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5.4 分式方程 培优练习—2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题
1．（2025八下·宜宾月考）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
2．（2025八下·叙州月考）解分式方程时，去分母后变形为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
3．（上海青浦区世外学校2024—2025学年下学期3月月考八年级数学试卷）下列说法正确的是（　　）
A．是分式方程 B．是无理方程
C．是二元二次方程组 D．是二项方程
【答案】C
【知识点】分式方程的概念；无理方程；二项方程
4．（2025八下·南山期中）如果关于的方程有增根，则的值为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】
解： 方程两边同乘(x 2)，得：4x (x 2)= -k，
化简：4x-x+2=-k，
解得：x=，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴=2，
解得：k=-8，
故答案为：B.
【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可.
5．（2025八下·威远期中）若关于x的分式方程，无解，则m的值是（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
6．（2025八下·苏州期中）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
7．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A．-2 B．4 C．－2或4 D．2
【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解： 原方程为；
等式变形；
即；
设，则原方程为；
即；
解得t=4或t=-2；
①当时，
则
∴a无解
即舍去；
②当时
则；
∴a有解
即有意义；
故答案为：B.
【分析】 首先，观察给定方程的形式，将方程重新组织，变换为关于的方程，从而简化求解过程。 通过对方程的化简和解方程，找出的可能值。
8．（2025八下·青秀开学考）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大．如果设物体的体积是，那么根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，
∵两个物体的密度之比为，
∴可列方程为，
故答案为：D．
【分析】设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，根据物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积v之比 分别表示出A、B两个物体的密度分别为与，进而结合A、B两个物体的密度之比等于3∶1，列出方程，进而根据比例性质变形得.
9．（2022八下·重庆市期中）如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵原不等式组至少有3个整数解，
∴，
解分式方程得：，
∵，
∴，解得：，
∵原分式方程的解是非负数，
∴，解得：，
综上分析，a的范围是：且，
∴满足条件的整数a的和为：2+3+5+6=16，
故答案为：C.
【分析】先解不等式为，由原不等式组至少有3个整数解，可得，再解分式方程得，由原分式方程的解是非负数，可得且，求出a的整数值，再相加即可.
10．（2024八下·重庆市开学考）若关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；…，则以下说法中：
①关于x的方程的两个解为，；
②关于x的方程的两个解为，；
③关于x的方程的两个解为，．
正确的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】解分式方程
二、填空题
11．（2025八下·苏州期中）如果关于的方程无实数根，那么的值为　 　．
【答案】6或14
【知识点】实数的概念与分类；分式方程的增根
12．（2025八下·衡阳月考）某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知类器材比类器材的单价低10元，用150元购买类器材与用300元购买类器材的数量相同，若设类器材的单价为元，则可列方程　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
13．（上海青浦区世外学校2024—2025学年下学期3月月考八年级数学试卷）当　 　时，解关于的方程会产生增根．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
14．（2024八下·金山月考）用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
15．（2024八下·茂名期末）定义运算，如：，若，则的值为　 　．
【答案】7
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴的值为7．
故答案为：7.
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程，再求解即可.
16．（2024八下·丰都县期末）如果关于的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数的和是　 　．
【答案】-4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ 的图象过一、三、四象限，
∴
∴-4解 ，
去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，
解得x=3-m.
∵原分式方程有非负整数解，
∴x=3-m≠2，即m≠1，
综上所述，-4∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；
m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；
m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；
m=0时，x=3-0=3，符合题意；，
m=2时，x=3-2=1，符合题意.
∴符合题意的整数m有：-3，-2，-1，0，2，
和是-3-2-1+0+2=-4.
故答案为：-4.
【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解（非增根，隐含条件），且解为非负整数，使一次函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪些整数m使分式方程的解是非负整数.
三、计算题
17．（2025八下·衡阳月考）解方程：
【答案】．
【知识点】解分式方程
18．（2025八下·武威开学考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【知识点】解分式方程
19．（2024八下·陕西月考）解方程：.
【答案】
【知识点】解分式方程
20．（2024八下·清苑期末）（1）解分式方程．
（2）化简，并在，，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】（1）；（2），时，原式
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
四、解答题
21．（2024八下·雁江期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）一元一次方程与分式方程是“相似方程”；
（2）不存在，理由如下
【知识点】解分式方程
22．（2024八下·泗县月考）已知关于的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求的值；
（2）若分式方程无解，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
23．（四川省绵阳市平武县四校联合考试2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如都是根分式．
（1）下列式子：
①；②；③，其中___________（填序号）是根分式；
（2）根分式中的取值范围为___________；
（3）已知两个根分式：．
①若，求的值；
②若是一个整数，且为整数，求的值．
【答案】（1）③
（2）且
（3）①；②0或2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；直接开平方法解一元二次方程；解分式方程
24．（2024八下·邓州期中）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同．
（1）求，两种文具的单价；
（2）若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？
【答案】（1）解：设文具的单价为元，则文具的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：文具的单价为元，则B文具的单价为元；
（2）设年级组购买种文具件，根据题意，得：，
解得，
∴年级组至少购买种文具件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（）设文具的单价为元，根据“用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同”列分式方程解题即可可；
（）设年级组购买种文具件，根据“购买这两种文具的总费用不超过元”列不等式解答即可.
25．（2024八下·成都期中）某商场用元购买甲品牌恤短袖，用元购买乙品牌恤短袖，购买的乙品牌恤短袖数量是甲品牌恤短袖数量的倍，两种品牌恤短袖每件进价与利润如下表所示：
恤短袖品牌 进价（单位：元/件） 利润（ 单位：元/件）
甲
乙
（1）求的值．
（2）甲品牌恤短袖全部降价销售，乙品牌恤短袖售价不变，上述购买的两种恤短袖全部售完，利润不低于元，则每件甲品牌恤短袖的降价不超过多少元？
【答案】（1）60；（2）2元
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
五、实践探究题
26．（2024八下·方城月考）综合与探究
我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
应用上面的结论，解答下列问题：
（1）若为“十字分式方程”，则______，______．
（2）若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值．
（3）若关于的“十字分式方程”的两个解分别为（，且），求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；分式的加减法；解分式方程
1 / 15.4 分式方程 培优练习—2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题
1．（2025八下·宜宾月考）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·叙州月考）解分式方程时，去分母后变形为（　　）
A． B．
C． D．
3．（上海青浦区世外学校2024—2025学年下学期3月月考八年级数学试卷）下列说法正确的是（　　）
A．是分式方程 B．是无理方程
C．是二元二次方程组 D．是二项方程
4．（2025八下·南山期中）如果关于的方程有增根，则的值为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
5．（2025八下·威远期中）若关于x的分式方程，无解，则m的值是（　　）
A． B． C．2 D．3
6．（2025八下·苏州期中）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（　　）
A． B．且
C． D．且
7．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A．-2 B．4 C．－2或4 D．2
8．（2025八下·青秀开学考）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大．如果设物体的体积是，那么根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022八下·重庆市期中）如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．20 B．18 C．16 D．14
10．（2024八下·重庆市开学考）若关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；…，则以下说法中：
①关于x的方程的两个解为，；
②关于x的方程的两个解为，；
③关于x的方程的两个解为，．
正确的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2025八下·苏州期中）如果关于的方程无实数根，那么的值为　 　．
12．（2025八下·衡阳月考）某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知类器材比类器材的单价低10元，用150元购买类器材与用300元购买类器材的数量相同，若设类器材的单价为元，则可列方程　 　．
13．（上海青浦区世外学校2024—2025学年下学期3月月考八年级数学试卷）当　 　时，解关于的方程会产生增根．
14．（2024八下·金山月考）用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是　 　．
15．（2024八下·茂名期末）定义运算，如：，若，则的值为　 　．
16．（2024八下·丰都县期末）如果关于的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数的和是　 　．
三、计算题
17．（2025八下·衡阳月考）解方程：
18．（2025八下·武威开学考）解方程：
（1）
（2）
19．（2024八下·陕西月考）解方程：.
20．（2024八下·清苑期末）（1）解分式方程．
（2）化简，并在，，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
四、解答题
21．（2024八下·雁江期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
22．（2024八下·泗县月考）已知关于的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求的值；
（2）若分式方程无解，求的值．
23．（四川省绵阳市平武县四校联合考试2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如都是根分式．
（1）下列式子：
①；②；③，其中___________（填序号）是根分式；
（2）根分式中的取值范围为___________；
（3）已知两个根分式：．
①若，求的值；
②若是一个整数，且为整数，求的值．
24．（2024八下·邓州期中）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同．
（1）求，两种文具的单价；
（2）若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？
25．（2024八下·成都期中）某商场用元购买甲品牌恤短袖，用元购买乙品牌恤短袖，购买的乙品牌恤短袖数量是甲品牌恤短袖数量的倍，两种品牌恤短袖每件进价与利润如下表所示：
恤短袖品牌 进价（单位：元/件） 利润（ 单位：元/件）
甲
乙
（1）求的值．
（2）甲品牌恤短袖全部降价销售，乙品牌恤短袖售价不变，上述购买的两种恤短袖全部售完，利润不低于元，则每件甲品牌恤短袖的降价不超过多少元？
五、实践探究题
26．（2024八下·方城月考）综合与探究
我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
应用上面的结论，解答下列问题：
（1）若为“十字分式方程”，则______，______．
（2）若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值．
（3）若关于的“十字分式方程”的两个解分别为（，且），求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解分式方程
2．【答案】C
【知识点】解分式方程
3．【答案】C
【知识点】分式方程的概念；无理方程；二项方程
4．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】
解： 方程两边同乘(x 2)，得：4x (x 2)= -k，
化简：4x-x+2=-k，
解得：x=，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴=2，
解得：k=-8，
故答案为：B.
【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可.
5．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
6．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
7．【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解： 原方程为；
等式变形；
即；
设，则原方程为；
即；
解得t=4或t=-2；
①当时，
则
∴a无解
即舍去；
②当时
则；
∴a有解
即有意义；
故答案为：B.
【分析】 首先，观察给定方程的形式，将方程重新组织，变换为关于的方程，从而简化求解过程。 通过对方程的化简和解方程，找出的可能值。
8．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，
∵两个物体的密度之比为，
∴可列方程为，
故答案为：D．
【分析】设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，根据物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积v之比 分别表示出A、B两个物体的密度分别为与，进而结合A、B两个物体的密度之比等于3∶1，列出方程，进而根据比例性质变形得.
9．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵原不等式组至少有3个整数解，
∴，
解分式方程得：，
∵，
∴，解得：，
∵原分式方程的解是非负数，
∴，解得：，
综上分析，a的范围是：且，
∴满足条件的整数a的和为：2+3+5+6=16，
故答案为：C.
【分析】先解不等式为，由原不等式组至少有3个整数解，可得，再解分式方程得，由原分式方程的解是非负数，可得且，求出a的整数值，再相加即可.
10．【答案】D
【知识点】解分式方程
11．【答案】6或14
【知识点】实数的概念与分类；分式方程的增根
12．【答案】
【知识点】列分式方程
13．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
14．【答案】
【知识点】解分式方程
15．【答案】7
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴的值为7．
故答案为：7.
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程，再求解即可.
16．【答案】-4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ 的图象过一、三、四象限，
∴
∴-4解 ，
去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，
解得x=3-m.
∵原分式方程有非负整数解，
∴x=3-m≠2，即m≠1，
综上所述，-4∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；
m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；
m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；
m=0时，x=3-0=3，符合题意；，
m=2时，x=3-2=1，符合题意.
∴符合题意的整数m有：-3，-2，-1，0，2，
和是-3-2-1+0+2=-4.
故答案为：-4.
【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解（非增根，隐含条件），且解为非负整数，使一次函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪些整数m使分式方程的解是非负整数.
17．【答案】．
【知识点】解分式方程
18．【答案】（1）
（2）无解
【知识点】解分式方程
19．【答案】
【知识点】解分式方程
20．【答案】（1）；（2），时，原式
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
21．【答案】（1）一元一次方程与分式方程是“相似方程”；
（2）不存在，理由如下
【知识点】解分式方程
22．【答案】（1）
（2）或
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
23．【答案】（1）③
（2）且
（3）①；②0或2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；直接开平方法解一元二次方程；解分式方程
24．【答案】（1）解：设文具的单价为元，则文具的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：文具的单价为元，则B文具的单价为元；
（2）设年级组购买种文具件，根据题意，得：，
解得，
∴年级组至少购买种文具件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（）设文具的单价为元，根据“用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同”列分式方程解题即可可；
（）设年级组购买种文具件，根据“购买这两种文具的总费用不超过元”列不等式解答即可.
25．【答案】（1）60；（2）2元
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
26．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；分式的加减法；解分式方程
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