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5.1 认识分式 培优练习—2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题
1．（2025八下·深圳期中）要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】
解： 要使分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件是，可列式为；即可解答.
2．（2025八下·南山期中）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解： 将x和y都扩大4倍后，代入分式得到：
，
可以得出：扩大x和y的值后，分式的值没有发生变化；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或同除以一个不等于0的数，分式的值不变； 即可把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.
3．（2024八下·秦安期中）函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D．且
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围；立方根的概念与表示
【解析】【解答】由题意得
x-1≠0，
∴．
故答案为：A．
【分析】函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．本题 由于正数、0、负数均有立方根，所以只根据分母不等于零列式求解即可．
4．（2025八下·杭州月考）已知，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴a>0，且，
∴0故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母上的数不能为0，得到不等式组a>0，且，求解即可
5．（2023八下·顺德期末）若分式的值为零，则等于（　　）
A． B．0 C．2 D．0和
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为零，
∴x+2=0且x≠0，
解之：x=-2.
故答案为：A.
【分析】利用分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，可得到关于x的方程和不等式，然后分别求解，可得到x的值.
6．（2024八下·二道月考）下列各式从左向右变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A.由题意知，，故A不符合要求，A错误；
B. ，故B符合要求，B正确；
C.，故C不符合要求，C错误；
D.，故D不符合要求，D错误；
故选：B．
【分析】本题考查分式的基本性质，平方差公式．根据平方差公式可得：，再利用分式基本性质进行约分可选出答案．
7．（2024八下·鄞州月考）能使成立的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】根据”被开方数为非负数，且分式的分母不能为0“列出关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围即可．
8．（2024八下·射洪月考）下列说法正确的是(　　)
A．分式的值为零，则的值为±2
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：对 于A，=0，则，解得x=-2，故A错误，不符合题意；
对于B，分式成立的条件为，即，故B错误，不符合题意；
对于C，分式分子分母同乘30得：，故C正确，符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据分式值为0计算排除A，分式的基本性质排除B，分式化简判断C，D.
9．（2022八下·射洪月考）下列各式正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，
即.
故答案为：C.
【分析】将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，据此判断.
10．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
二、填空题
11．（2017八下·长泰期中）当x=　 　时，分式 的值为零．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由分子x2﹣4=0 x=±2；
而x=2时，分母x+2=2+2=4≠0，
x=﹣2时分母x+2=0，分式没有意义．
所以x=2．
【分析】根据分式值为0的条件分子为0，分母不为0可得：x2﹣4=0且x+2≠0，解得x=2。
12．（2024八下·六盘水期末）约分：　 　．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：=3a.
故答案为：3a.
【分析】利用分式的基本性质化简即可.
13．（2023八下·荆门期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　.
【答案】x＞-3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须
2x+6＞0，
解得：x＞-3．
故答案为：x＞-3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号下的数或式子大于等于0；分式有意义的条件：分母不等于0，进行求解即可．
14．（2024八下·射洪月考）不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是　 　.
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式分子分母同时扩大100倍，
则有，
故填：.
【分析】利用分式的基本性质将分子分母扩大即可.
15．（2024八下·新田月考） 已知点关于x轴的对称点为，且在直线上，则　 　．使代数式有意义的x的取值范围是 　 　．
【答案】；
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：点P'是点关于x轴的对称点，
点P'的坐标为（1，-2），
点在直线上，
-2=k+3，
解得：k=-5；
要使代数式有意义，
则
解得： .
故答案为：-5； .
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点P'的坐标，再代入 求出k的值即可；根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件计算即可.
16．（2021八下·金牛期末）已知 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】利用比例的性质，设，可用含k的代数式表示出x，y，z，将其代入代数式，化简即可.
17．（2023八下·宿迁期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为　 　．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为：.
【分析】利用分式的基本性质分子分母同乘以-3即得结论.
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册16.1.1分式及其基本性质 同步练习）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为　 　.
【答案】
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
所以满足条件的分式可以是： ；
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2；再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。
三、计算题
19．（2022八下·洪泽期中）约分
（1）
（2）
【答案】（1）解：=；
（2）解：=.
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】分式的约分即是约去分子与分母的公因式，据此解答即可.
20．（2022八下·隆昌月考）
（1）化简.
（2）计算：（结果化为只含有正整指数幂的形式）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】整式的混合运算；分式的约分
【解析】【分析】（1）对分子、分母进行分解，然后约分即可；
（2）根据负整数指数幂的运算法则可得原式= ，然后计算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算.
21．（2021八下·沭阳月考）化简.
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】（1）根据公因式的确定方法“系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数”可找出公因式，再将分子和分母的公因式约去即可化简；
（2）由题意先将分式的分子和分母分解因式，再约分即可化简.
22．（2021八下·沭阳月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”可将分子和分母同时乘以6即可求解；
（2）根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”可将分子和分母同时扩大100即可求解.
23．（初中数学苏科版八年级下册10.1-10.2 分式及其基本性质 同步练习）约分.
（1） ;
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：
（4）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】分子和分母能分解因式的先分解因式，然后根据分式的性质约分化简即可得出结果.
四、解答题
24．当 为何值时，下列各式有意义？
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：由题意得且2x+1≠0，
∴
（2）解：由题意得x+1≥0，x-2≠0，
∴
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解.
25．若a，b为实数，且求a+b的值.
【答案】解：根据题意，得，
解得，
∴
∴a+b=5或3.
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】首先根据二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零，列出不等式组，即可解得，，即可得解．
26．（2022八下·华安月考）已知－＝4，求的值.
【答案】解：∵－＝4，
两边同时乘以ab，得
∴b－a＝4ab，
∴a－b＝-4ab，
∴＝＝.
【知识点】分式的值
【解析】【分析】给已知条件两边同时乘以ab可得b-a=4ab，则a-b=-4ab，待求式可变形为，然后代入化简即可.
27．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册16.1.2分式的基本性质 同步练习）若 成立,求a的取值范围.
【答案】解：等式的左边可变为 ,所以将等式左边分式的分子和分母都除以(a-3)可得等式右边的分式，则根据分式的基本性质可知：a-3≠0,即a≠3
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】 等式的左边可变为 ，从等式的左边到右边的变形， 分子和分母都除以(a-3)，根据分式的性质分子分母都除以同一个不为0的整式分式的值才会不变，从而列出不等式 a-3≠0，求解即可。
28．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.1 认识分式课时2）对分式 进行变形：
甲同学的解法是： = =a-b；
乙同学的解法是： = =
=a-b.
请判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由.
【答案】解：甲同学的解法正确.
乙同学的解法不正确.
理由：乙同学在进行分式的变形时，分子、分母同乘a-b，而a-b可能为0，所以乙同学的解法不正确
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的基本性质；分式的约分
【解析】【分析】根据题意可知题中隐含条件是a+b≠0，甲同学是将原分式的分子分解因式后约分，甲同学解答正确；而乙同学的解答是分子分母同乘以a-b，a-b可能等于0，乙同学的解法不正确。
五、阅读理解题
29．（2023八下·吴兴期中）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需a-2≥0，解得：a≥2；
②化简：，则需计算，而
所以
（1）根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
（2）利用①中的提示，请解答：如果，求a+b的值；
（3）利用②中的结论，计算：
【答案】（1）解：由题意得，，
由①得a≥-2，
由②得a＜3，
∴-2≤a＜3；
（2）解：由题意得，
∴a＝2，
∴b1＝0+0+1＝1，
∴a+b＝2+1＝3；
（3）解：原式＝
＝
＝
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，且分母不能为0，列出不等式组，求解即可；
（2）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可；
（3）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可.
六、综合题
30．（2023八下·通川期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　 　 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式===，
小强：原式==，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　，
请你接着小强的方法完成化简．
【答案】（1）②
（2）解：∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a=4，a=-4（舍），a=5；
（3）解：小强利用了其中的和谐分式，第步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式====
故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① 中分子分母都不能分解，故不是"和谐分式"；
② 分母可以分解因式，但不可约分，故是"和谐分式"；
③，分母可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
④， 分子可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
故答案为：②.
【分析】（1）根据"和谐分式"的定义逐一判断即可；
（2） 由于分式为和谐分式 ，且分子不能分解，可知分母必可分解因式，据从求出整数a的值即可；
（3）根据题意及“和谐分式”的定义解答即可.
1 / 15.1 认识分式 培优练习—2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题
1．（2025八下·深圳期中）要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·南山期中）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍
C．缩小为原来的 D．不变
3．（2024八下·秦安期中）函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D．且
4．（2025八下·杭州月考）已知，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八下·顺德期末）若分式的值为零，则等于（　　）
A． B．0 C．2 D．0和
6．（2024八下·二道月考）下列各式从左向右变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·鄞州月考）能使成立的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．或
8．（2024八下·射洪月考）下列说法正确的是(　　)
A．分式的值为零，则的值为±2
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
9．（2022八下·射洪月考）下列各式正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
10．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
二、填空题
11．（2017八下·长泰期中）当x=　 　时，分式 的值为零．
12．（2024八下·六盘水期末）约分：　 　．
13．（2023八下·荆门期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　.
14．（2024八下·射洪月考）不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是　 　.
15．（2024八下·新田月考） 已知点关于x轴的对称点为，且在直线上，则　 　．使代数式有意义的x的取值范围是 　 　．
16．（2021八下·金牛期末）已知 ，则 　 　.
17．（2023八下·宿迁期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为　 　．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册16.1.1分式及其基本性质 同步练习）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为　 　.
三、计算题
19．（2022八下·洪泽期中）约分
（1）
（2）
20．（2022八下·隆昌月考）
（1）化简.
（2）计算：（结果化为只含有正整指数幂的形式）
21．（2021八下·沭阳月考）化简.
（1）
（2）
22．（2021八下·沭阳月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数.
（1） ；
（2） .
23．（初中数学苏科版八年级下册10.1-10.2 分式及其基本性质 同步练习）约分.
（1） ;
（2）
（3）
（4）
四、解答题
24．当 为何值时，下列各式有意义？
（1） ．
（2） ．
25．若a，b为实数，且求a+b的值.
26．（2022八下·华安月考）已知－＝4，求的值.
27．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册16.1.2分式的基本性质 同步练习）若 成立,求a的取值范围.
28．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.1 认识分式课时2）对分式 进行变形：
甲同学的解法是： = =a-b；
乙同学的解法是： = =
=a-b.
请判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由.
五、阅读理解题
29．（2023八下·吴兴期中）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需a-2≥0，解得：a≥2；
②化简：，则需计算，而
所以
（1）根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
（2）利用①中的提示，请解答：如果，求a+b的值；
（3）利用②中的结论，计算：
六、综合题
30．（2023八下·通川期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　 　 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式===，
小强：原式==，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　，
请你接着小强的方法完成化简．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】
解： 要使分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件是，可列式为；即可解答.
2．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解： 将x和y都扩大4倍后，代入分式得到：
，
可以得出：扩大x和y的值后，分式的值没有发生变化；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或同除以一个不等于0的数，分式的值不变； 即可把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围；立方根的概念与表示
【解析】【解答】由题意得
x-1≠0，
∴．
故答案为：A．
【分析】函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．本题 由于正数、0、负数均有立方根，所以只根据分母不等于零列式求解即可．
4．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴a>0，且，
∴0故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母上的数不能为0，得到不等式组a>0，且，求解即可
5．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为零，
∴x+2=0且x≠0，
解之：x=-2.
故答案为：A.
【分析】利用分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，可得到关于x的方程和不等式，然后分别求解，可得到x的值.
6．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A.由题意知，，故A不符合要求，A错误；
B. ，故B符合要求，B正确；
C.，故C不符合要求，C错误；
D.，故D不符合要求，D错误；
故选：B．
【分析】本题考查分式的基本性质，平方差公式．根据平方差公式可得：，再利用分式基本性质进行约分可选出答案．
7．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】根据”被开方数为非负数，且分式的分母不能为0“列出关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围即可．
8．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：对 于A，=0，则，解得x=-2，故A错误，不符合题意；
对于B，分式成立的条件为，即，故B错误，不符合题意；
对于C，分式分子分母同乘30得：，故C正确，符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据分式值为0计算排除A，分式的基本性质排除B，分式化简判断C，D.
9．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，
即.
故答案为：C.
【分析】将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，据此判断.
10．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
11．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由分子x2﹣4=0 x=±2；
而x=2时，分母x+2=2+2=4≠0，
x=﹣2时分母x+2=0，分式没有意义．
所以x=2．
【分析】根据分式值为0的条件分子为0，分母不为0可得：x2﹣4=0且x+2≠0，解得x=2。
12．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：=3a.
故答案为：3a.
【分析】利用分式的基本性质化简即可.
13．【答案】x＞-3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须
2x+6＞0，
解得：x＞-3．
故答案为：x＞-3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号下的数或式子大于等于0；分式有意义的条件：分母不等于0，进行求解即可．
14．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式分子分母同时扩大100倍，
则有，
故填：.
【分析】利用分式的基本性质将分子分母扩大即可.
15．【答案】；
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：点P'是点关于x轴的对称点，
点P'的坐标为（1，-2），
点在直线上，
-2=k+3，
解得：k=-5；
要使代数式有意义，
则
解得： .
故答案为：-5； .
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点P'的坐标，再代入 求出k的值即可；根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件计算即可.
16．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】利用比例的性质，设，可用含k的代数式表示出x，y，z，将其代入代数式，化简即可.
17．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为：.
【分析】利用分式的基本性质分子分母同乘以-3即得结论.
18．【答案】
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
所以满足条件的分式可以是： ；
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2；再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。
19．【答案】（1）解：=；
（2）解：=.
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】分式的约分即是约去分子与分母的公因式，据此解答即可.
20．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】整式的混合运算；分式的约分
【解析】【分析】（1）对分子、分母进行分解，然后约分即可；
（2）根据负整数指数幂的运算法则可得原式= ，然后计算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算.
21．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】（1）根据公因式的确定方法“系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数”可找出公因式，再将分子和分母的公因式约去即可化简；
（2）由题意先将分式的分子和分母分解因式，再约分即可化简.
22．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”可将分子和分母同时乘以6即可求解；
（2）根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”可将分子和分母同时扩大100即可求解.
23．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：
（4）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】分子和分母能分解因式的先分解因式，然后根据分式的性质约分化简即可得出结果.
24．【答案】（1）解：由题意得且2x+1≠0，
∴
（2）解：由题意得x+1≥0，x-2≠0，
∴
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解.
25．【答案】解：根据题意，得，
解得，
∴
∴a+b=5或3.
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】首先根据二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零，列出不等式组，即可解得，，即可得解．
26．【答案】解：∵－＝4，
两边同时乘以ab，得
∴b－a＝4ab，
∴a－b＝-4ab，
∴＝＝.
【知识点】分式的值
【解析】【分析】给已知条件两边同时乘以ab可得b-a=4ab，则a-b=-4ab，待求式可变形为，然后代入化简即可.
27．【答案】解：等式的左边可变为 ,所以将等式左边分式的分子和分母都除以(a-3)可得等式右边的分式，则根据分式的基本性质可知：a-3≠0,即a≠3
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】 等式的左边可变为 ，从等式的左边到右边的变形， 分子和分母都除以(a-3)，根据分式的性质分子分母都除以同一个不为0的整式分式的值才会不变，从而列出不等式 a-3≠0，求解即可。
28．【答案】解：甲同学的解法正确.
乙同学的解法不正确.
理由：乙同学在进行分式的变形时，分子、分母同乘a-b，而a-b可能为0，所以乙同学的解法不正确
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的基本性质；分式的约分
【解析】【分析】根据题意可知题中隐含条件是a+b≠0，甲同学是将原分式的分子分解因式后约分，甲同学解答正确；而乙同学的解答是分子分母同乘以a-b，a-b可能等于0，乙同学的解法不正确。
29．【答案】（1）解：由题意得，，
由①得a≥-2，
由②得a＜3，
∴-2≤a＜3；
（2）解：由题意得，
∴a＝2，
∴b1＝0+0+1＝1，
∴a+b＝2+1＝3；
（3）解：原式＝
＝
＝
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，且分母不能为0，列出不等式组，求解即可；
（2）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可；
（3）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可.
30．【答案】（1）②
（2）解：∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a=4，a=-4（舍），a=5；
（3）解：小强利用了其中的和谐分式，第步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式====
故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① 中分子分母都不能分解，故不是"和谐分式"；
② 分母可以分解因式，但不可约分，故是"和谐分式"；
③，分母可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
④， 分子可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
故答案为：②.
【分析】（1）根据"和谐分式"的定义逐一判断即可；
（2） 由于分式为和谐分式 ，且分子不能分解，可知分母必可分解因式，据从求出整数a的值即可；
（3）根据题意及“和谐分式”的定义解答即可.
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