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专题05 解三角形图形类问题
【题型归纳目录】
题型一：同角余弦相等列方程
题型二：两次使用正弦定理
题型三：中线问题
题型四：角平分线问题
题型五：高问题
题型六：外接圆与内切圆问题
【知识点梳理】
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
【典型例题】
题型一：同角余弦相等列方程
【例1】（2025·湖南·模拟预测）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．

(1)求的值；
(2)若测得，求待测径长．
【变式1-1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【变式1-2】（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知三角形ABC，，
(1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值.
(2)若，，求AD的长
题型二：两次使用正弦定理
【例2】（22-23高一下·广东湛江·期中）在中，是上的点，平分，.
(1)求的值；
(2)若，，求的长.
【变式2-1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【变式2-2】（22-23高一下·河南·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求梯形ABCD的面积．
题型三：中线问题
【例3】（24-25高三下·河北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的中线，求的周长.
【变式3-1】（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
(1)令，，用，表示；
(2)证明：；
(3)若，，，求∠MPN的余弦值.
【变式3-2】（23-24高一下·江苏·期中）已知的内角的对边分别为，若，求中线的长．
题型四：角平分线问题
【例4】（2025·湖南·二模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【变式4-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为，已知.
(1)若，求角；
(2)若的平分线与边交于点，且，求的面积.
【变式4-2】（23-24高一下·江西赣州·期末）在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求的长.
题型五：高问题
【例5】（24-25高一下·湖北宜昌·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高.
【变式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，.
(1)求；
(2)若的边上的高等于，求.
【变式5-2】（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高．
条件①：，；
条件②：，的周长为20；
条件③：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
题型六：外接圆与内切圆问题
【例6】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为的圆形区域，道路成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块.（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）.

(1)当为正三角形时，求修建的木栈道与道路围成的三角地块面积；
(2)若的面积，求木栈道长；
(3)如图2，若景区中心与木栈道段连线的.
①将木栈道的长度表示为的函数，并指出定义域；
②求木栈道的最小值.
【变式6-1】（22-23高一下·河南平顶山·期末）如图所示，四边形的外接圆为圆.

(1)求；
(2)若，求的长.
【变式6-2】（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在圆的内接四边形中，，，，示意如图．

(1)若是圆的直径，求的长；
(2)若圆的直径为，求四边形的面积．
【强化训练】
1．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.
(1)求证：；
(2)若，，
①求的最大值；
②当时，求的值.
2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.

(1)若，，求线段的长度;
(2)若，求线段的最大值;
(3)若平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
3．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）在中，角A，B，C的对边分别为．
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
(3)若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围．
4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围；
(3)若的内切圆半径，求的面积S.
5．（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足.
(1)求的值；
(2)当与边上的中线长均为2时，求的周长；
(3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值.
6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)求的取值范围：
(3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值．
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专题05 解三角形图形类问题
【题型归纳目录】
题型一：同角余弦相等列方程
题型二：两次使用正弦定理
题型三：中线问题
题型四：角平分线问题
题型五：高问题
题型六：外接圆与内切圆问题
【知识点梳理】
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
【典型例题】
题型一：同角余弦相等列方程
【例1】（2025·湖南·模拟预测）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．

(1)求的值；
(2)若测得，求待测径长．
【解析】（1）在中，由正弦定理可得：，
则，因为，因为为钝角，
所以，所以.
（2）在，由余弦定理可得：，
解得：或（舍去），
因为，所以，
在，，
由余弦定理可得：，
解得：，
，，，，
，
在，由余弦定理可得：
，
故.
【变式1-1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【解析】（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以四边形的面积为．
【变式1-2】（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知三角形ABC，，
(1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值.
(2)若，，求AD的长
【解析】（1）由，
得，
即，
得，
在中，，
所以；
（2）因为，知，，
在三角形ABD中，
在三角形ACD中，
因为，所以，
即，
解得.
题型二：两次使用正弦定理
【例2】（22-23高一下·广东湛江·期中）在中，是上的点，平分，.
(1)求的值；
(2)若，，求的长.
【解析】（1）
在中，是上的点，平分，，
由内角平分线定理可得：，由正弦定理有：．
（2）由结合（1）的结论有：
，则：，
整理可得：，由，得，
在中，，则，
由正弦定理可得，，即，得．
【变式2-1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）在中，，，
，可得，．
，
在中，由余弦定理得，
即，
；
（2）设，可得，，
在中，，
中，由正弦定理得，即，
，化简得，
，因此，，，
所以的面积.
【变式2-2】（22-23高一下·河南·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求梯形ABCD的面积．
【解析】（1）连接BD．
因为，所以．
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
由，，结合①②可得．
（2）由（1）知，，
，又，所以，则．
连接BD，
在中，由余弦定理得
；
在中，由余弦定理得
，
所以，解得或．
当时，连接AC，在中，由余弦定理，得
，
所以，而此时，故不满足题意，经检验满足题意，
此时梯形ABCD的高，
当时，梯形ABCD的面积；
所以梯形ABCD的面积为．
题型三：中线问题
【例3】（24-25高三下·河北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的中线，求的周长.
【解析】（1）由可得：，
由正弦定理可得：，
又，
则，
又，，
，，
；
（2）由（1）得，则是以为顶角的等腰三角形，
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
解得，
即，
由正弦定理可得，
即，
.
【变式3-1】（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
(1)令，，用，表示；
(2)证明：；
(3)若，，，求∠MPN的余弦值.
【解析】（1）由题可知是的重心，且，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得
.
（3）因为，，，
所以，
所以，即的余弦值为.
【变式3-2】（23-24高一下·江苏·期中）已知的内角的对边分别为，若，求中线的长．
【解析】根据题意，作图如下：
在和中，由余弦定理得：
，，
又，
两式相加得，
即，，．
即三角形的中线长为．
题型四：角平分线问题
【例4】（2025·湖南·二模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【解析】（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以.
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以.
（2）由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
.
解法二：由得
.
即，
解得，
所以.
【变式4-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为，已知.
(1)若，求角；
(2)若的平分线与边交于点，且，求的面积.
【解析】（1）因，且，
则且，
在中利用正弦定理得，，即，得，
因，则或，
若，则，不符合题意；若，则，
故.
（2）因是的角平分线，且，
则，则，
在中利用余弦定理得，，
得，则，
则的面积.
【变式4-2】（23-24高一下·江西赣州·期末）在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求的长.
【解析】（1）由，
则，
即，
再由正弦定理可知，
即，则，
又，则，
所以，，
又，所以；
（2）由，，
则，即，
解得，
又为的平分线，
则，
所以，即，
所以，
解得.
题型五：高问题
【例5】（24-25高一下·湖北宜昌·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高.
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以；
（2）因为为边上的中线，
所以，两边同时平方得，
因为，，
所以，得，
所以，解得或（舍去），
所以的面积，
由余弦定理得，所以
设BC边上的高为，因为的面积，
所以，得.
【变式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，.
(1)求；
(2)若的边上的高等于，求.
【解析】（1）由题意，，
解得
（2），结合，解得，
又，则，得，
根据三角形的面积公式，，解得，
不妨设，由余弦定理，，则，
再由余弦定理，
【变式5-2】（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高．
条件①：，；
条件②：，的周长为20；
条件③：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
而为三角形内角，故，故，
所以，而，
故即.
（2）若选①，则，，由余弦定理可得，
整理得到：，故或，
因为三角形不唯一，故舍；
若选②，则，的周长为20，
故，由余弦定理得，故，
故最长边为，该边上的高为；
若选③，则，，由正弦定理得，
故，由余弦定理可得，
解得或(舍)，以下同选条件②.
题型六：外接圆与内切圆问题
【例6】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为的圆形区域，道路成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块.（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）.

(1)当为正三角形时，求修建的木栈道与道路围成的三角地块面积；
(2)若的面积，求木栈道长；
(3)如图2，若景区中心与木栈道段连线的.
①将木栈道的长度表示为的函数，并指出定义域；
②求木栈道的最小值.
【解析】（1）当是等边三角形时，，如图设圆与相切于点
则，，则，则，
面积为；.

（2）设圆C与分别相切与点M，N，F ，
所以，其中，，
，
，
，故，
则 .

（3）①由题意,
由三角形的内切圆性质可知：
设圆与相切于点,,则
由，则，所以
又，则；
，则
则,，
②
则
，
当且仅当时等号成立 ，则的最小值12.
【变式6-1】（22-23高一下·河南平顶山·期末）如图所示，四边形的外接圆为圆.

(1)求；
(2)若，求的长.
【解析】（1）由，可得.
设，
在中，由余弦定理得，即，
解得（舍去）或，
由正弦定理得.
（2），
由已知得，
设.
在中，由余弦定理得，
，即..
【变式6-2】（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在圆的内接四边形中，，，，示意如图．

(1)若是圆的直径，求的长；
(2)若圆的直径为，求四边形的面积．
【解析】（1）连接，设，则，因为是圆O的直径，
则与为直角三角形，有，
又，，即，整理得，
所以.
（2）

连接，因为圆O的直径为，则在中，由正弦定理得，，
在中，由余弦定理得，
设，则，即，解得，
设，同理在中有，，解得，
因此四边形的面积
，
所以四边形的面积为或.
【强化训练】
1．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.
(1)求证：；
(2)若，，
①求的最大值；
②当时，求的值.
【解析】（1）证明：连接，，，
则，
故；
（2）①因为，又因为，
由得，，
故，
由（1）知：，
由式可得，
由得，
故，当且仅当时取“”，
因此，，即的最大值为；
②不妨设另两个切点分别为，，，，
则，，且，
根据过圆外一点的切线长相等有，即，又，
故可求得：，
由①知，可得，
又，得，
故．
2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.

(1)若，，求线段的长度;
(2)若，求线段的最大值;
(3)若平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
【解析】（1）因为,,
所以,
即,
所以,
所以.
（2）由（1）可知，
所以,
设,且为等边三角形，
所以，
即，
故，
且，
所以当时，，
所以.
（3）因为平分,
所以由角平分线定理得,即,
故,
设，，的内切圆半径分别为,
在中,则，解得，
因为,
所以,
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
即，解得.
又因为,
,
所以，
令，则，
因为，所以，
则，故，，
即，故,
所以与的内切圆半径之比的范围为.
3．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）在中，角A，B，C的对边分别为．
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
(3)若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围．
【解析】（1）在中，由，得，
，
又，所以.
（2）因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
因此，解得，而，
所以，
故的周长的取值范围是.
（3）因为，，
所以得，
设的内切圆半径为r，
由，
得，
由（1）知，
根据正弦定理，得，
则，，
所以
，
由为锐角三角形，得，解得，
所以，则，
因此，，
所以内切圆半径的取值范围为.
4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围；
(3)若的内切圆半径，求的面积S.
【解析】（1）由，可得,
，
,
，又，则,
，又，
.
（2）由（1），由正弦定理得，，
，
因为为锐角三角形，所以，
，则，
，
所以的周长范围为.
（3）由，
，即，
由余弦定理得，得，
，即，
解得或（舍去），
所以.
5．（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足.
(1)求的值；
(2)当与边上的中线长均为2时，求的周长；
(3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
又由，得.
因为，所以；
（2）由余弦定理得，
即，①
设的中点为，则，
则，
则，②
由①②得，
联立，解得，
所以，即的周长为；
（3）由（1）得，
由内切圆半径为1，得，即，
由余弦定理得，所以，
得，因为，所以，
解得或，
又因为的面积大于其内切圆面积，即，
得，所以，
当且仅当时，的面积取到最小值.
6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)求的取值范围：
(3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值．
【解析】（1）因为，
所以由商数关系和正弦定理得，
即，
又由题可得、、，所以且，
所以由得即，
所以.
（2）由（1）以及正弦定理得，
所以
，
又由，所以，所以，
所以，即.
（3）由（1）得，
所以由余弦定理得，
所以，
且，
当且仅当时等号成立，
又，且（为内切圆半径），
所以，
当且仅当时等号成立，此时为正三角形，符合题意，
所以内切圆半径的最大值为.
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