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专题06 解三角形范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：求周长范围与最值问题
题型二：求面积范围与最值问题
题型三：求长度及长度之和范围与最值问题
题型四：转化为角的范围
题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题
【知识点梳理】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
【典型例题】
题型一：求周长范围与最值问题
【例1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积.
(1)求角A；
(2)若，求周长的取值范围.
【变式1-1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且.
(1)求角；
(2)若，求的面积的最大值；
(3)若，求的周长的取值范围.
【变式1-2】（23-24高一下·广东茂名·期中）设内角的对边分别为，已知，．
(1)求角；
(2)若，求的面积；
(3)求的周长的取值范围．
题型二：求面积范围与最值问题
【例2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，.
(1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？
(2)求烧烤区占地面积的最大值.
【变式2-1】（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．
(1)求证：的周长为定值，并求出该定值；
(2)求面积的最小值．
【变式2-2】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．

(1)若，求文化介绍区域的面积；
(2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值．
题型三：求长度及长度之和范围与最值问题
【例3】（23-24高一·浙江·期中）如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变.
(1)当时，求被灯光照到的区域的面积；
(2)求海岸线上被照到的线段长的最小值.
【变式3-1】（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
【变式3-2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域的游览区，如图所示，其中三角形区域ABE为观赏区，四边形区域BCDE为游乐场活动区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为游览区的主要道路（不考虑宽度），且，，，，．
(1)求四边形的面积；
(2)求游览区的主要道路的总长度的最大值．
题型四：转化为角的范围
【例4】（23-24高一下·四川自贡·期末）在中，内角所对的边分别为．
(1)若，求证：；
(2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围．
(3)若为锐角且，求周长的最小值．
【变式4-1】（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，内角所对的边分别是，．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且满足，，
①求的值；
②求的取值范围．
【变式4-2】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知，
(1)求的大小；
(2)求的取值范围.
题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题
【例5】（23-24高一下·浙江台州·期中）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【变式5-1】（23-24高一下·吉林·期末）已知在中，满足（其中分别是角的对边）.
(1)求角的大小；
(2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积；
(3)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【变式5-2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且．
(1)求的取值范围；
(2)若，求面积的取值范围．
【强化训练】
1．（24-25高一下·重庆江北·期中）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点；
②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且．
(1)判断的形状；
(2)若的周长为，求的最小值；
(3)若，求实数t的最小值．
2．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
(1)求；
(2)若，，，求的面积；
(3)若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值.
3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求；
(2)若，，且点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求的最小值．
4．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在中，分别是角的对边，且
(1)求的大小；
(2)若，求的值；
(3)若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求线段长的最小值．
5．（24-25高一下·浙江·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，，，设点为的费马点，记，，．
(1)若，
①求；
②若，求的值；
(2)若，，求实数的最小值．
6．（24-25高一下·河南新乡·期中）在直角边均大于1的直角三角形中，若两条直角边与单位圆均相切，则称该单位圆为直角三角形的伴生圆.
(1)在直角中，，，，证明：的伴生圆与内切圆重合.
(2)在等腰直角中，，为等腰直角的伴生圆上的一个动点.
①判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
②若非零实数，，满足，当取最小值时，求的值.
7．（24-25高一下·山西·期中）如图，在中，是上一点，是上一点，且．
(1)已知在的垂直平分线上，且．
①求；
②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求．
(2)若是的角平分线，，求的最大值．
8．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设．
(1)用表示的面积；
(2)求的最大值．
9．（24-25高一下·江苏·期中）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答，
问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______．
(1)求角B；
(2)已知，D为线段AC上的一点．
①若BD是边AC上的高，求BD的最大值；
②若，求BD的最大值．
10．（24-25高一下·福建漳州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
(1)求；
(2)若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）
11．（24-25高一下·河南·期中）已知的内角的对边分别为，向量，且．
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若是边上的点，且平分，求的最大值．
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专题06 解三角形范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：求周长范围与最值问题
题型二：求面积范围与最值问题
题型三：求长度及长度之和范围与最值问题
题型四：转化为角的范围
题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题
【知识点梳理】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
【典型例题】
题型一：求周长范围与最值问题
【例1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积.
(1)求角A；
(2)若，求周长的取值范围.
【解析】（1）因为，，，
所以，则，即，
又，所以.
（2）的周长为，
因为，即，
因为，所以，
所以，则，即，
又，所以，即，
所以的周长的取值范围为.
【变式1-1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且.
(1)求角；
(2)若，求的面积的最大值；
(3)若，求的周长的取值范围.
【解析】（1）因为，，且，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，所以，则，
又，所以；
（2）因为，，
由余弦定理，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即的面积的最大值为；
（3）由（2）可知，
则，又，
所以，即，显然，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
即的周长的取值范围为.
【变式1-2】（23-24高一下·广东茂名·期中）设内角的对边分别为，已知，．
(1)求角；
(2)若，求的面积；
(3)求的周长的取值范围．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
即，
所以，
又，所以，则，
又，所以.
（2）因为，，，
由余弦定理得，
即， 解得，
所以的面积.
（3）因为，，
由正弦定理得，
因为，
所以
，
因为， 所以，，
所以， 即，
所以周长的取值范围为.
题型二：求面积范围与最值问题
【例2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，.
(1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？
(2)求烧烤区占地面积的最大值.
【解析】（1）在中，米，，
由余弦定理可得
，
所以，，
当且仅当米时，等号成立，
所以，要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，米.
（2）设米，则米，设，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，烧烤区面积的最大值为平方米.
【变式2-1】（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．
(1)求证：的周长为定值，并求出该定值；
(2)求面积的最小值．
【解析】（1）法一：设，，，，则，，
因为，所以，变形得①，
的周长为②，
将①变形得代入②，
所以，
又，所以，
所以的周长为定值2；
法二：延长至点，使，连接，
易得，则，，，
所以，则，
的周长为.
（2）法一：
，
由①得，当且仅当时取等号③，
将③变形得，，
所以或（舍去），
所以，
所以面积的最小值为，
法二：设，，则，，
由第一问知，，
所以，
因为，所以，展开得，
由基本不等式变形可得，解得，
所以，所以面积的最小值为.
【变式2-2】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．

(1)若，求文化介绍区域的面积；
(2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值．
【解析】（1）在中，有，，，
由余弦定理可得，
，
所以，.
又易知，则.
设，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，
.
在中，有，，，
由余弦定理可得，
.
所以有，
所以，，
此时
（2）不妨设，
在中，由余弦定理得.
由正弦定理可得，
整理可得.
又，
所以有，
化简可得.
则
.
又，所以，
所以，当，即时该式取最大值，
所以.
题型三：求长度及长度之和范围与最值问题
【例3】（23-24高一·浙江·期中）如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变.
(1)当时，求被灯光照到的区域的面积；
(2)求海岸线上被照到的线段长的最小值.
【解析】（1）在中，，
由正弦定理，得，所以，
在中，，
由正弦定理，得，所以，
所以；
（2）设A到EF的距离为，
由，得，
所以EF的最小值即为面积的最小值，
设，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
，
当且仅当时，取“”，
当面积最小时，由，得，
所以线段的最小值为.
【变式3-1】（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
【解析】（1）因为，
所以.
由正弦定理得，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，代入数据得.
因为的面积，
所以内切圆的半径.
（3）如图，设，，则，且.
因为，所以.
由正弦定理得，所以，
所以，其中，
故的最大值为.
【变式3-2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域的游览区，如图所示，其中三角形区域ABE为观赏区，四边形区域BCDE为游乐场活动区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为游览区的主要道路（不考虑宽度），且，，，，．
(1)求四边形的面积；
(2)求游览区的主要道路的总长度的最大值．
【解析】（1）如图，连接，
在中，由余弦定理得
，则，
∵，则，又，
∴，
在中，，，
由正弦定理可得，
∴，又，则，
所以，所以，
所以，，
所以.
（2）设，由，得，
在中，由正弦定理，
又，
∴
∴
，
又，
∴，
当，即时，取得最大值，
又，
则，
所以游览区的主要道路的总长度的最大值为.
题型四：转化为角的范围
【例4】（23-24高一下·四川自贡·期末）在中，内角所对的边分别为．
(1)若，求证：；
(2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围．
(3)若为锐角且，求周长的最小值．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，即，
因为，则，故，
可得或，即或（舍去），
所以．
（2）因为为锐角三角形，，所以，
由题意可得，解得；
因为，
因为，则，可得，
令，则在上单调递增，
且，可知，
所以的取值范围为．
（3）因为，
可得，
因为为锐角，则有：
若，即，则，
且在内单调递增，
可得，且，，
即，，
可得，不合题意；
若，即，则，
且在内单调递增，
可得，且，，
即，，
可得，不合题意；
若，即，则，，
即，，
可得，符合题意；
综上所述：，即，可得，
又因为，即，
可得，
当且仅当时，等号成立，
则，所以周长的最小值为.
【变式4-1】（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，内角所对的边分别是，．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且满足，，
①求的值；
②求的取值范围．
【解析】（1）由余弦定理，等式左边，
因为，所以，所以等式左边．
所以，化简得，
由正弦定理得，
因为，所以，
代入上式化简得．
因为，所以，所以，
即，因为，所以．
（2）①，所以AD是的平分线，
由（1）知，，所以，
在中，，
即，
化简得，则．
②在中，由正弦定理得．
即，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以．
因为．所以，所以，
所以的取值范围为．
【变式4-2】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知，
(1)求的大小；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）因为，
由余弦定理得，
整理得，
所以，
又，所以；
（2）由正弦定理得
，
因为，所以，
所以，所以，
而，
所以，则，
所以.
题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题
【例5】（23-24高一下·浙江台州·期中）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【解析】（1）由题设及正弦定理得，
∵，∴，
[法一]∵，∴或
当时，，，符合
当时，，即，得，舍
综上，.
[法二]∵，，
∴，
又∵，∴化简得，
∵，则，∴，∴
（2）由（1）知，又，∴，
正弦定理得，
∵为锐角三角形，∴，∴，
∴，
∴，∴，∴，
从而，即面积的取值范围是.
【变式5-1】（23-24高一下·吉林·期末）已知在中，满足（其中分别是角的对边）.
(1)求角的大小；
(2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积；
(3)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得
，
所以，又，
即，且，即.
（2）由等面积法：，
即，即，
由余弦定理得，
，则，
设外接圆半径为，则，，
则外接圆的面积为.
（3）由为锐角三角形可得，得，
则，
由，得，
又，
所以，
则.
【变式5-2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且．
(1)求的取值范围；
(2)若，求面积的取值范围．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得：
，则，
所以或，即或，
所以，
因为为锐角三角形，可得，即，
解得：，所以，，，
故的取值范围为.
（2）在中，由正弦定理可得
，又，
，
，
因为，
当时，，
当时，，
，
又，在上单调递增，
当时，的面积最小，最小值为.
综上所述，三角形面积的最小值为.
【强化训练】
1．（24-25高一下·重庆江北·期中）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点；
②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且．
(1)判断的形状；
(2)若的周长为，求的最小值；
(3)若，求实数t的最小值．
【解析】（1）因为，所以，
即，由正弦定理得.
所以，所以为直角三角形；.
（2）
由（1）知，所以的三个角都小于，
因为点为的费马点，所以.
由，得：，
整理得，
所以.
又的周长为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，
当且仅当时，取等号，所以，
又因为
，
所以的最小值为；
（3）由（2）知.
设，，
由得.
由余弦定理得：
在中，，
在中，，
在中，，
因为，所以，
整理得.
因为，当且仅当时等号成立，
所以，整理得，解得或者（舍去），
所以实数的最小值为.
2．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
(1)求；
(2)若，，，求的面积；
(3)若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值.
【解析】（1）由由正弦定理有
，
∵，，∴，整理得.
又∵，，，∴.
（2）由
∵，，，即
∴，
解得（舍）或.
∴；
（3）由已知有：
，
得，整理得
当且仅当时取到最小值，即取等号.
3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求；
(2)若，，且点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求的最小值．
【解析】（1），则，
，
，故.
（2）由（1）知，所以的三个角都小于，
由费马点定义知，
设，，，由，
整理得，整理得，
则.
（3）因为点为的费马点，所以，
设，，，，，，
由，得．
由余弦定理得，
，
，
由，得，
，又，，所以，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，所以，解得或（舍去），
故的最小值为．
4．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在中，分别是角的对边，且
(1)求的大小；
(2)若，求的值；
(3)若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求线段长的最小值．
【解析】（1），由正弦定理得
，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
（2）由（1）知，，
，
由正弦定理，得.
（3）因为，，
所以，
设，，
故，令，
解得，
由余弦定理得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故，即线段长的最小值为.
5．（24-25高一下·浙江·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，，，设点为的费马点，记，，．
(1)若，
①求；
②若，求的值；
(2)若，，求实数的最小值．
【解析】（1）①由正弦定理得，即，
所以，
又，所以.
②由①可知，所以的三个内角均小于，
则由费马点定义可知，，
则，
因为，
所以，
即，得，
所以.
（2）因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，则或.
当时，，为直角三角形；
当时，
则，
整理得，在三角形中不可能成立.
所以，为直角三角形.
如图，因为点为的费马点，所以，
设，即，，
则由得，.
在中，由余弦定理可得，
同理，在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得.
因为为直角三角形，，所以，
则，整理可得，
，
当且仅当，结合，解得时等号成立，
又，即，整理得，解得或（舍去），
所以实数的最小值为.
6．（24-25高一下·河南新乡·期中）在直角边均大于1的直角三角形中，若两条直角边与单位圆均相切，则称该单位圆为直角三角形的伴生圆.
(1)在直角中，，，，证明：的伴生圆与内切圆重合.
(2)在等腰直角中，，为等腰直角的伴生圆上的一个动点.
①判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
②若非零实数，，满足，当取最小值时，求的值.
【解析】（1）因为，，，所以，
设直角的内切圆的半径为，
则，即，
解得，
因为的伴生圆与内切圆的半径均为，
两条直角边与伴生圆均相切，两条直角边与内切圆均相切，
所以的伴生圆与内切圆重合；
（2）①以等腰直角的伴生圆的圆心为原点，平行于的直线为轴，
平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，设，
所以，，，
所以
，
所以是定值，定值为；

②因为，
即，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
则，
即，
令，，
所以，即，
由，解得且，
所以当取最小值时，，则，解得.
7．（24-25高一下·山西·期中）如图，在中，是上一点，是上一点，且．
(1)已知在的垂直平分线上，且．
①求；
②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求．
(2)若是的角平分线，，求的最大值．
【解析】（1）①因为是的垂直平分线，
所以，
则，
又，所以，则，
所以，则，
在中，，
所以；
②因为，所以，
又是的垂直平分线，所以外接圆的圆心在射线上，如图所示，
半径为；
同理可得外接圆的圆心在射线上，半径，
所以．
（2）因为是的角平分线，，
所以，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为1．
8．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设．
(1)用表示的面积；
(2)求的最大值．
【解析】（1）由条件可知，,,
中，，由正弦定理，，
所以，，
，
所以，
（2），，
，所以当时，的最大值为1，
此时的最大值是.
9．（24-25高一下·江苏·期中）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答，
问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______．
(1)求角B；
(2)已知，D为线段AC上的一点．
①若BD是边AC上的高，求BD的最大值；
②若，求BD的最大值．
【解析】（1）选择①：条件即，
由正弦定理可知，，
在中，，所以，，
所以，且，即，所以
选择②：条件即，
即，
在中，，所以，则，所以，所以
选择③：条件即，
所以，
在中，，所以．
（2）①因为的面积，所以
在中，由余弦定理得：
所以，从而
当且仅当取等．所以BD的最大值为
②由正弦定理得：，R为外接圆半径，
因为，
则
因为，故当，即时，取得最大值
则BD的最大值为
10．（24-25高一下·福建漳州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
(1)求；
(2)若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）
【解析】（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即，又，所以；
（2）若选条件①：
因为为的内心，所以，
由，得
因为，所以，
所以，即，
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件②：
因为为的垂心，且，
所以，
故，即，
又，
即，所以
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件③：
因为为的重心，且，所以，
又，故，
即，
即，所以
所以.
当且仅当时取最大值.
11．（24-25高一下·河南·期中）已知的内角的对边分别为，向量，且．
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若是边上的点，且平分，求的最大值．
【解析】（1）因为，所以，
即，即，
由余弦定理得，
化简得，所以，
又，所以．
（2）由余弦定理可知，即，
整理得，当且仅当时等号成立，即，
于是，当且仅当时等号成立，
又，所以，
所以，
即周长的取值范围为．
（3）因为，
所以，可得，
因为，当且仅当时等号成立，
又由（2）可知，，
所以，当且仅当时等号成立．
所以的最大值为．
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