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18.(17分)
甲、乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，
若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题
的概率为}，给出科学题的概华为子，已知甲答对文学题与科学题的概率分别为2，，乙答
13
对文学题与科学题的概率均为)，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的
人选，第1次答题的人是甲，乙的概率各为2
(1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率：
(2)求第2次答题的人是乙的概率：
(3)求第：次答题的人是甲的概率
19.(17分)
已知数列{a,}满足a+t一a+1a。一a.=6×7(a+1十1)一a,-1,且a1=7.若整数am能被
正整数k整除，则称k为a.的一个正约数.设a.的正约数个数为m,将这m个正约数从小
到大排成一排，分别为bo,b1,b2,…,b.-1
(1)证明：{aw+1一a.}是等比数列.
(2)证明：m一n为定值
(3)在b,和b,+1之间插入i(i=1,2,3,…,n-1,n≥2)个数t1t2,…,t。,使b:,4n,这，…
ta,b+1成等差数列
①当n≥2时，求S。-1=t11十t1十ta十十1m-11十1-12十十tm-Dm-0
②在①的前提下，是否存在正整数j,n,使得(G2十13一4n)S.-1=840(n>2) 若存在，
求出所有的正整数对(，n):若不存在，请说明理由
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上
2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上.写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第二册4,1至选择性必修第三册
6.1.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
f(3+2△x)-f(3)
1,已知f'(x)是函数f(x)的导函数，则1im
△x
A.2f'(3)
B.2f(3)
C.3f'(3)
D.3f(3
2.已知数列a清足a4-2-1.且a,=一1.则
A.2
B司
C.-1
D.1
3,某公司近几年投入A款产品的年研发费用x与年利润y的统计数据如下表：
年研发费用x
5
4
6
3
4
2
年利润y
12
10
13
9
11
5
若y与x的回归直线方程为y=1.9x十a,则a
A.2.1
B.2.2
C.2.3
D.2.4
4.质点M按规律1=3+2F做直线运动（位移单位：m,时间单位：s),则质点M在1=9s时的
瞬时速度是其在t=4s时的瞬时速度的
A号
份
1
n份
5.在公差大于0的等差数列{a.}中，a2十a。-10,aa,=一11，则该数列的公差为
A受
B号
C.2
D.3
6.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则
X
2
7
P
12
2q
A.E(3X-2)=10,D(3-2X)=20
B.E(3X-2)=10,D(3-2X)=-20
C.E(3X-2)=14,D(3-2X)=20
D.E(3X-2)=14,D(3-2X)=-20
【高二数学第1页（共4页）】数学试卷参考答案
1.A lim
f(3+2△x)-f3)=2l1im
f(3+2△x)-f3)=2f'(3).
△x
△x
△r
2AT
1
2.A由题可得a:=之，a3=2,a,=-l，,所以{a,}是周期为3的数列，则a2s=a65×g=a3
=2.
3.D由表可知x=4,y=10,则10=1.9×4+a,解得a=2.4.
1
Ara2所榴--号
1
4
5.D设等差数列{am}的公差为d,则a2十ag=2as=10,得as=5,所以a3a =(a5一2d)(a5+
2d)=a-4d=25-4d=-11,又d>0,所以d=3.
6.A由离散型随机变量的性质可得2十9十2=1，解得0=日，则E(X)=2×2十4×日+7
×号=4，D(X)=3×(2-4)+6×4-40+3×(7-4)=5,所以E(3X-2)=3E(X)
-2=10,D(3-2X)=4D(X)=20.
a1(1-q)）
7.B设等比数列(@，的公比为g.若g=1,则=2，不符合题意，所以
1-g
ga(1-93）
=1+
1-g
-号解得g=方又因为a1和a,的等差中项为5，所以a,十a,=10,则a1十4=10，解
得a1=8.当n≤3时，a。>1,当n=4时，am=1,当n>4时，an<1,所以Tm的最大值为T3=
T4=64.
8.A若个位上的数字是0，则这样的四位偶数有A=60个；若个位上的数字不是0，则这样的
四位偶数有2×4×A号=96个.故四位数是偶数的有156个.
下面考虑这个四位数既满足是偶数，又满足个位、十位和百位上的数字之和为偶数的情况：若
个位、十位和百位上的数字都是偶数，则这样的四位数有3A=18个；若个位、十位和百位上
的数字是1个偶数和2个奇数，则当这个偶数是0时，这样的四位数有3CA=18个，当这个
偶数不是0时，这样的四位数有2CC2A=24个.综上，满足这两个条件的四位数有60个
605
故所求的概率为5613
9.ABD (sin 2)-202(2)2 2 (
x.故选ABD
【高二数学·参考答案第1页（共5页）】
10AD因为-N(6p).号8=6所以PY>8)=PY<.A正确
PY<)=2,PX<3)=C×()+Cx(}+Cx()°+Cx()》-0,B
错误
当DX)=专时，6p(1-p)=专解得p=3或号，DY)=p=)或号，C错误
当D=时，p=)因为01-2a2
2-2m
2
11.ABD由题可知a2m+1=
)2,a2w+2=2,则a2如+2=
2
2
4a2m,又a2=
12,所以a是等比数列，A正确aa=a:·(号)》=（号）'=点a=1
2
1
3
2ax+1=1一2市，a3+1一a21=2i7,B正确.uw十a-1=1-2高，则52w=n
1-)
三”一方(1一，放{5。-}不是等此数列，C错误由可知a
2mn为奇数
易知当n为奇数时，1a,单调递增且a,≥号：当m为偶数时，口，}单调递
2n为偶数.
减，且a,≤子若(a,-Xa,+1-X)<0恒成立，则当n为奇数时u,1<<:当n为偶数时，a,12.0.3P(A)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=0.3.
13.3n2十4n因为数列{3n十1}是以4为首项，3为公差的等差数列，
数列{21一1}是以1首项，2为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a,}是以7为首项，6为公差的等差数列，
所以{a,}的前”项和为7m+n,D×6=3m'+4n.
2
14.1设切点为(m,m3-3m十2).因为y=3.x2-3,所以切线方程为y-(m3-3m十2)=
(3m2-3)(x一m).又点(0,2)在切线上，所以2-(m3-3m+2)=(3m2-3)(-m),解得m
=0,故过点(0,2)可作1条切线与曲线y=x3一3.x十2相切.
解：1）由题可知（红）=十3()x,…3分
令x=1,则f(1)=2十3f(1),解得(1)=一1.…5分
【高二数学·参考答案第2页（共5页）】

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