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经济问题中的函数与方程—中考数学核心考点大综合专题
一、解答题
1．（2025·长沙模拟）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
（2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）解：∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设“神舟”模型的进价是x元，则“天宫”模型的进价是( 元，根据同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个，列出方程，解方程即可；
(2)根据题意列出函数解析式，根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ，求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值.
2．（2025·湖南模拟）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表：
种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格
进价（元/斤） 160 500
售价（元/斤） 200 600
该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤．
（1）若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？
（2）根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得．
根据题意，得
解得
答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤．
（2）解：设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤．
因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍，
所以，
解得．
设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元．
根据题意，得．
因为，
所以w随m的增大而减小．
又，
所以当时，w取得最大值，最大值为．
此时．
答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据购进A、B两种规格的茶共100斤列出方程x+y=100，根据单价乘以数量等于总价及购进A、B两种规格的茶共花费29600元列出方程160x+500y=29600，联立两方程，求解即可；
（2）设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶(100-m)斤，由A规格的进货量不低于B规格的3倍列出不等式求出m的取值范围；设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为w元，根据每千克茶叶的利润乘销售数量等于总利润可求出w关于m的一次函数解析式，再根据最后根据一次函数的性质确定最大值．
（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得．
根据题意，得
解得
答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤．
（2）设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤．
因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍，
所以，
解得．
设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元．
根据题意，得．
因为，
所以w随m的增大而减小．
又，
所以当时，w取得最大值，最大值为．
此时．
答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元．
3．（2025·湖南模拟）茶为国饮，湖南是中国茶文化的发源地，茶文化的发展也带动了茶艺、茶具、茶服等相关产业的发展在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进，两种不同的茶具若购进种茶具套和种茶具套，则需要元；若购进种茶具套和种茶具套，则需要元．
（1），两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进，两种茶具共套，茶具工厂对两种茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折已知销售一套种茶具可获利元，销售一套种茶具可获利元，若茶具店老板此次用于购进，两种茶具的总费用不超过元，则如何进货可使再次购进的茶具获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，
依题意得：，
解得：，
种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元；
（2）解：设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，
依题意得：，
解得：，
设总利润为元，
依题意得：．
，随的增大而增大，
又，
当时最大元，
当购进种茶具套时，种茶具的数量：套，
再次购进种茶具套，种茶具套可使利润最大，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A种茶具每套进价为x元，B种茶具每套进价为y元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可.
(2)设再次购进A种茶具a套，则购进B种茶具 套，此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，列出不等式，可求 设总利润为w元，则 .根据一次函数的性质即可求解.
4．（2025·安岳模拟）“周礼伤心凉粉”是安岳的一大美食，它不仅口感鲜美，而且制作工艺独特，传承历史悠久，被誉为四川的传统工艺之一．现有，两类“周礼伤心凉粉”特受顾客喜爱．已知购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元．
（1）分别求出，两类“周礼伤心凉粉”每份的价格；
（2）芮芮家为了招待远道而来的客人，准备购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元，则最多能购买类“周礼伤心凉粉”多少份？
【答案】（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，根据“ 购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设类“周礼伤心凉粉”购买份，根据“购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元”列出一元一次不等式，取最大整数解解题．
（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．
，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
5．（2025·富阳模拟）某快递公司需将一批总重为25吨的物品从仓库运往配送中心.现有下表所示两种类型货车可供调配：
类型 甲型 乙型
满载（吨） 4 3
价格（元） 500 400
（1）若公司一次性派出两种货车共8辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
（2）若快递公司派出甲型、乙型货车共7辆，其中甲型货车不少于2辆，要求预算运输费用不超过3600元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
【答案】（1）解：设甲、乙两种货车分别派出和辆，由题意列方程得：
解方程得：
答：甲、乙两种货车分别派出和辆；
（2）解：设运输费用为，派出甲型货车辆，则
由题意知：
随的增大而增大
当时，有最小值，最小值为（元）.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）分别设甲、乙两种货车分别派出和辆，则由等量关系“ 总重为25吨 、 两种货车共8辆 ”列方程组并求解即可；
（2）先分别设出运输费用为，派出甲型货车辆，则由题意可得是的一次函数，且随的增大而增大；再由“ 预算运输费用不超过3600元 ”列不等式，解不等式并结合已知条件可确定的取值范围，显然当最小时，也最小，求出这个最小值即可.
6．（2025九下·宁波模拟）冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜，深受市民喜爱。上市时，王经理按市场价格6元/千克收购了2000千克苹果放入冷库中。据预测，苹果的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用160元，而且苹果在冷库中最多可以保存50天，同时，每天有10千克的苹果损坏不能出售。
（1）若存放天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式；
（2）王经理想获得3850元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
（3）王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：
（不合题意，舍去）
答：需将这批苹果存放35天后出售。
（3）
$
所以当时，最大，即存放45天后出售可获得最大利润，最大利润为4050元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据苹果的单价乘以苹果的数量，可得函数关系式；
(2)根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得方程，根据解方程，可得答案；
(3)根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.
7．（2025九下·长沙期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）设购买的这种健身器材的套数为套，
（套），（套），，
，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，，符合题意。
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(2)设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
8．（2024九下·镇海区模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
【答案】解：任务1：设长方体的高度为，
则：，
解得：，
答：长方体的高度为；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，
则：，
解得：，
的整数解有：76，77，78，79，
共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，
由题意得：
即：，
的整数解有：76，77，78，79，
当时，有最大值，为：，
答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设长方体的高度为，根据“题意列方程解题即可；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，利用“题意列不等式组求整数解即可；
任务3：设张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，列函数解析式，再利用函数的增减性解题即可．
9．（2024九下·鄞州模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元的销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问： _______（用含 的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】
请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
【答案】任务1：；
任务2：由素材2，得，
解得，
（元），
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元．
任务3：设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套，
根据题意，得，
．
是非负整数，，
吉祥物钥匙扣每件利润为（元），明信片每套利润为（元），
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
．
故答案为：．
【分析】任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得；
任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得，可解得答案；
任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：，由是非负整数，可求出的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案。
10．综合与实践
【问题情境】
小莹妈妈的花卉超市以 15 元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉， 为了确定售价， 小莹帮妈妈调查了附近 A， B、C、D、E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价/（元/盆） 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
（1）【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理， 填写在下表中．
售价/(元/盆)
日销售量/盆
（2）【模型建立】分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
（3）【拓广应用】根据以上信息， 小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得 400 元的利润， 应如何定价？
②当售价定为多少时， 每天能够获得最大利润？
【答案】（1）解：根据销售单价从小到大的顺序排列得下表.
售价/(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量/盆 54 50 46 38 30
（2）解：观察表格可知日销售量是售价的一次函数.
设日销售量为y盆，单价为x元，y=kx+b，
把(18，54)，(20，50)代入，
得
解得
∴y=-2x+90.
（3）解：①∵每天获得400元的利润，
∴(x-15)(-2x+90)=400，解得x=25或x=35，
要想每天获得40元的利润，定价为25元或35元.
②设每天获得的利润为w元，
根据题意，得w=(x-15)(-2x+90)=- 2x2+120x-1350=-2(x-30)2+450
∵-2<0，∴当x=30时， w取最大值450，
当售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售单价从小到大排列；
（2）观察表格可知，单价每增加2元，日销售量就减少4盆，故日销售量是售价的一次函数，设销售量为y盆，售价为x元，y关于x的函数关系式为y=kx+b，代入2对数据可求得解析式；
（3）①根据每盆利润乘以当天销售数量=总利润，并结合每天获得400元的利润，列出一元二次方程求解；
②设每天获得的利润为w元，根据每盆利润乘以当天销售数量=总利润，列出二次函数，配方后求出最大值．
11．（2025·深圳模拟）花果山是连云港景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
（1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：，
∴（个）．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个；
（2）解：设款玩偶购进x个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得，
∵款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，
∴，
∴解得，
∵，
∴，
∴随x的增大而增大．
∴当时，（元），
∴款玩偶为：（个）．
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，根据总进货价为1100元得 ，求出其解即可解答；
（2）设款玩偶购进x个，款玩偶购进个，获利元；根据题意款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半得 ，解得x的范围； 再根据利润公式得到，再利用一次函数的性质，得到x=10时求解得到最大值，即可求得应如何设计进货方案，最后解答即可．
（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：，
∴（个）．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个；
（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得，
∵款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴随的增大而增大．
∴当时，（元），
∴款玩偶为：（个）．
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
12．（2025九上·江北期末）某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供 200 人同时游玩，当游玩票价为 50 元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间（含 50 元和 80 元）浮动时，每提高 2 元，每场人数会减少 4 人．
（1）设票价为 元，请写出每场人数 关于票价 的函数关系式．
（2）已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据＂营业收入 票价 每场人数＂这一关系，求此时的票价．
（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：
（2）解：
解得
（3）解：w
当票价为 75 时，当场营业收入最大为 11250 元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4人列出y与x的函数解析式；
(2)根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系列出方程，解方程即可；
(3)根据“营业收入=票价×每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
13．（2025九上·新昌期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定．
（1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价）
（2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值．
（3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？
【答案】（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则 ，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）计算时y的值，然后利用“销售额＝销售量销售单价”即可解题；
（2）利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到w与x的函数解析式，然后配方得到顶点式即可求出最值．
（3）设每天扣除捐款后的利润为， 利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到z与x的函数解析式，然后利用抛物线的顶点的坐标，可以得到哦啊时，，再根据a的范围求出a的值解题．
（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元．
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则
，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
14．（2024九上·宝安模拟）某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价（元千克）与采购量（千克）之间的函数关系如图中折线所示（不包括端点）．
（1）当时，直接写出与之间的函数解析式；
（2）若甲种蔬菜的种植成本为元/千克，采购量不超过千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利元？
【答案】（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．
把，代入函数关系式得：
，
解得，
与之间的函数解析式为：；
（2）解：设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
当时，有最大值元，
当时，，
，
当时，有最大值为元，
综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；
（3）解：由，根据（）可得，，
解得：，，
采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设当时，与之间的函数解析式为：，进而运用待定系数法即可求解；
（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，根据题意分别求出当时，当时，与的函数关系式，进而根据二次函数的性质和一次函数的性质求出其最值即可求解；
（3）由，根据（）可得，，进而解一元二次方程即可求解。
（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．
把，代入函数关系式得：
，
解得，
与之间的函数解析式为：；
（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
当时，有最大值元，
当时，，
，
当时，有最大值为元，
综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；
（3）由，根据（）可得，，
解得：，，
采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．
15．（2024九上·凯里期中）小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图：
（1）单株售价与月份x之间的关系式为__________；单株成本与月份x之间的关系式为__________．
（2）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利单株售价单株成本）．
【答案】（1），
（2）解：由（1）可得：．
∵，
∴当时，取得最大值．
答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可设，代入点可得：
，
解得：，
∴，
设，代入点得：，解得：，
∴；
故答案为：，；
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）根据（1）中函数解析式可得，然后根据二次函数的最值解题即可.
（1）解：由题意可设，代入点可得：
，
解得：，
∴，
设，代入点得：，解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得：
．
∵，
∴当时，取得最大值．
答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．
16．（2024九上·深圳开学考）根据如表所示素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材二 已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材三 该书店准备用不超过16800元购进A，B两种图书共1000本，且A种图书不少于700本经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务二 探究进货方案 A，B两种图书进货方案一共有多少种？
任务三 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？
【答案】任务一：解：设 B 种图书标价 为x元，则A种图书的标价为1.5x元
∴，解得x=18
经检验x=18是原方程的解
1.5x=27
∴ A，B 两种图书的标价 分别为27元，18元.
任务二：
解设购进A种图书x本，则购进B种图书（1000-x）本
∴18x+12(1000-x)≤ 16800，解得x≤ 800
∵x≥700
∴600≤ x≤ 800且x为整数
∴x取201种整数值
∴ A，B两种图书进货方案一共有201种.
任务三：
解：设获得的总利润为W元
∴W=(0.8x27-18)x+(18-12)(1000-x)=-2.4x+6000
∵k=-2.4 < 0，
∴W随x的增大而减小
∵600 ≤ x≤ 800且a为整数
∴当x=600时，w有最大值
∴1000-600=400
∴购进A种图书600本，B种图书400本时，书店才能获得最大利润.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设B 种图书标价 为x元，则A种图书的标价为1.5x元，根据等量关系：A种图书的数量=B种图书的数量-10，列出方程为：，解出x 即可.
任务二：解设购进A种图书x本，则购进B种图书(1000-a)本，根据不等量关系：“ A种图书进价xA种图书数量+B种图书进价xB种图书数量≤16800”，列出不等式：18x+12(1000-x)≤ 16800，解出x≤ 800，又因为A 种图书不少于700本，因此x≥700，因此可得：600≤ x≤ 800且x为整数.
任务三：设获得的总利润为W元，根据题意可得：W=(0.8x27-18)x+(18-12)(1000-x)=-2.4x+6000，得出W是x的一次函数，根据一次函数的增减性，即当k=-2.4 < 0，W随x的增大而减小，因此当x取最小时，w有最大的值.
17．（2024九下·柯桥模拟）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【答案】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，
∴
解得：；
（2）根据题意可列方程得：
，
整理得：，
解得：，，
由（1）得：，
∴x=190不符合题意，应舍去，
，
路面设置的宽度符合要求；
答：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意可列方程得：
整理得：
解得：，
由（1）得：，
∴x=195不符合题意，应舍去，
，
假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”可列关于的不等式，解这个不等式即可求得x的取值范围；
（2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解；
（3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解．
1 / 1经济问题中的函数与方程—中考数学核心考点大综合专题
一、解答题
1．（2025·长沙模拟）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
（2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
2．（2025·湖南模拟）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表：
种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格
进价（元/斤） 160 500
售价（元/斤） 200 600
该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤．
（1）若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？
（2）根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？
3．（2025·湖南模拟）茶为国饮，湖南是中国茶文化的发源地，茶文化的发展也带动了茶艺、茶具、茶服等相关产业的发展在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进，两种不同的茶具若购进种茶具套和种茶具套，则需要元；若购进种茶具套和种茶具套，则需要元．
（1），两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进，两种茶具共套，茶具工厂对两种茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折已知销售一套种茶具可获利元，销售一套种茶具可获利元，若茶具店老板此次用于购进，两种茶具的总费用不超过元，则如何进货可使再次购进的茶具获得利润最大？最大利润是多少？
4．（2025·安岳模拟）“周礼伤心凉粉”是安岳的一大美食，它不仅口感鲜美，而且制作工艺独特，传承历史悠久，被誉为四川的传统工艺之一．现有，两类“周礼伤心凉粉”特受顾客喜爱．已知购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元．
（1）分别求出，两类“周礼伤心凉粉”每份的价格；
（2）芮芮家为了招待远道而来的客人，准备购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元，则最多能购买类“周礼伤心凉粉”多少份？
5．（2025·富阳模拟）某快递公司需将一批总重为25吨的物品从仓库运往配送中心.现有下表所示两种类型货车可供调配：
类型 甲型 乙型
满载（吨） 4 3
价格（元） 500 400
（1）若公司一次性派出两种货车共8辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
（2）若快递公司派出甲型、乙型货车共7辆，其中甲型货车不少于2辆，要求预算运输费用不超过3600元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
6．（2025九下·宁波模拟）冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜，深受市民喜爱。上市时，王经理按市场价格6元/千克收购了2000千克苹果放入冷库中。据预测，苹果的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用160元，而且苹果在冷库中最多可以保存50天，同时，每天有10千克的苹果损坏不能出售。
（1）若存放天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式；
（2）王经理想获得3850元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
（3）王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
7．（2025九下·长沙期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
8．（2024九下·镇海区模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
9．（2024九下·鄞州模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元的销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问： _______（用含 的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】
请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
10．综合与实践
【问题情境】
小莹妈妈的花卉超市以 15 元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉， 为了确定售价， 小莹帮妈妈调查了附近 A， B、C、D、E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价/（元/盆） 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
（1）【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理， 填写在下表中．
售价/(元/盆)
日销售量/盆
（2）【模型建立】分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
（3）【拓广应用】根据以上信息， 小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得 400 元的利润， 应如何定价？
②当售价定为多少时， 每天能够获得最大利润？
11．（2025·深圳模拟）花果山是连云港景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
（1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
12．（2025九上·江北期末）某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供 200 人同时游玩，当游玩票价为 50 元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间（含 50 元和 80 元）浮动时，每提高 2 元，每场人数会减少 4 人．
（1）设票价为 元，请写出每场人数 关于票价 的函数关系式．
（2）已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据＂营业收入 票价 每场人数＂这一关系，求此时的票价．
（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？
13．（2025九上·新昌期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定．
（1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价）
（2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值．
（3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？
14．（2024九上·宝安模拟）某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价（元千克）与采购量（千克）之间的函数关系如图中折线所示（不包括端点）．
（1）当时，直接写出与之间的函数解析式；
（2）若甲种蔬菜的种植成本为元/千克，采购量不超过千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利元？
15．（2024九上·凯里期中）小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图：
（1）单株售价与月份x之间的关系式为__________；单株成本与月份x之间的关系式为__________．
（2）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利单株售价单株成本）．
16．（2024九上·深圳开学考）根据如表所示素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材二 已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材三 该书店准备用不超过16800元购进A，B两种图书共1000本，且A种图书不少于700本经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务二 探究进货方案 A，B两种图书进货方案一共有多少种？
任务三 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？
17．（2024九下·柯桥模拟）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）解：∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设“神舟”模型的进价是x元，则“天宫”模型的进价是( 元，根据同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个，列出方程，解方程即可；
(2)根据题意列出函数解析式，根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ，求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值.
2．【答案】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得．
根据题意，得
解得
答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤．
（2）解：设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤．
因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍，
所以，
解得．
设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元．
根据题意，得．
因为，
所以w随m的增大而减小．
又，
所以当时，w取得最大值，最大值为．
此时．
答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据购进A、B两种规格的茶共100斤列出方程x+y=100，根据单价乘以数量等于总价及购进A、B两种规格的茶共花费29600元列出方程160x+500y=29600，联立两方程，求解即可；
（2）设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶(100-m)斤，由A规格的进货量不低于B规格的3倍列出不等式求出m的取值范围；设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为w元，根据每千克茶叶的利润乘销售数量等于总利润可求出w关于m的一次函数解析式，再根据最后根据一次函数的性质确定最大值．
（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得．
根据题意，得
解得
答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤．
（2）设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤．
因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍，
所以，
解得．
设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元．
根据题意，得．
因为，
所以w随m的增大而减小．
又，
所以当时，w取得最大值，最大值为．
此时．
答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元．
3．【答案】（1）解：设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，
依题意得：，
解得：，
种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元；
（2）解：设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，
依题意得：，
解得：，
设总利润为元，
依题意得：．
，随的增大而增大，
又，
当时最大元，
当购进种茶具套时，种茶具的数量：套，
再次购进种茶具套，种茶具套可使利润最大，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A种茶具每套进价为x元，B种茶具每套进价为y元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可.
(2)设再次购进A种茶具a套，则购进B种茶具 套，此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，列出不等式，可求 设总利润为w元，则 .根据一次函数的性质即可求解.
4．【答案】（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，根据“ 购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设类“周礼伤心凉粉”购买份，根据“购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元”列出一元一次不等式，取最大整数解解题．
（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为．
，解得
答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元．
（2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份．
解得
最大为
类“周礼伤心凉粉”最多购买份
答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份．
5．【答案】（1）解：设甲、乙两种货车分别派出和辆，由题意列方程得：
解方程得：
答：甲、乙两种货车分别派出和辆；
（2）解：设运输费用为，派出甲型货车辆，则
由题意知：
随的增大而增大
当时，有最小值，最小值为（元）.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）分别设甲、乙两种货车分别派出和辆，则由等量关系“ 总重为25吨 、 两种货车共8辆 ”列方程组并求解即可；
（2）先分别设出运输费用为，派出甲型货车辆，则由题意可得是的一次函数，且随的增大而增大；再由“ 预算运输费用不超过3600元 ”列不等式，解不等式并结合已知条件可确定的取值范围，显然当最小时，也最小，求出这个最小值即可.
6．【答案】（1）
（2）解：
（不合题意，舍去）
答：需将这批苹果存放35天后出售。
（3）
$
所以当时，最大，即存放45天后出售可获得最大利润，最大利润为4050元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据苹果的单价乘以苹果的数量，可得函数关系式；
(2)根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得方程，根据解方程，可得答案；
(3)根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.
7．【答案】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）设购买的这种健身器材的套数为套，
（套），（套），，
，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，，符合题意。
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(2)设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
8．【答案】解：任务1：设长方体的高度为，
则：，
解得：，
答：长方体的高度为；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，
则：，
解得：，
的整数解有：76，77，78，79，
共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，
由题意得：
即：，
的整数解有：76，77，78，79，
当时，有最大值，为：，
答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设长方体的高度为，根据“题意列方程解题即可；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，利用“题意列不等式组求整数解即可；
任务3：设张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，列函数解析式，再利用函数的增减性解题即可．
9．【答案】任务1：；
任务2：由素材2，得，
解得，
（元），
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元．
任务3：设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套，
根据题意，得，
．
是非负整数，，
吉祥物钥匙扣每件利润为（元），明信片每套利润为（元），
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
．
故答案为：．
【分析】任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得；
任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得，可解得答案；
任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：，由是非负整数，可求出的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案。
10．【答案】（1）解：根据销售单价从小到大的顺序排列得下表.
售价/(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量/盆 54 50 46 38 30
（2）解：观察表格可知日销售量是售价的一次函数.
设日销售量为y盆，单价为x元，y=kx+b，
把(18，54)，(20，50)代入，
得
解得
∴y=-2x+90.
（3）解：①∵每天获得400元的利润，
∴(x-15)(-2x+90)=400，解得x=25或x=35，
要想每天获得40元的利润，定价为25元或35元.
②设每天获得的利润为w元，
根据题意，得w=(x-15)(-2x+90)=- 2x2+120x-1350=-2(x-30)2+450
∵-2<0，∴当x=30时， w取最大值450，
当售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售单价从小到大排列；
（2）观察表格可知，单价每增加2元，日销售量就减少4盆，故日销售量是售价的一次函数，设销售量为y盆，售价为x元，y关于x的函数关系式为y=kx+b，代入2对数据可求得解析式；
（3）①根据每盆利润乘以当天销售数量=总利润，并结合每天获得400元的利润，列出一元二次方程求解；
②设每天获得的利润为w元，根据每盆利润乘以当天销售数量=总利润，列出二次函数，配方后求出最大值．
11．【答案】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：，
∴（个）．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个；
（2）解：设款玩偶购进x个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得，
∵款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，
∴，
∴解得，
∵，
∴，
∴随x的增大而增大．
∴当时，（元），
∴款玩偶为：（个）．
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，根据总进货价为1100元得 ，求出其解即可解答；
（2）设款玩偶购进x个，款玩偶购进个，获利元；根据题意款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半得 ，解得x的范围； 再根据利润公式得到，再利用一次函数的性质，得到x=10时求解得到最大值，即可求得应如何设计进货方案，最后解答即可．
（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：，
∴（个）．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个；
（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得，
∵款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴随的增大而增大．
∴当时，（元），
∴款玩偶为：（个）．
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
12．【答案】（1）解：
（2）解：
解得
（3）解：w
当票价为 75 时，当场营业收入最大为 11250 元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4人列出y与x的函数解析式；
(2)根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系列出方程，解方程即可；
(3)根据“营业收入=票价×每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
13．【答案】（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则 ，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）计算时y的值，然后利用“销售额＝销售量销售单价”即可解题；
（2）利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到w与x的函数解析式，然后配方得到顶点式即可求出最值．
（3）设每天扣除捐款后的利润为， 利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到z与x的函数解析式，然后利用抛物线的顶点的坐标，可以得到哦啊时，，再根据a的范围求出a的值解题．
（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元．
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则
，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
14．【答案】（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．
把，代入函数关系式得：
，
解得，
与之间的函数解析式为：；
（2）解：设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
当时，有最大值元，
当时，，
，
当时，有最大值为元，
综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；
（3）解：由，根据（）可得，，
解得：，，
采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设当时，与之间的函数解析式为：，进而运用待定系数法即可求解；
（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，根据题意分别求出当时，当时，与的函数关系式，进而根据二次函数的性质和一次函数的性质求出其最值即可求解；
（3）由，根据（）可得，，进而解一元二次方程即可求解。
（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．
把，代入函数关系式得：
，
解得，
与之间的函数解析式为：；
（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
当时，有最大值元，
当时，，
，
当时，有最大值为元，
综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；
（3）由，根据（）可得，，
解得：，，
采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．
15．【答案】（1），
（2）解：由（1）可得：．
∵，
∴当时，取得最大值．
答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可设，代入点可得：
，
解得：，
∴，
设，代入点得：，解得：，
∴；
故答案为：，；
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）根据（1）中函数解析式可得，然后根据二次函数的最值解题即可.
（1）解：由题意可设，代入点可得：
，
解得：，
∴，
设，代入点得：，解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得：
．
∵，
∴当时，取得最大值．
答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．
16．【答案】任务一：解：设 B 种图书标价 为x元，则A种图书的标价为1.5x元
∴，解得x=18
经检验x=18是原方程的解
1.5x=27
∴ A，B 两种图书的标价 分别为27元，18元.
任务二：
解设购进A种图书x本，则购进B种图书（1000-x）本
∴18x+12(1000-x)≤ 16800，解得x≤ 800
∵x≥700
∴600≤ x≤ 800且x为整数
∴x取201种整数值
∴ A，B两种图书进货方案一共有201种.
任务三：
解：设获得的总利润为W元
∴W=(0.8x27-18)x+(18-12)(1000-x)=-2.4x+6000
∵k=-2.4 < 0，
∴W随x的增大而减小
∵600 ≤ x≤ 800且a为整数
∴当x=600时，w有最大值
∴1000-600=400
∴购进A种图书600本，B种图书400本时，书店才能获得最大利润.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设B 种图书标价 为x元，则A种图书的标价为1.5x元，根据等量关系：A种图书的数量=B种图书的数量-10，列出方程为：，解出x 即可.
任务二：解设购进A种图书x本，则购进B种图书(1000-a)本，根据不等量关系：“ A种图书进价xA种图书数量+B种图书进价xB种图书数量≤16800”，列出不等式：18x+12(1000-x)≤ 16800，解出x≤ 800，又因为A 种图书不少于700本，因此x≥700，因此可得：600≤ x≤ 800且x为整数.
任务三：设获得的总利润为W元，根据题意可得：W=(0.8x27-18)x+(18-12)(1000-x)=-2.4x+6000，得出W是x的一次函数，根据一次函数的增减性，即当k=-2.4 < 0，W随x的增大而减小，因此当x取最小时，w有最大的值.
17．【答案】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，
∴
解得：；
（2）根据题意可列方程得：
，
整理得：，
解得：，，
由（1）得：，
∴x=190不符合题意，应舍去，
，
路面设置的宽度符合要求；
答：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意可列方程得：
整理得：
解得：，
由（1）得：，
∴x=195不符合题意，应舍去，
，
假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”可列关于的不等式，解这个不等式即可求得x的取值范围；
（2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解；
（3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解．
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