，
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
所以E（X）＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
类型3
【例3】 解：（1）甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝×（）2×（）2＋（）2××＝.
（2）设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（）2×＝，
P（X＝1）＝×（）2×＋（）2×＝，
P（X＝2）＝×（）2×＋（）2×＝，
P（X＝3）＝（）2×＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
跟踪训练
1.0.18　解析：甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18.
2.　解析：比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙连胜；第一局乙获胜，后三局丙连胜，第一局甲获胜，后三局丙连胜的概率P1＝×××＝，第一局乙获胜，后三局丙连胜的概率P2＝×××＝，故比赛进行四局结束的概率P＝P1＋P2＝＋＝.
3.解：（1）设“第2次投篮的人是乙”为事件A，
则P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.
（2）设“第i次投篮的人是甲”的概率为Pi，
则第i－1次投篮的人是甲的概率为Pi－1，第i－1次投篮的人是乙的概率为1－Pi－1，
则Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）×0.2（i≥2），
即Pi＝＋Pi－1（i≥2），
则Pi－＝（Pi－1－），
又P1＝，∴P1－＝－＝≠0，
∴数列Pi－是以为首项，为公比的等比数列.
∴Pi－＝（）i－1，
即Pi＝（）i－1＋，
∴第i次投篮的人是甲的概率为（）i－1＋.
（3）设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，∴P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，
∴E（Xi）＝pi.
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由（2）知，pi＝＋×（）i－1，
∴p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＋×［1＋＋（）2＋…＋（）n－1］＝＋×＝＋×［1－（）n］.
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微突破　比赛背景下的概率分布问题
高中总复习·数学
一、常见的比赛规则
1.2n－1局n胜制：这种规则的特点为一旦某方获得n次胜利即终止比赛，
所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到n胜.
2. 连胜制：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后
m场连胜且之前没有达到m场连胜.
3. 比分差距制：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局
数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
二、解答此类题目的技巧
1. 善于引入变量表示事件：可用“字母＋变量角标”的形式表示事件“第
几局胜利”.例如Ai：表示“第i局比赛胜利”，则 表示“第i局比赛失
败”.
2. 善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事
件的概率，再用P（A）＝1－P（ ）解出所求事件的概率.在处理离散
型随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少
的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件的概率.
2n－1局n胜制
为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，
学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班
每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个比赛项目均
采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中
甲班每一局获胜的概率为 ，在项目B中甲班每一局获胜的概率为 ，且每
一局之间没有影响.
（1）求甲班在项目A中获胜的概率；
解： 记事件A＝“甲班在项目A中获胜”，则P（A）＝ × × ＋
×（ ）2× × ＋ ×（ ）2×（ ）2× ＝ ，所以甲班在项目A
中获胜的概率为 .
（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望.
解： 记事件B＝“甲班在项目B中获胜”，则P（B）＝（ ）3＋
×（ ）4＋ ×（ ）5＝ .
X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝P（ ）＝P（ ）P（ ）＝ × ＝ ，
P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝ × ＝ ，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝ .
X 0 1 2
P
故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .所以甲班获胜的项目个数的数
学期望为 .
所以X的分布列为
连胜制
甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛
完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局比赛甲获胜
的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
解： 设Ai＝“甲在第i局获胜”，事件A＝“甲在4局以内（含4局）
赢得比赛”，所以P（A）＝P（A1A2）＋P（ A2A3）＋P（A1
A3A4）＝ × ＋ × × ＋ × × × ＝ .
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望.
解： X的可能取值为2，3，4，5，
则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（ ）＝（ ）2＋（ ）2＝ ，P（X
＝3）＝P（ A2A3）＋P（A1 ）＝ ×（ ）2＋ ×（ ）2＝ ＝
，
P（X＝4）＝P（A1 A3A4）＋P（ A2 ）＝ × ×（ ）2＋
× ×（ ）2＝ ，
P（X＝5）＝P（A1 A3 ）＋P（ A2 A4）＝ × × × ＋ ×
× × ＝ ，
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
所以E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＝ .
比分差距制
2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结
束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2
次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得
11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方
为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的
概率为 ，乙在一次发球中，得1分的概率为 .如果在一局比赛中，由乙队
员先发球.
（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
解： 甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在
最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝ ×（ ）2×（ ）
2＋（ ）2× × ＝ .
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.
解： 设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（ ）2× ＝ ，
P（X＝1）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（X＝3）＝（ ）2× ＝ ，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
1. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，
该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为
“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为
0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 .
0.18
解析：甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4
场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛
中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝
0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝
0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场
全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获
胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18.
2. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规
则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；
第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局
比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人连胜三局，则
此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为 ，且每
局比赛相互独立.则比赛进行四局结束的概率为 .
　
解析：比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙连
胜；第一局乙获胜，后三局丙连胜，第一局甲获胜，后三局丙连胜的概率
P1＝ × × × ＝ ，第一局乙获胜，后三局丙连胜的概率P2＝ ×
× × ＝ ，故比赛进行四局结束的概率P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ .
3. （2023·新高考Ⅰ卷21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则
如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮
情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.
由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
解： 设“第2次投篮的人是乙”为事件A，
则P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
解： 设“第i次投篮的人是甲”的概率为Pi，
则第i－1次投篮的人是甲的概率为Pi－1，第i－1次投篮的人是乙的概率为
1－Pi－1，
则Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）×0.2（i≥2），
即Pi＝ ＋ Pi－1（i≥2），则Pi－ ＝ （Pi－1－ ），
又P1＝ ，∴P1－ ＝ － ＝ ≠0，∴数列{Pi－ }是以 为首项， 为公
比的等比数列.
∴Pi－ ＝ （ ）i－1，即Pi＝ （ ）i－1＋ ，
∴第i次投篮的人是甲的概率为 （ ）i－1＋ .
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝
0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（ Xi）＝ qi.记前n次（即从第1次
到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.
解： 设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当
Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是
甲，∴P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，∴E（Xi）＝pi.
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由（2）知，pi＝ ＋ ×（ ）i－1，
∴p1＋p2＋p3＋…＋pn＝ ＋ ×［1＋ ＋（ ）2＋…＋（ ）n－1］＝
＋ × ＝ ＋ ×［1－（ ）n］.
THANKS
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