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代数与几何的推理与证明—中考数学核心考点大综合专题
一、选择题
1．（2024九上·龙华期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：，
；
按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．
故答案为：B.
【分析】参照题干中的定义及配方的计算方法分析求解即可.
2．（2025·龙湾模拟）如图，在等腰直角三角形中，，是上一点，，连接，作，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的混合运算；等腰直角三角形；8字型相似模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵等腰直角△ABC中，，
∴，
又∵
∴
∴
∴即
解得：
∴，，都不是定值，故A、B、C选项都不符合题意；
∴是定值，故D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，根据等腰直角三角形的性质得AG=CG=4，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得AG∥CE，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△ECF，由相似三角形对应边成比例得出，进而逐项分析判断，即可求解．
3．如图 是由 4 个全等的大正方形和 5 个全等的小正方形组成的图形． 若要求线段 分别是某个正方形的顶点) 的长度， 只需要知道顶点 与正方形 某个顶点之间的距离即可， 这个点是(　　)
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【知识点】整式的混合运算；勾股定理
【解析】【解答】解：设黑色正方形的边长为，白色正方形的边长为，则，，
∴，即，
∴只知道的长即可求出的长；
故答案为：B
【分析】设黑色正方形的边长为，白色正方形的边长为，根据勾股定理即可得到，，进而根据整式的混合运算得到，即，从而即可得到只知道的长即可求出的长，再结合题意即可求解。
4．（2024·滨州） 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，
由切线长定理可得AE=AF，BD=BF，CD=CE，
AC⊥BC，
四边形CDOE是正方形，
CD=CE=OD=OE=，
AE=b-，BD=BF=a-，
AF=c-BF=c-（a-）=c-a+，
AE=AF，
b-=c-a+，
整理得 ，故A选项正确，不符合题意；
，
整理得 ，故B选项正确，不符合题意；
∵d=a+b-c，
，
是直角三角形，
，
，故C选项正确，不符合题意；
令a=3，b=4，c=5，
则=3+4-5=2，
，
，D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，先证四边形CDOE是正方形，再结合切线长定理可判断A选项；利用可判断B选项；利用，结合勾股定理和完全平方公式可判断C选项；选取特殊值可判断D选项.
5．（2024九下·杭州模拟）如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；垂线段最短及其应用；不等式的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在△ABD和△CAD中，
，
∴，
∴即：，整理得：，因此结论①正确，
②设BC的中点为E，连接AE，如下图所示：
∵∠BAC=90°，
∴AE=BC=，
根据“垂线段最短”得：AE≥AD，
∴≥c，
即a+b≥2c，因此结论②正确，
③∵，
∴b=，
又∵a＞b，
∴，
∵a＞0，c＞0，
∴，
即a＞c，因此结论③正确，
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：．
【分析】①根据已知条件易证△ABD和△CAD相似，再根据相似三角形的性质可对结论①进行判断；②设设BC的中点为E，连接AE，则AE=BC=，根据“垂线段最短”得：AE≥AD，即≥c，由此可对结论②进行判断；③先由得b=，再根据a＞b得，由此根据不等式的性质可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案.
二、填空题
6．（2025·武威模拟）将2张长为a，宽为的长方形纸片沿对角线剪裁后，和2张边长为b的小正方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的大正方形，若阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为1：2，则　 　．
【答案】5
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意结合图形可得：
图中阴影部分的面积为：=
图中空白部分的面积为：
∵阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为1：2
∴：=1：2
∴=2（）
∴=-1（不合题意舍弃），=5．
故答案为：5．
【分析】根据题意结合图形表示出阴影部分和空白部分的面积，然后再根据他们之比为1：2列式，再运用一元二次方程求解即可．
7．（2024九上·光明开学考）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为　 　．
【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，BD＝AB，
∴∠ABD+∠1＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，
∴CD2+BC2＝AC2，
∵CD＝a，BC＝b，AC＝4，
∴a2+b2＝32，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab，
∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，b是直角边，
∴S△CDE＝ab，
当a＝b时，三角形的面积最大，此时a＝b＝4，
∴ab＝16，
∴（a+b）2的最大值为64，
∴a+b的最大值为8，
故答案为：8．
【分析】
过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，得到等边△BCE，进而证明出△ABC≌△DBE，再由勾股定理得a2+b2＝32，根据完全平方公式（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab，故a＝b时，a+b的值最大即可．
8．（2024九下·丽水模拟）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，则图1阴影部分的面积是　 　；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是　 　．
【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；转化思想
【解析】【解答】解：（1），图1阴影部分的面积是，
故答案为：25；
（2）∵图1阴影部分的面积为3，
∴，
∵，．
∴(am-bn)2=4，(an+bm)2=16，
即a2m2-2abmn+b2n2=4①，a2n2+b2m2+2abmn=16②，
①+②得a2m2+b2n2+a2n2+b2m2=20，
∴(a2+b2)(m2+n2)=20，
∴3(m2+n2)=20，
∴m2+n2=，
∴在图2中，S阴影=S四边形ABCD-(m2+n2)=5-=.
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的面积公式及阴影部分的面积等于两个正方形面积之和进行计算即可求解；
（2）根据正方形面积计算公式由“ 图1阴影部分的面积为3”可得a2+b2=3，将am-bn=2及an-bm=4两个等式两边分别平方后再相加可得(a2+b2)(m2+n2)=20，进而可得m2+n2=，然后根据S阴影=S四边形ABCD-(m2+n2)整体代入计算即可.
9．（2023九上·杭州月考）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连结AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：　 　；②m＝　 　（用含S1，S3的代数式表示m）．
【答案】；
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①设四个全等的直角三角形的较短的直角边为 较长的直角边为 斜边为
则
∴AB=BC=CD=AD=a+b，EH=HG=GF=EF=c，KL=LI=IJ=JK=b-a，
S正方形ABCD=
S正方形EFGH=
正方形IJKL的面积为：
∵S1=（a+b）2=a2+2ab+b2，S3=（b-a）2=a2-2ab+b2，
∴S1+S3=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=2a2+2b2=2（a2+b2）=2S2，
即S1+S3=2S2；
②由轴对称的性质可得： 由正方形EFGH的性质可得：
同理可得：
∵四边形EFGH是正方形，
∴
同理可得：
四边形是矩形，
四边形IJKL是正方形，
在△MKL和△PJK中
∴△MKL≌△PJK（ASA），
同理可得：
∴MK=PJ=OI=LN，ML=NI=OJ=PK，
∴MN=ON=OP=MP，
四边形是正方形，
由
正方形ABCD的面积为：
正方形EFGH的面积为：
正方形IJKL的面积为：
故答案为：①，②
【分析】
①设四个全等的直角三角形的较短的直角边为 较长的直角边为 斜边为于是正方形ABCD，EFGH，IJKL的 边长可分别用含a、b的代数式表示出来，则 根据正方形的面积公式可将正方形ABCD的面积S1、 正方形EFGH的面积S2、 正方形IJKL的面积的面积S3表示出来，根据完全平方公式和整式的加减及等式的性质即可求解；
②由轴对称的性质可得： 由正方形EFGH的性质可得： 可得 同理： 证明 同理：结合已知条件用角边角可证 同理： 可得四边形是正方形，由相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证 由相似三角形的性质可得比例式 解方程可得 然后根据正方形的面积公式可求解．
三、解答题
10．（2024九下·河北模拟）【阅读】要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则．
【应用】（1）若，在实数范围内比较大小：______（填“>”、“<”或“=”）；
【拓展】（2）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图11所示，面积分别为和，用含m的式子表示和，并用作差法比较与的大小．
【答案】（1）＞；
解：（2），，
．
∵，
∴，
∴．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1）∵，
∵，
∴，
∴；
【分析】（1）由，再根据偶次方的非负性即可求出答案.
（2）先分别求解和，再计算，再结合完全平方公式与非负数的性质即可求出答案.
11．（2024九下·绍兴月考）如图，C为线段AB上一点，AC＝4，BC＝2，射线CD⊥AB于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
（1）【发现、提出问题】①当PC＝3时，求PA2﹣PB2的值；
②小亮发现PC取不同值时，PA2﹣PB2的值存在一定规律，请猜想该规律 ▲ ．
（2）【分析、解决问题】请证明你的猜想．
（3）【运用】当PA﹣PB＝1时，△PAB的周长为 　 　．
【答案】（1）解：①∵AC＝4，BC＝2，PC＝3，CD⊥AB，
∴PA＝5，，
∴PA2﹣PB2＝25﹣13＝12．
②PA2﹣PB2＝12
（2）解：设PC＝x，则有PA2＝42+x2＝16+x2，PB2＝22+x2＝4+x2，
∴PA2﹣PB2＝（16+x2）﹣（4+x2）＝12．
∵CD⊥AB，
∴PA2＝AC2+PC2，PB2＝BC2+PC2，
∴PA2﹣PB2＝（AC2+PC2）﹣（BC2+PC2），
∴PA2﹣PB2＝AC2﹣BC2＝12
（3）12
【知识点】平方差公式及应用；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）②当PC取不同值时，为定值12
故答案为
（3）由（1）得，
即
，，
的周长为．
故答案为：18
【分析】（1）①先利用勾股定理求出、的值，再计算的值，可求出答案；
②根据勾股定理可猜想为定值12；
（2）设，先利用勾股定理求出、的值，再代入PA2﹣PB2计算可得：PA2﹣PB2＝12，先利用勾股定理进行表示可得：PA2＝AC2+PC2，PB2＝BC2+PC2，再代入PA2﹣PB2进行化简可证明结论；
（3）根据，利用平方差公式化简可求出，再利用线段的运算可求出AB，利用三角形的周长计算公式可求出的周长．
12．（2024九上·湘西期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】（　　）解：∵一元二次方程两个根为，
∴，；
故答案为：2，.
（2）解：∵，，
∴
∴；
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得答案；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再计算即可；
（3）先求出，，再将代数式变形为，再计算即可．
13．（2024九上·凯里期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
①，
∵，∴．因此代数式有最小值；
②．
∵，∴．因此，代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最大值为________；
（2）求代数式的最小值；
（3）如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
∴代数式的最小值为；
（3）解：，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形面积的最大值为18．
【知识点】完全平方公式及运用；二次函数的最值
【解析】【解答】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最大值为13，
故答案为：13；
【分析】（1）利用配方法行求解即可；
（2）利用配方法把代数式变形，然后根据非负性求出式子的最小值即可；
（3）根据，设，得到，然后根据二次函数的最值解题即可．
（1）解：，
∵，
∴，
∴的最大值为13，
故答案为：13；
（2）解：
∵，，
∴，
∴代数式的最小值为；
（3）解：，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形面积的最大值为18．
14．（2024九下·长沙模拟）如图，四边形内接于，对角线交于点，连接．若的半径为．
（1）若，求证：平分；
（2）试用含的式子表示的值；
（3）记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：．
【答案】（1）解：连接、，由，得：，
又∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴
∴，即：平分．
（2）解：如图，作，，，连接、，得四边形为矩形，，
根据垂径定理得
则
即：
（3）证明由两边同时平方化简得：∵（等高，面积之比等于底之比）
∴
∴
∴，，即，
因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等
，
∴，
∴，
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可得到，然后根据等角对等边得得到；即可证明，解题即可；
（2）作，，，连接、，得到矩形，然后利用垂径定理和勾股定理计算解题即可；
（3）根据面积关系整理可得，即可得到，然后根据弧、弦、圆心角的关系得到结论即可．
15．（2025·浙江模拟）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立.
（1）观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：（a+b)（a-b)=a2-b2：
等式B：（a+b)2=a2+2ab+b2：
可知，图②对应等式　 　；图③对应等式　 　.
（2）如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S1，S2，S3，S4.求的值.
【答案】（1）B；A
（2）解：设 ，则CD=a+b，如图，
∵AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，
∴AG=AD+DG=a+2b，
∵EG⊥AC，
∴∠EGC=∠EGD=90°，
∴∠GEC=∠GCE=45°，
∴CG=EG=a，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴四边形DFEG是矩形，
∴EF=DG=b，FD=EG=a，
∴BF=BD-FD=b，
∴，
∵AH∥BC，
∴∠HAG=∠ACB=45°，
∴∠H=∠HAG=45°，
∴AG=GH=a+2b，
∴
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；数形结合
【解析】【解答】解：（1）图②是由两个小长方形方形和两个小正方形组成的大正方形，其面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为a2+2ab+b2，因此对应的等式是：（a+b)2=a2+2ab+b2 ，即等式B；
图③面积可以表示为(a+b)(a-b)，也可以表示为a2-b2，因此对应的等式是： （a+b)（a-b)=a2-b2，即等式A；
故答案为：B，A；
【分析】（1） 用两种不同的方法表示出同一个图形的面积，根据整个图形的面积等于各个部分面积这和列出等式，即可判断得出答案；
（2）设CG=a，DG=b，由等腰直角三角形性质得∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，判断出△ABD、△CEG及△AGH都是等腰直角三角形，四边形DFEG是矩形，得CG=EG=a，EF=DG=b，FD=EG=a，AG=GH=a+2b，进而根据直角三角形面积计算公式分别表示出S1、S2、S3、S4，再代入化简即可.
1 / 1代数与几何的推理与证明—中考数学核心考点大综合专题
一、选择题
1．（2024九上·龙华期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·龙湾模拟）如图，在等腰直角三角形中，，是上一点，，连接，作，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图 是由 4 个全等的大正方形和 5 个全等的小正方形组成的图形． 若要求线段 分别是某个正方形的顶点) 的长度， 只需要知道顶点 与正方形 某个顶点之间的距离即可， 这个点是(　　)
A．点 B．点 C．点 D．点
4．（2024·滨州） 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·杭州模拟）如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
6．（2025·武威模拟）将2张长为a，宽为的长方形纸片沿对角线剪裁后，和2张边长为b的小正方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的大正方形，若阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为1：2，则　 　．
7．（2024九上·光明开学考）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为　 　．
8．（2024九下·丽水模拟）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，则图1阴影部分的面积是　 　；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是　 　．
9．（2023九上·杭州月考）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连结AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：　 　；②m＝　 　（用含S1，S3的代数式表示m）．
三、解答题
10．（2024九下·河北模拟）【阅读】要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则．
【应用】（1）若，在实数范围内比较大小：______（填“>”、“<”或“=”）；
【拓展】（2）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图11所示，面积分别为和，用含m的式子表示和，并用作差法比较与的大小．
11．（2024九下·绍兴月考）如图，C为线段AB上一点，AC＝4，BC＝2，射线CD⊥AB于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
（1）【发现、提出问题】①当PC＝3时，求PA2﹣PB2的值；
②小亮发现PC取不同值时，PA2﹣PB2的值存在一定规律，请猜想该规律 ▲ ．
（2）【分析、解决问题】请证明你的猜想．
（3）【运用】当PA﹣PB＝1时，△PAB的周长为 　 　．
12．（2024九上·湘西期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
13．（2024九上·凯里期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
①，
∵，∴．因此代数式有最小值；
②．
∵，∴．因此，代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最大值为________；
（2）求代数式的最小值；
（3）如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值．
14．（2024九下·长沙模拟）如图，四边形内接于，对角线交于点，连接．若的半径为．
（1）若，求证：平分；
（2）试用含的式子表示的值；
（3）记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：．
15．（2025·浙江模拟）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立.
（1）观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：（a+b)（a-b)=a2-b2：
等式B：（a+b)2=a2+2ab+b2：
可知，图②对应等式　 　；图③对应等式　 　.
（2）如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S1，S2，S3，S4.求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：，
；
按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．
故答案为：B.
【分析】参照题干中的定义及配方的计算方法分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】分式的混合运算；等腰直角三角形；8字型相似模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵等腰直角△ABC中，，
∴，
又∵
∴
∴
∴即
解得：
∴，，都不是定值，故A、B、C选项都不符合题意；
∴是定值，故D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，根据等腰直角三角形的性质得AG=CG=4，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得AG∥CE，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△ECF，由相似三角形对应边成比例得出，进而逐项分析判断，即可求解．
3．【答案】B
【知识点】整式的混合运算；勾股定理
【解析】【解答】解：设黑色正方形的边长为，白色正方形的边长为，则，，
∴，即，
∴只知道的长即可求出的长；
故答案为：B
【分析】设黑色正方形的边长为，白色正方形的边长为，根据勾股定理即可得到，，进而根据整式的混合运算得到，即，从而即可得到只知道的长即可求出的长，再结合题意即可求解。
4．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，
由切线长定理可得AE=AF，BD=BF，CD=CE，
AC⊥BC，
四边形CDOE是正方形，
CD=CE=OD=OE=，
AE=b-，BD=BF=a-，
AF=c-BF=c-（a-）=c-a+，
AE=AF，
b-=c-a+，
整理得 ，故A选项正确，不符合题意；
，
整理得 ，故B选项正确，不符合题意；
∵d=a+b-c，
，
是直角三角形，
，
，故C选项正确，不符合题意；
令a=3，b=4，c=5，
则=3+4-5=2，
，
，D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，先证四边形CDOE是正方形，再结合切线长定理可判断A选项；利用可判断B选项；利用，结合勾股定理和完全平方公式可判断C选项；选取特殊值可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；垂线段最短及其应用；不等式的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在△ABD和△CAD中，
，
∴，
∴即：，整理得：，因此结论①正确，
②设BC的中点为E，连接AE，如下图所示：
∵∠BAC=90°，
∴AE=BC=，
根据“垂线段最短”得：AE≥AD，
∴≥c，
即a+b≥2c，因此结论②正确，
③∵，
∴b=，
又∵a＞b，
∴，
∵a＞0，c＞0，
∴，
即a＞c，因此结论③正确，
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：．
【分析】①根据已知条件易证△ABD和△CAD相似，再根据相似三角形的性质可对结论①进行判断；②设设BC的中点为E，连接AE，则AE=BC=，根据“垂线段最短”得：AE≥AD，即≥c，由此可对结论②进行判断；③先由得b=，再根据a＞b得，由此根据不等式的性质可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案.
6．【答案】5
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意结合图形可得：
图中阴影部分的面积为：=
图中空白部分的面积为：
∵阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为1：2
∴：=1：2
∴=2（）
∴=-1（不合题意舍弃），=5．
故答案为：5．
【分析】根据题意结合图形表示出阴影部分和空白部分的面积，然后再根据他们之比为1：2列式，再运用一元二次方程求解即可．
7．【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，BD＝AB，
∴∠ABD+∠1＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，
∴CD2+BC2＝AC2，
∵CD＝a，BC＝b，AC＝4，
∴a2+b2＝32，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab，
∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，b是直角边，
∴S△CDE＝ab，
当a＝b时，三角形的面积最大，此时a＝b＝4，
∴ab＝16，
∴（a+b）2的最大值为64，
∴a+b的最大值为8，
故答案为：8．
【分析】
过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，得到等边△BCE，进而证明出△ABC≌△DBE，再由勾股定理得a2+b2＝32，根据完全平方公式（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab，故a＝b时，a+b的值最大即可．
8．【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；转化思想
【解析】【解答】解：（1），图1阴影部分的面积是，
故答案为：25；
（2）∵图1阴影部分的面积为3，
∴，
∵，．
∴(am-bn)2=4，(an+bm)2=16，
即a2m2-2abmn+b2n2=4①，a2n2+b2m2+2abmn=16②，
①+②得a2m2+b2n2+a2n2+b2m2=20，
∴(a2+b2)(m2+n2)=20，
∴3(m2+n2)=20，
∴m2+n2=，
∴在图2中，S阴影=S四边形ABCD-(m2+n2)=5-=.
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的面积公式及阴影部分的面积等于两个正方形面积之和进行计算即可求解；
（2）根据正方形面积计算公式由“ 图1阴影部分的面积为3”可得a2+b2=3，将am-bn=2及an-bm=4两个等式两边分别平方后再相加可得(a2+b2)(m2+n2)=20，进而可得m2+n2=，然后根据S阴影=S四边形ABCD-(m2+n2)整体代入计算即可.
9．【答案】；
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①设四个全等的直角三角形的较短的直角边为 较长的直角边为 斜边为
则
∴AB=BC=CD=AD=a+b，EH=HG=GF=EF=c，KL=LI=IJ=JK=b-a，
S正方形ABCD=
S正方形EFGH=
正方形IJKL的面积为：
∵S1=（a+b）2=a2+2ab+b2，S3=（b-a）2=a2-2ab+b2，
∴S1+S3=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=2a2+2b2=2（a2+b2）=2S2，
即S1+S3=2S2；
②由轴对称的性质可得： 由正方形EFGH的性质可得：
同理可得：
∵四边形EFGH是正方形，
∴
同理可得：
四边形是矩形，
四边形IJKL是正方形，
在△MKL和△PJK中
∴△MKL≌△PJK（ASA），
同理可得：
∴MK=PJ=OI=LN，ML=NI=OJ=PK，
∴MN=ON=OP=MP，
四边形是正方形，
由
正方形ABCD的面积为：
正方形EFGH的面积为：
正方形IJKL的面积为：
故答案为：①，②
【分析】
①设四个全等的直角三角形的较短的直角边为 较长的直角边为 斜边为于是正方形ABCD，EFGH，IJKL的 边长可分别用含a、b的代数式表示出来，则 根据正方形的面积公式可将正方形ABCD的面积S1、 正方形EFGH的面积S2、 正方形IJKL的面积的面积S3表示出来，根据完全平方公式和整式的加减及等式的性质即可求解；
②由轴对称的性质可得： 由正方形EFGH的性质可得： 可得 同理： 证明 同理：结合已知条件用角边角可证 同理： 可得四边形是正方形，由相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证 由相似三角形的性质可得比例式 解方程可得 然后根据正方形的面积公式可求解．
10．【答案】（1）＞；
解：（2），，
．
∵，
∴，
∴．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1）∵，
∵，
∴，
∴；
【分析】（1）由，再根据偶次方的非负性即可求出答案.
（2）先分别求解和，再计算，再结合完全平方公式与非负数的性质即可求出答案.
11．【答案】（1）解：①∵AC＝4，BC＝2，PC＝3，CD⊥AB，
∴PA＝5，，
∴PA2﹣PB2＝25﹣13＝12．
②PA2﹣PB2＝12
（2）解：设PC＝x，则有PA2＝42+x2＝16+x2，PB2＝22+x2＝4+x2，
∴PA2﹣PB2＝（16+x2）﹣（4+x2）＝12．
∵CD⊥AB，
∴PA2＝AC2+PC2，PB2＝BC2+PC2，
∴PA2﹣PB2＝（AC2+PC2）﹣（BC2+PC2），
∴PA2﹣PB2＝AC2﹣BC2＝12
（3）12
【知识点】平方差公式及应用；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）②当PC取不同值时，为定值12
故答案为
（3）由（1）得，
即
，，
的周长为．
故答案为：18
【分析】（1）①先利用勾股定理求出、的值，再计算的值，可求出答案；
②根据勾股定理可猜想为定值12；
（2）设，先利用勾股定理求出、的值，再代入PA2﹣PB2计算可得：PA2﹣PB2＝12，先利用勾股定理进行表示可得：PA2＝AC2+PC2，PB2＝BC2+PC2，再代入PA2﹣PB2进行化简可证明结论；
（3）根据，利用平方差公式化简可求出，再利用线段的运算可求出AB，利用三角形的周长计算公式可求出的周长．
12．【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】（　　）解：∵一元二次方程两个根为，
∴，；
故答案为：2，.
（2）解：∵，，
∴
∴；
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得答案；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再计算即可；
（3）先求出，，再将代数式变形为，再计算即可．
13．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
∴代数式的最小值为；
（3）解：，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形面积的最大值为18．
【知识点】完全平方公式及运用；二次函数的最值
【解析】【解答】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最大值为13，
故答案为：13；
【分析】（1）利用配方法行求解即可；
（2）利用配方法把代数式变形，然后根据非负性求出式子的最小值即可；
（3）根据，设，得到，然后根据二次函数的最值解题即可．
（1）解：，
∵，
∴，
∴的最大值为13，
故答案为：13；
（2）解：
∵，，
∴，
∴代数式的最小值为；
（3）解：，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形面积的最大值为18．
14．【答案】（1）解：连接、，由，得：，
又∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴
∴，即：平分．
（2）解：如图，作，，，连接、，得四边形为矩形，，
根据垂径定理得
则
即：
（3）证明由两边同时平方化简得：∵（等高，面积之比等于底之比）
∴
∴
∴，，即，
因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等
，
∴，
∴，
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可得到，然后根据等角对等边得得到；即可证明，解题即可；
（2）作，，，连接、，得到矩形，然后利用垂径定理和勾股定理计算解题即可；
（3）根据面积关系整理可得，即可得到，然后根据弧、弦、圆心角的关系得到结论即可．
15．【答案】（1）B；A
（2）解：设 ，则CD=a+b，如图，
∵AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，
∴AG=AD+DG=a+2b，
∵EG⊥AC，
∴∠EGC=∠EGD=90°，
∴∠GEC=∠GCE=45°，
∴CG=EG=a，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴四边形DFEG是矩形，
∴EF=DG=b，FD=EG=a，
∴BF=BD-FD=b，
∴，
∵AH∥BC，
∴∠HAG=∠ACB=45°，
∴∠H=∠HAG=45°，
∴AG=GH=a+2b，
∴
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；数形结合
【解析】【解答】解：（1）图②是由两个小长方形方形和两个小正方形组成的大正方形，其面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为a2+2ab+b2，因此对应的等式是：（a+b)2=a2+2ab+b2 ，即等式B；
图③面积可以表示为(a+b)(a-b)，也可以表示为a2-b2，因此对应的等式是： （a+b)（a-b)=a2-b2，即等式A；
故答案为：B，A；
【分析】（1） 用两种不同的方法表示出同一个图形的面积，根据整个图形的面积等于各个部分面积这和列出等式，即可判断得出答案；
（2）设CG=a，DG=b，由等腰直角三角形性质得∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，判断出△ABD、△CEG及△AGH都是等腰直角三角形，四边形DFEG是矩形，得CG=EG=a，EF=DG=b，FD=EG=a，AG=GH=a+2b，进而根据直角三角形面积计算公式分别表示出S1、S2、S3、S4，再代入化简即可.
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