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函数图象与几何图形动态分析—中考数学核心考点大综合专题
一、选择题
1．（2025九上·遵义期末）如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，以的速度沿着方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动．在运动过程中，与正方形重叠部分面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意，当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
∴当时，如图，重叠部分为梯形，
由题意，得：是等腰直角三角形，
∴，
则：，，
∴；
此时函数图象为开口向下的抛物线的一部分；
当时，如图，重叠部分为，
∴，
此时图象为平行于轴的直线的一部分；
当时，如图，重合部分为的面积，
此时，
∴，
此时图象为开口向上的抛物线的一部分；
综上，符合题意的只有选项A；
故答案为：A．
【分析】结合图形并利用三角形的面积公式和题型的面积公式求出阴影部分的面积，可得函数解析式，再结合解析式求出函数图象即可.
2．（2024九下·福田模拟）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（　　）．
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
3．（2024九上·汉阳期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
由题意得：，
而，则，
抛物线的对称轴平行于轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
∵四边形的周长，且都是定长，
∴的值最小时，即四边形的周长最小，
则在抛物线中，令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
∵点在点下方，且．
∴
故答案为：B．
【分析】将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，得到是平行四边形，即可得到，根据对称性得到，即可得到，故可得到是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，然后求出直线的解析式和抛物线的对称轴，解答即可．
4．（2024九上·越秀期中）如图，抛物线与x轴交于 A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上位于x轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点P从点A运动到点B的过程中，与的面积之和（　　）
A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6
C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：令，则或3，
即点A、B的坐标分别为：、，
设点P的横坐标为：m，
分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得：，
则与的面积之和，
故答案为：D．
【分析】分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H，先利用“AAS”证出，可得，再求出，最后利用三角形的面积公式求出答案即可.
5．（2024九下·潢川模拟）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（　　）
A．函数图象的横轴表示的长
B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点
C．两段抛物线的形状不同
D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵等边的边长为1，，
∴．
∴，
∴．
∵符合所给点．
∴横轴表示的长，故A错误；
如图：作于点D．
又∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵P为中点，
∴．
∴．
∴．
∴点H为的四等分点，故B错误；
当P在上时，为x，则，
∴．
当P在上时，为x，则，
∴，
∴．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误；
当时，点P在上，
∴，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据函数图形上的数据，再利用三角形的面积公式的计算方法分别列出函数解析式，再分别求解即可.
二、填空题
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（中等））如图，已知直线与轴，轴分别交于A，~B两点，是以为圆心，半径为1的圆上的一动点，连接PA，~PB．则面积的最大值是　 　
【答案】
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：直线与轴，轴分别交于A，~B两点，
点的坐标为点的坐标为，
即，由勾股定理得：，
过作于，连接AC，
圆上点到直线的最大距离是，
面积的最大值是，
故答案为：．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得A点的坐标为点的坐标为，即，由勾股定理得：，过作于，连接AC，根据三角形面积建立方程，解方程可得CM，则圆上点到直线的最大距离是，再根据三角形面积即可求出答案.
7．（2024九上·余姚期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设AB解析式为，将A、B两点代入可得
，解得，即
设
则四边形的面积为
，开口向下，对称轴为
∴当时，S有最大值，；
当时，S有最小值，；
∴，
故答案为：
【分析】设AB解析式为，将A、B两点代入求得AB解析式，设，则四边形的面积为，求解即可.
8．（2024九上·绍兴月考） 已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为　 　．
【答案】或或
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
故答案为：或或.
【分析】根据题意，表示出，，，若△ABC是直角三角形需分两种情况：①∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；②∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
三、解答题
9．（2024九上·四平期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为．
（1）当点D落在上时，x的值为______．
（2）当点D落在上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴；

（3）解：由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，
当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，，
∴，则，
又∵是正方形，
∴，则，
∴，则，
∴；
当时，如图，
，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得，再根据正方形性质可得，，，则，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，再根据正方形性质可得，，则，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，分情况讨论：当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，则；当时，根据直线平行性质可得，，则，则，再根据正方形性质可得，则，则，则，再根据割补法可得面积；当时，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴；
（3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，
当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，，
∴，则，
又∵是正方形，
∴，则，
∴，则，
∴；
当时，如图，
，
∴．
10．（2025·岳阳模拟）如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．
（1）求该拋物线的解析式；
（2）点是抛物线上一点，若平分，求点的坐标；
（3）如图，若点是抛物线上位于第一象限的一动点，连接，直线交轴于点，过点作直线交轴于点，连接，在点的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，求其值；若改变，求出它的变化范围．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：，
把代入上式得，得，
；
（2）解： 记与轴的交点为点，过点作于点，如图所示：
∵平分，
，，
∵，
∴当时，，
，，
，
，
，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得：，
，
联立，
解得：或（舍去），
将代入中，得，
；
（3）解：设点，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理可得：直线的解析式为：，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
线段的长度为，
，
四边形的面积不会改变，四边形的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将代入抛物线的解析式中，可求出的值即可求解；
（2）先利用勾股定理求得，再求出点的坐标，然后求出直线的解析式与二次函数解析式联立，求出点的坐标；
（3）先求出直线的解析式，再求得点的坐标，然后求得直线的解析式，根据，求出直线的解析式，从而可得点的坐标，求出，再根据求解．
（1）解：设抛物线的解析式为：，
把代入上式得，得，
；
（2）解： 记与轴的交点为点，过点作于点，如图所示：
又平分，
，，
由（1）得，当时，，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得：，
，
联立，
解得：或（舍去），
将代入中，得，
；
（3）解：设点，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理可得：直线的解析式为：，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
线段的长度为，
，
四边形的面积不会改变，四边形的面积为．
11．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y2），若图形F上存在一点N（x1，y2），且满足当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
（1）【初步理解】如图1， 图形F为线段AB， 点A（-1， 2）， B（3， 2）.
①试判断点M （1.5， 0） （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”
②请在图中画出点M所有可能的位置。（用阴影部分表示）
（2）【知识应用】①若图形F为直线y=b，二次函数y=ax2+2ax+a-图象上仅有一个“垂近点”，求b的值。
②如图2，若图形F为抛物线y=2-4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，请直接写出a的取值范围为 .
【答案】（1）解：①是；②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：①将y＝ax2＋2ax＋a 化成顶点式，y＝a（x＋1）2 ，
当a＜0时，b＝ ＋2＝，当a＞0时，b＝ 2＝ ，
∴b＝或b＝ ，
②1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】解：（1）①当x＝1.5时，|2 0|＝2≤2，
∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”，
故答案为：是；
②∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴A（a 1， 1），B（a＋1， 1），C（a＋1，1），D（a 1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝x2 4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当点P在y轴右侧时，a＞0，
如图2，当点M与点D重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝(a 1)2 4 1＝2，
解得：a＝1＋或a＝1 （不合题意，舍去），
如图3，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a＋1)2＋4＝2，
解得：a＝1或a＝ 3（舍），
当点P在y轴左侧时，a＜0，
如图4，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝(a＋1)2 4 1＝2，
解得：a＝ 1 或a＝ 1＋（舍），
如图4，当点M与点A重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a 1)2＋4＝2，
解得：a＝ 1或a＝3（舍），
∴当1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1时，正方形上存在抛物线y＝x2 4的“垂近点”．
故答案为：1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【分析】（1）①利用垂近点的定义列出算式求解即可；
②根据题意作出图形即可；
（2）①先将二次函数换为顶点式，再分类求出b的值即可；
②分类讨论，先分别画出图形并利用二次函数的性质分析求解即可.
12．（2025·涪城模拟）如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在矩形的边上从点出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为（秒），当点到达点时停止运动，过点作交于点．
（1）当与相似时，求的值．
（2）记的面积为，求关于的函数解析式．
（3）如图2，将沿翻折得，在点的运动过程中是否存在时刻，使的顶点恰好落在边上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：要使与相似，还需．
∴当点运动到时，．
此时，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，当点在上运动，即时，
由可得，
∴，
∴（当时也符合此式）．
如图2，当点在上运动，即时，．
此时，由可得，
∴．
∴．
又，
∴（当时也符合此式）．
∴

（3）解：存在．当点在上运动时，假设时刻点恰好落在上，则连接，令交于点，如图3．
由对称性可知：，．
在和中，
∴，
∴，即是的中点，
∴此时点与点重合，．
由得，
∴．
当点在上运动时，由对称性可知不存在满足条件的时刻．
综上所述，．
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例得到，代入数值计算解题；
（2）分点在上运动，点在上运动两种情况，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到关于的函数解析式即可；
（3）连接，令交于点，即可得到，进而得到AO'=CO'，然后利用余弦的定义求出AP长解题即可．
（1）解：要使与相似，还需．
∴当点运动到时，．
此时，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，当点在上运动，即时，
由可得，
∴，
∴（当时也符合此式）．
如图2，当点在上运动，即时，．
此时，由可得，
∴．
∴．
又，
∴（当时也符合此式）．
∴
（3）解：存在．
当点在上运动时，假设时刻点恰好落在上，则连接，令交于点，如图3．
由对称性可知：，．
在和中，
∴，
∴，即是的中点，
∴此时点与点重合，．
由得，
∴．
当点在上运动时，由对称性可知不存在满足条件的时刻．
综上所述，．
13．（2025·长沙模拟）如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点．
（1）求的度数；
（2）填空：
①______________，②______________，③______________；
（3）记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为．
①若，求的值；
②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在菱形中，，，
，
，，则，
是等边三角形，则，
在和中，
，
，
，
；
（2）1，0，1
（3）解：①由（2）中③可知：，
，
由（2）中②可知：，
，
，
，
，
，
，
设、的高为，
；
②，
，
，
，
，
同理可证明，
，
设，
，
当时，的值最小，最小值为．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
（2）
解：①由（1）知，，
；
②由（1）知，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
，
，
，，
；
③，，
，
，
，则；
，，
，
，
，则；
；
故答案为：①；②；③；
【分析】
（1）先由菱形性质可得∠B=∠D=∠ACD=∠BAC=60°，根据有两个角为60度的三角形是等边三角形可得△ACD是等边三角形，由等边三角形的各边都相等可得AC=DC，用边角边可证△AEC≌△DFC，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据角的和差和等式的性质可求解；
（2）用相似三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定找出线段之间的比例关系进行计算即可求解；
（3）①根据已知条件结合相似三角形的性质可求解；
②根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AFG∽△ACE，△AGE∽△AFC，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得与x之间的函数关系式，将这个关系式配成顶点式，根据二次函数的性质可求解．
（1）解：在菱形中，，，
，
，，则，
是等边三角形，则，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：①由（1）知，，
；
②由（1）知，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
，
，
，，
；
③，，
，
，
，则；
，，
，
，
，则；
；
故答案为：①；②；③；
（3）解：①由（2）中③可知：，
，
由（2）中②可知：，
，
，
，
，
，
，
设、的高为，
；
②，
，
，
，
，
同理可证明，
，
设，
，
当时，的值最小，最小值为．
14．（2024九上·怀化期末）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：
（1）_______，_______，_______，_______．
（2）当t为何值时，．
（3）设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式．
【答案】（1）t；5-t；t；4-t
（2）如图所示，
∵，∴
∴，
∵，，.
∴，
即，
解得
（3）解：如图所示，作于点D，交的延长线于点，
∵，
则四边形为矩形，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴的面积为：，
∴
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：，，
，
由题得：，，，.
故答案为：t；5-t；t；4-t.
【分析】（1）根据勾股定理得到，结合图形解题即可；
（2）先得到，即可得到，整理得到，即可解题；
（3）作于点D，交的延长线于点，可以得到，，进而得到，然后利用三角形的面积公式得到y关于t的函数关系式即可.
（1），，
，
由题得：，，，.
（2）如图所示，∵，
∴
∴，
∵，，.
∴，
即，
解得
（3）如图所示，作于点D，交的延长线于点，
∵，
则四边形为矩形，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴的面积为：，
∴
1 / 1函数图象与几何图形动态分析—中考数学核心考点大综合专题
一、选择题
1．（2025九上·遵义期末）如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，以的速度沿着方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动．在运动过程中，与正方形重叠部分面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·福田模拟）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（　　）．
A．1 B． C． D．2
3．（2024九上·汉阳期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·越秀期中）如图，抛物线与x轴交于 A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上位于x轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点P从点A运动到点B的过程中，与的面积之和（　　）
A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6
C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8
5．（2024九下·潢川模拟）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（　　）
A．函数图象的横轴表示的长
B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点
C．两段抛物线的形状不同
D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为
二、填空题
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（中等））如图，已知直线与轴，轴分别交于A，~B两点，是以为圆心，半径为1的圆上的一动点，连接PA，~PB．则面积的最大值是　 　
7．（2024九上·余姚期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是　 　．
8．（2024九上·绍兴月考） 已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为　 　．
三、解答题
9．（2024九上·四平期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为．
（1）当点D落在上时，x的值为______．
（2）当点D落在上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
10．（2025·岳阳模拟）如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．
（1）求该拋物线的解析式；
（2）点是抛物线上一点，若平分，求点的坐标；
（3）如图，若点是抛物线上位于第一象限的一动点，连接，直线交轴于点，过点作直线交轴于点，连接，在点的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，求其值；若改变，求出它的变化范围．
11．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y2），若图形F上存在一点N（x1，y2），且满足当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
（1）【初步理解】如图1， 图形F为线段AB， 点A（-1， 2）， B（3， 2）.
①试判断点M （1.5， 0） （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”
②请在图中画出点M所有可能的位置。（用阴影部分表示）
（2）【知识应用】①若图形F为直线y=b，二次函数y=ax2+2ax+a-图象上仅有一个“垂近点”，求b的值。
②如图2，若图形F为抛物线y=2-4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，请直接写出a的取值范围为 .
12．（2025·涪城模拟）如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在矩形的边上从点出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为（秒），当点到达点时停止运动，过点作交于点．
（1）当与相似时，求的值．
（2）记的面积为，求关于的函数解析式．
（3）如图2，将沿翻折得，在点的运动过程中是否存在时刻，使的顶点恰好落在边上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
13．（2025·长沙模拟）如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点．
（1）求的度数；
（2）填空：
①______________，②______________，③______________；
（3）记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为．
①若，求的值；
②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
14．（2024九上·怀化期末）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：
（1）_______，_______，_______，_______．
（2）当t为何值时，．
（3）设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意，当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
∴当时，如图，重叠部分为梯形，
由题意，得：是等腰直角三角形，
∴，
则：，，
∴；
此时函数图象为开口向下的抛物线的一部分；
当时，如图，重叠部分为，
∴，
此时图象为平行于轴的直线的一部分；
当时，如图，重合部分为的面积，
此时，
∴，
此时图象为开口向上的抛物线的一部分；
综上，符合题意的只有选项A；
故答案为：A．
【分析】结合图形并利用三角形的面积公式和题型的面积公式求出阴影部分的面积，可得函数解析式，再结合解析式求出函数图象即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
由题意得：，
而，则，
抛物线的对称轴平行于轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
∵四边形的周长，且都是定长，
∴的值最小时，即四边形的周长最小，
则在抛物线中，令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
∵点在点下方，且．
∴
故答案为：B．
【分析】将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，得到是平行四边形，即可得到，根据对称性得到，即可得到，故可得到是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，然后求出直线的解析式和抛物线的对称轴，解答即可．
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：令，则或3，
即点A、B的坐标分别为：、，
设点P的横坐标为：m，
分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得：，
则与的面积之和，
故答案为：D．
【分析】分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H，先利用“AAS”证出，可得，再求出，最后利用三角形的面积公式求出答案即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵等边的边长为1，，
∴．
∴，
∴．
∵符合所给点．
∴横轴表示的长，故A错误；
如图：作于点D．
又∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵P为中点，
∴．
∴．
∴．
∴点H为的四等分点，故B错误；
当P在上时，为x，则，
∴．
当P在上时，为x，则，
∴，
∴．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误；
当时，点P在上，
∴，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据函数图形上的数据，再利用三角形的面积公式的计算方法分别列出函数解析式，再分别求解即可.
6．【答案】
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：直线与轴，轴分别交于A，~B两点，
点的坐标为点的坐标为，
即，由勾股定理得：，
过作于，连接AC，
圆上点到直线的最大距离是，
面积的最大值是，
故答案为：．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得A点的坐标为点的坐标为，即，由勾股定理得：，过作于，连接AC，根据三角形面积建立方程，解方程可得CM，则圆上点到直线的最大距离是，再根据三角形面积即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设AB解析式为，将A、B两点代入可得
，解得，即
设
则四边形的面积为
，开口向下，对称轴为
∴当时，S有最大值，；
当时，S有最小值，；
∴，
故答案为：
【分析】设AB解析式为，将A、B两点代入求得AB解析式，设，则四边形的面积为，求解即可.
8．【答案】或或
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
故答案为：或或.
【分析】根据题意，表示出，，，若△ABC是直角三角形需分两种情况：①∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；②∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
9．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴；

（3）解：由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，
当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，，
∴，则，
又∵是正方形，
∴，则，
∴，则，
∴；
当时，如图，
，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得，再根据正方形性质可得，，，则，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，再根据正方形性质可得，，则，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，分情况讨论：当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，则；当时，根据直线平行性质可得，，则，则，再根据正方形性质可得，则，则，则，再根据割补法可得面积；当时，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴；
（3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，
当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，，
∴，则，
又∵是正方形，
∴，则，
∴，则，
∴；
当时，如图，
，
∴．
10．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：，
把代入上式得，得，
；
（2）解： 记与轴的交点为点，过点作于点，如图所示：
∵平分，
，，
∵，
∴当时，，
，，
，
，
，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得：，
，
联立，
解得：或（舍去），
将代入中，得，
；
（3）解：设点，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理可得：直线的解析式为：，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
线段的长度为，
，
四边形的面积不会改变，四边形的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将代入抛物线的解析式中，可求出的值即可求解；
（2）先利用勾股定理求得，再求出点的坐标，然后求出直线的解析式与二次函数解析式联立，求出点的坐标；
（3）先求出直线的解析式，再求得点的坐标，然后求得直线的解析式，根据，求出直线的解析式，从而可得点的坐标，求出，再根据求解．
（1）解：设抛物线的解析式为：，
把代入上式得，得，
；
（2）解： 记与轴的交点为点，过点作于点，如图所示：
又平分，
，，
由（1）得，当时，，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得：，
，
联立，
解得：或（舍去），
将代入中，得，
；
（3）解：设点，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理可得：直线的解析式为：，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
线段的长度为，
，
四边形的面积不会改变，四边形的面积为．
11．【答案】（1）解：①是；②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：①将y＝ax2＋2ax＋a 化成顶点式，y＝a（x＋1）2 ，
当a＜0时，b＝ ＋2＝，当a＞0时，b＝ 2＝ ，
∴b＝或b＝ ，
②1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】解：（1）①当x＝1.5时，|2 0|＝2≤2，
∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”，
故答案为：是；
②∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴A（a 1， 1），B（a＋1， 1），C（a＋1，1），D（a 1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝x2 4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当点P在y轴右侧时，a＞0，
如图2，当点M与点D重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝(a 1)2 4 1＝2，
解得：a＝1＋或a＝1 （不合题意，舍去），
如图3，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a＋1)2＋4＝2，
解得：a＝1或a＝ 3（舍），
当点P在y轴左侧时，a＜0，
如图4，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝(a＋1)2 4 1＝2，
解得：a＝ 1 或a＝ 1＋（舍），
如图4，当点M与点A重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a 1)2＋4＝2，
解得：a＝ 1或a＝3（舍），
∴当1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1时，正方形上存在抛物线y＝x2 4的“垂近点”．
故答案为：1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【分析】（1）①利用垂近点的定义列出算式求解即可；
②根据题意作出图形即可；
（2）①先将二次函数换为顶点式，再分类求出b的值即可；
②分类讨论，先分别画出图形并利用二次函数的性质分析求解即可.
12．【答案】（1）解：要使与相似，还需．
∴当点运动到时，．
此时，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，当点在上运动，即时，
由可得，
∴，
∴（当时也符合此式）．
如图2，当点在上运动，即时，．
此时，由可得，
∴．
∴．
又，
∴（当时也符合此式）．
∴

（3）解：存在．当点在上运动时，假设时刻点恰好落在上，则连接，令交于点，如图3．
由对称性可知：，．
在和中，
∴，
∴，即是的中点，
∴此时点与点重合，．
由得，
∴．
当点在上运动时，由对称性可知不存在满足条件的时刻．
综上所述，．
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例得到，代入数值计算解题；
（2）分点在上运动，点在上运动两种情况，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到关于的函数解析式即可；
（3）连接，令交于点，即可得到，进而得到AO'=CO'，然后利用余弦的定义求出AP长解题即可．
（1）解：要使与相似，还需．
∴当点运动到时，．
此时，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，当点在上运动，即时，
由可得，
∴，
∴（当时也符合此式）．
如图2，当点在上运动，即时，．
此时，由可得，
∴．
∴．
又，
∴（当时也符合此式）．
∴
（3）解：存在．
当点在上运动时，假设时刻点恰好落在上，则连接，令交于点，如图3．
由对称性可知：，．
在和中，
∴，
∴，即是的中点，
∴此时点与点重合，．
由得，
∴．
当点在上运动时，由对称性可知不存在满足条件的时刻．
综上所述，．
13．【答案】（1）解：在菱形中，，，
，
，，则，
是等边三角形，则，
在和中，
，
，
，
；
（2）1，0，1
（3）解：①由（2）中③可知：，
，
由（2）中②可知：，
，
，
，
，
，
，
设、的高为，
；
②，
，
，
，
，
同理可证明，
，
设，
，
当时，的值最小，最小值为．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
（2）
解：①由（1）知，，
；
②由（1）知，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
，
，
，，
；
③，，
，
，
，则；
，，
，
，
，则；
；
故答案为：①；②；③；
【分析】
（1）先由菱形性质可得∠B=∠D=∠ACD=∠BAC=60°，根据有两个角为60度的三角形是等边三角形可得△ACD是等边三角形，由等边三角形的各边都相等可得AC=DC，用边角边可证△AEC≌△DFC，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据角的和差和等式的性质可求解；
（2）用相似三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定找出线段之间的比例关系进行计算即可求解；
（3）①根据已知条件结合相似三角形的性质可求解；
②根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AFG∽△ACE，△AGE∽△AFC，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得与x之间的函数关系式，将这个关系式配成顶点式，根据二次函数的性质可求解．
（1）解：在菱形中，，，
，
，，则，
是等边三角形，则，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：①由（1）知，，
；
②由（1）知，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
，
，
，，
；
③，，
，
，
，则；
，，
，
，
，则；
；
故答案为：①；②；③；
（3）解：①由（2）中③可知：，
，
由（2）中②可知：，
，
，
，
，
，
，
设、的高为，
；
②，
，
，
，
，
同理可证明，
，
设，
，
当时，的值最小，最小值为．
14．【答案】（1）t；5-t；t；4-t
（2）如图所示，
∵，∴
∴，
∵，，.
∴，
即，
解得
（3）解：如图所示，作于点D，交的延长线于点，
∵，
则四边形为矩形，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴的面积为：，
∴
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：，，
，
由题得：，，，.
故答案为：t；5-t；t；4-t.
【分析】（1）根据勾股定理得到，结合图形解题即可；
（2）先得到，即可得到，整理得到，即可解题；
（3）作于点D，交的延长线于点，可以得到，，进而得到，然后利用三角形的面积公式得到y关于t的函数关系式即可.
（1），，
，
由题得：，，，.
（2）如图所示，∵，
∴
∴，
∵，，.
∴，
即，
解得
（3）如图所示，作于点D，交的延长线于点，
∵，
则四边形为矩形，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴的面积为：，
∴
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