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专题06 复数的综合运用
【题型归纳目录】
题型一：复数的概念
题型二：复数的几何意义
题型三：复数的最值问题
题型四：复数相等与共轭复数
题型五：复数的三角形式
题型六：复数模的综合应用
题型七：复数方程
题型八：复数的四则运算
【知识点梳理】
一、基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
【典型例题】
题型一：复数的概念
【例1】（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】的实部为虚部为，
故选：C.
【变式1-1】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知复数，以下说法不正确的是（ ）
A．的实部是5
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．
【答案】B
【解析】由复数的定义和性质可知，的实部是5，故A正确；
在复平面内对应的点为，为第四象限的点，故B错误；
，故C正确；，故D正确.
故选：B
【变式1-2】（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（ ）
（1）实数的共轭复数是它本身
（2）复数的实部是实数，虚部是虚数
（3）复数与复平面内的点一一对应
（4）复数是最小的纯虚数.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为复数的共轭复数，
若为实数，则，此时，命题（1）正确，
复数的实部为，虚部为，
复数的虚部是实数，（2）错误；
因为复数在复平面上的对应点为，
复平面上的点对应复数，（3）正确；
复数不能比较大小，命题（4）错误，
故选：C.
题型二：复数的几何意义
【例2】（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（ ）
A．9 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】由图可知，
所以.
故选：B.
【变式2-1】（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】依题意，，则，
所以对应的点的坐标为位于第三象限.
故选：C
【变式2-2】（24-25高一下·山西·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，
所以，
则其在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D.
题型三：复数的最值问题
【例3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】设，则，由，得，
整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线，
由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，，
而表示在复平面内复数对应点的距离，
所以的最小值为.
故答案为：
【变式3-1】（24-25高一下·重庆·期中）已知复数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设复数，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为.
故答案为：.
【变式3-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，复数，，且，若，则的最小值 .
【答案】
【解析】由可得，即可得；
因此；
当时，取得最小值.
故答案为：
题型四：复数相等与共轭复数
【例4】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知，且（其中为虚数单位），则 .
【答案】
【解析】，则，
故答案为：
【变式4-1】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 .
【答案】21
【解析】根据可得到，
故，，求得，
所以.
故答案为：21
【变式4-2】（23-24高一下·四川·期末）设的共轭复数是，若，则 .
【答案】
【解析】设，则，由，
得，
.
故答案为：
题型五：复数的三角形式
【例5】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
所以辐角的主值为.
故选：A
【变式5-1】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
【答案】C
【解析】，
故选：C.
【变式5-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，
复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得，
即所得的向量对应的复数为.
故选：A.
题型六：复数模的综合应用
【例6】（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 .
【答案】3
【解析】因为，
所以，故.
故答案为：3.
【变式6-1】（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ．
【答案】
【解析】由题意可知是在复数域内的两个根，根据韦达定理有；
因为满足，所以，，
则
，
当时，，
当时，，
综上.
故答案为：；.
【变式6-2】（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中，为虚数单位））为“等部复数”，则 .
【答案】
【解析】因为是“等部复数”，所以，得，所以，，
从而，，
故答案为：.
题型七：复数方程
【例7】（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数，i为虚数单位．
(1)求z的共轭复数；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
【解析】（1）因为，
所以z的共轭复数.
（2）由题意可知：、是方程的根，
则，即.
【变式7-1】（24-25高一下·江苏·期中）已知复数z满足和均为实数，其中i为虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若z是方程的一个根，求实数m的值．
【解析】（1）设，（），则，
因为和均为实数，所以，，
则，所以复数．
（2）因为z是方程的一个根，则有
整理得：，所以，则
【变式7-2】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数和它的共轭复数满足.
(1)求；
(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
【解析】（1）设，
则，
所以，解得，
故.
（2）是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
，解得，
.
题型八：复数的四则运算
【例8】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则 ．
【答案】
【解析】，
，
，故周期为3，
，
故答案为：
【变式8-1】（24-25高一下·北京大兴·期中）已知复数，则 .
【答案】3
【解析】，所以，
所以.
故答案为：3
【变式8-2】已知
（1）若若在复平面上对应的点分别为A,B，求对应用的复数
（2）若
【解析】（1）所以对应用的复数为.
（2）由题得
【强化训练】
1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上，
表示复数对应的点到的距离，
点到点的距离，
所以的最大值为.
故选：C.
2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】，故的虚部为.
故选：C.
3．（24-25高一下·广东清远·期中）已知，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
可得：，
所以的虚部为，
故选：B
4．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，又，
故选：A.
5．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在复数范围内，下列为方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以的根为.
故选：B.
6．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设（），则．
已知，根据复数的模的计算公式可得．
等式两边同时平方可得，
这表示复平面上以点为圆心，半径的圆．
因为，所以，则，
它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离．
根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为：
．
因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上，
所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即．
的最大值为．
故选：A．
7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】由，则，
则.
故选：B.
8．（多选题）（24-25高一下·新疆伊犁·期中）下列各数是方程的根有（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】BD
【解析】因为，
所以方程的解为．
方程有两根，．
故选：BD.
9．（多选题）（24-25高一下·福建福州·期中）设，是复数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【解析】对于选项A：若，即，所以，故A正确；
对于选项B：若，所以，故B正确；
对于选项CD：例如，满足，
且，即，均不成立，故CD错误；
故选：AB.
10．（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确；
对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误；
对于C，设，则，所以，故C正确；
对于D，举反例，如，则，而，故D错误.
故选：AC.
11．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ．
【答案】26
【解析】由题意，是方程的一个根，则是其另一个根，
所以.
故答案为：26.
12．（24-25高一下·河北沧州·期中）复数的虚部为 ．
【答案】5
【解析】因为复数，
所以该复数的虚部为5．
故答案为：5.
13．（24-25高一下·浙江·期中）在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位.
(1)求；
(2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根.
【解析】（1）
（2）设是二次方程的一个实根，将
代入方程得：
由复数相等的意义得：，解得：
所以当时，原方程有一实根
14．（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积．
(1)试将写成三角形式；
(2)当时，求的最大值和最小值．
(3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，．
【解析】（1）设，
则，故，
故，其中.
（2）因为，故设，
故
，
因为，故，
故的最大值为3，此时，最小值为0，此时.
（3）设，则
，
但
，
故，.
15．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
(1)求a的值；
(2)在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
【解析】（1）复数，，，
则.
因为是纯虚数，所以，解得.
（2）由（1）得，.
由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，，
所以，，因为，
所以，解得或.
16．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，且为纯虚数
(1)求实数及；
(2)若是关于x的方程的一个根，求的值.
【解析】（1）由题意可知，，
则
因是纯虚数，则且，得
则，得.
（2）由题意可知，，
则，
则且，
得，，故.
17．（24-25高一下·北京·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
(1)求实数的值；
(2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值．
【解析】（1）由，，得，即，
因为在复平面上对应的点在第四象限，则，
所以,
（2）由（1）知，，
由复数是关于x的方程的根，
得,
整理得，
因为，所以, 解得.
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专题06 复数的综合运用
【题型归纳目录】
题型一：复数的概念
题型二：复数的几何意义
题型三：复数的最值问题
题型四：复数相等与共轭复数
题型五：复数的三角形式
题型六：复数模的综合应用
题型七：复数方程
题型八：复数的四则运算
【知识点梳理】
一、基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
【典型例题】
题型一：复数的概念
【例1】（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1-1】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知复数，以下说法不正确的是（ ）
A．的实部是5
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．
【变式1-2】（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（ ）
（1）实数的共轭复数是它本身
（2）复数的实部是实数，虚部是虚数
（3）复数与复平面内的点一一对应
（4）复数是最小的纯虚数.
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二：复数的几何意义
【例2】（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（ ）
A．9 B． C．5 D．
【变式2-1】（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-2】（24-25高一下·山西·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型三：复数的最值问题
【例3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 .
【变式3-1】（24-25高一下·重庆·期中）已知复数满足，则的最小值为 ．
【变式3-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，复数，，且，若，则的最小值 .
题型四：复数相等与共轭复数
【例4】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知，且（其中为虚数单位），则 .
【变式4-1】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 .
【变式4-2】（23-24高一下·四川·期末）设的共轭复数是，若，则 .
题型五：复数的三角形式
【例5】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
【变式5-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
题型六：复数模的综合应用
【例6】（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 .
【变式6-1】（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ．
【变式6-2】（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中，为虚数单位））为“等部复数”，则 .
题型七：复数方程
【例7】（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数，i为虚数单位．
(1)求z的共轭复数；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
【变式7-1】（24-25高一下·江苏·期中）已知复数z满足和均为实数，其中i为虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若z是方程的一个根，求实数m的值．
【变式7-2】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数和它的共轭复数满足.
(1)求；
(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
题型八：复数的四则运算
【例8】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则 ．
【变式8-1】（24-25高一下·北京大兴·期中）已知复数，则 .
【变式8-2】已知
（1）若若在复平面上对应的点分别为A,B，求对应用的复数
（2）若
【强化训练】
1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（24-25高一下·广东清远·期中）已知，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．1
5．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在复数范围内，下列为方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．8
8．（多选题）（24-25高一下·新疆伊犁·期中）下列各数是方程的根有（ ）
A． B． C．1 D．
9．（多选题）（24-25高一下·福建福州·期中）设，是复数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则
C． D．
11．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ．
12．（24-25高一下·河北沧州·期中）复数的虚部为 ．
13．（24-25高一下·浙江·期中）在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位.
(1)求；
(2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根.
14．（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积．
(1)试将写成三角形式；
(2)当时，求的最大值和最小值．
(3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，．
15．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
(1)求a的值；
(2)在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
16．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，且为纯虚数
(1)求实数及；
(2)若是关于x的方程的一个根，求的值.
17．（24-25高一下·北京·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
(1)求实数的值；
(2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值．
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