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5.3 分式的加减法 培优练习—2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题
1．（2025八下·衡南月考）下列式子运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·兴宁月考）计算的结果是（　　）
A． B． C．1 D．
3．（2025八下·威远期中）已知，则代数式的值为（　　）
A．1 B． C． D．
4．（2025八下·叙州月考）已知，求（　　）
A． B．12 C． D．18
5．（2025八下·衡南月考）对于任意的值都有，则，值为（　　）
A．， B．， C．， D．，
6．（2025八下·德阳月考）已知，则的值是（　　）
A．5 B． C．4 D．
7．（2025八下·嘉兴月考）实数满足，则（　　）
A．186 B．188 C．190 D．192
8．（2022八上·莱西期中）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·无棣月考）已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
10．（2025八下·潮阳开学考）轮船从河的上游A地开往河的下游B地的速度为v1，从河的下游B地返回河的上游A地的速度为v2，则轮船在A、B两地间往返一次的平均速度为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024八下·东台月考）已知，则　 　．
12．（江苏省连云港市海州实验中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题）分式，，的最简公分母是　 　．
13．（2024八下·普洱期末）当时，分式的值是　 　．
14．（2024八下·锦江期末）已知，，代数式的值为　 　．
15．（2024八下·天津市期中）已知，，则的值为　 　．
16．（2024八下·保定期末）定义新运算：，若，则的值是　 　．
17．（2024八下·仪征期中）对于正数x， 规定 例如：则
18．（2024八下·花都期末）有一组数据：，，，，．记，则　 　．
三、计算题
19．（2025八下·昆山月考）计算∶
（1）
（2）
20．（江苏省无锡市查桥中学2024-2025学年八年级下学期3月阶段性练习数学试题）计算：
（1）
（2）
21．（2025八下·泸县月考）化简求值：，其中．
22．（2025八下·恩阳月考）先化简，再求值：，在，2，1，中选一个你最喜欢的数带入求值．
23．（2025八下·威远期中）先化简，再求值：，然后选一个恰当的的值代入求值．
四、解答题
24．（2024八下·银州期末）已知，，求下列代数式的值：
（1）
（2）
25．（2024八下·广饶期末）按要求化简、求值或解方程．
（1），为实数，且满足，求的算术平方根；
（2）先化简，再求值：，其中
（3）解方程：
26．（2025八下·威远期中）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
解决下列问题：
（1）分式是_____分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数．
27．（2025八下·衡阳月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”．
（1）填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
（2）分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值．
（3）若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值．
五、阅读理解题
28．（2024八下·泉州月考）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　；
（2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个；
（3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
2．【答案】B
【知识点】分式的加减法
3．【答案】B
【知识点】分式的值；分式的加减法
4．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
5．【答案】B
【知识点】分式的加减法；解二元一次方程组
6．【答案】D
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
7．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化简：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故选：D．
【分析】通过等量代换，可得，同理可得，，将原式变形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化简计算即可.
8．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
9．【答案】B
【知识点】分式的加减法
10．【答案】D
【知识点】分式的加减法
11．【答案】3
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
12．【答案】12x2y2
【知识点】最简公分母
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
14．【答案】
【知识点】分式的化简求值
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；二次根式的性质与化简
16．【答案】
【知识点】分式的化简求值
17．【答案】
【知识点】分式的加减法
18．【答案】
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的加减法
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
21．【答案】，
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
22．【答案】，当时，原式，当时，原式
【知识点】分式的化简求值
23．【答案】（答案不唯一）．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
24．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值；二次根式的混合运算
25．【答案】（1）
（2），
（3）或
【知识点】分式的化简求值；二次根式有意义的条件；因式分解法解一元二次方程；求算术平方根
26．【答案】（1）真；
（2）；
（3）．
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的加减法
27．【答案】（1）是
（2）时，；时，；时，
（3）
【知识点】分式的加减法；解二元一次方程组
28．【答案】（1）3，6
（2）真分式，，4
（3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
（4）当时，分式取到最大值，最大值为
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；分式的化简求值；二次根式的应用
1 / 15.3 分式的加减法 培优练习—2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题
1．（2025八下·衡南月考）下列式子运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
2．（2025八下·兴宁月考）计算的结果是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
3．（2025八下·威远期中）已知，则代数式的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的值；分式的加减法
4．（2025八下·叙州月考）已知，求（　　）
A． B．12 C． D．18
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
5．（2025八下·衡南月考）对于任意的值都有，则，值为（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】分式的加减法；解二元一次方程组
6．（2025八下·德阳月考）已知，则的值是（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
7．（2025八下·嘉兴月考）实数满足，则（　　）
A．186 B．188 C．190 D．192
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化简：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故选：D．
【分析】通过等量代换，可得，同理可得，，将原式变形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化简计算即可.
8．（2022八上·莱西期中）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
9．（2024八下·无棣月考）已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】分式的加减法
10．（2025八下·潮阳开学考）轮船从河的上游A地开往河的下游B地的速度为v1，从河的下游B地返回河的上游A地的速度为v2，则轮船在A、B两地间往返一次的平均速度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法
二、填空题
11．（2024八下·东台月考）已知，则　 　．
【答案】3
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
12．（江苏省连云港市海州实验中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题）分式，，的最简公分母是　 　．
【答案】12x2y2
【知识点】最简公分母
13．（2024八下·普洱期末）当时，分式的值是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
14．（2024八下·锦江期末）已知，，代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
15．（2024八下·天津市期中）已知，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；二次根式的性质与化简
16．（2024八下·保定期末）定义新运算：，若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
17．（2024八下·仪征期中）对于正数x， 规定 例如：则
【答案】
【知识点】分式的加减法
18．（2024八下·花都期末）有一组数据：，，，，．记，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
三、计算题
19．（2025八下·昆山月考）计算∶
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的加减法
20．（江苏省无锡市查桥中学2024-2025学年八年级下学期3月阶段性练习数学试题）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
21．（2025八下·泸县月考）化简求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
22．（2025八下·恩阳月考）先化简，再求值：，在，2，1，中选一个你最喜欢的数带入求值．
【答案】，当时，原式，当时，原式
【知识点】分式的化简求值
23．（2025八下·威远期中）先化简，再求值：，然后选一个恰当的的值代入求值．
【答案】（答案不唯一）．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
四、解答题
24．（2024八下·银州期末）已知，，求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值；二次根式的混合运算
25．（2024八下·广饶期末）按要求化简、求值或解方程．
（1），为实数，且满足，求的算术平方根；
（2）先化简，再求值：，其中
（3）解方程：
【答案】（1）
（2），
（3）或
【知识点】分式的化简求值；二次根式有意义的条件；因式分解法解一元二次方程；求算术平方根
26．（2025八下·威远期中）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
解决下列问题：
（1）分式是_____分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数．
【答案】（1）真；
（2）；
（3）．
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的加减法
27．（2025八下·衡阳月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”．
（1）填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
（2）分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值．
（3）若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值．
【答案】（1）是
（2）时，；时，；时，
（3）
【知识点】分式的加减法；解二元一次方程组
五、阅读理解题
28．（2024八下·泉州月考）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　；
（2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个；
（3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【答案】（1）3，6
（2）真分式，，4
（3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
（4）当时，分式取到最大值，最大值为
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；分式的化简求值；二次根式的应用
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