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三角函数与“12345”模型
【知识储备】
一、三角函数核心知识点
1. 定义: 如右图, 在 Rt△ABC中, 所对的边分别为a，b，c .
(1) 正弦:
(2) 余弦:
(3) 正切:
2.基本性质：(α为锐角)
(1) 01; sin α+cos α=1.
(2) tanα>0; tanα· tan(90°-α)=1.
3.坡比、坡度、坡角与斜率之间的关系
(1)坡比、坡度与坡角：如图1， i表示坡比或坡度； h表示铅直高度， l表示水平宽度， α表示坡角.
(2) 等量关系: 如图2, k表示直线 y= kx+b(k≠0)的斜率, 则
(3)三位一体： i， α， k均可表示或衡量一条直线的倾斜程度.
4.其他常见特殊角的三角函数值(推导过程参考图3，图4)
.
二、“12345”模型
1.观察图形：观察下面图1(正方形网格)，图2，图3中的边角关系：
(1) 以 中的两个作为条件，可以推出第三个等式成立(图1).
(2) 以 中的两个作为条件，可以推出第三个等式成立(图2).
(3) 以 中的两个作为条件，可以推出第三个等式成立(图3).
2.模型总结
(1)图1简称为 图2简称为 图3简称为
(2)这三种情况通常被称为“12345”模型(“12345”模型有很多结论，上面是经常用到的三种).
(3)上面结论也可以通过三角形内角平分线定理推出(如图4，图5，其中的虚线为三角形的角平分线).
【例题精讲】
【例1】如图,在正方形ABCD中, 点E在 BC上, 点F在AB上, 且 AF=BE , 点O是正方形对角线AC的中点, DE与CF交于点 G, DE与AC交于点 H, 若 则OG的长为 .
【例2】如图1, BC是半圆O的直径,点 A在⊙O上,点 D在 CA的延长线上, 于E，交⊙O于点H, 交 AB 于点I. 过点 A作∠DAF=∠ABO, 与DE 相交于点 F .
(1) 求证: AF 为⊙O 的切线;
(2) 当 AB=AD, 且 时，求 的值；(教师版提供2种解法)
(3) 如图2,在(2) 的条件下,延长 FA, BC相交于G,若 ，求线段HI 的长.(教师版提供2种解法)
【素养提升】
1. 如图,在△ABC中, AC=3, BC=4, 点D, E分别在边CA,CB上,点F在△ABC 内. 若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA =
2.如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点E， 则
3.如图,在正方形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于O,点E是OA的中点,延长BE交AD于点F,过点C作 CG⊥BF 于点 G,若 则 EF的长为 .
4. 如图,矩形纸片 ABCD中,将△AMP和△BPQ分别沿 PM 和PQ折叠( 点 A点 B 都与点 E 重合; 再将△CQD 沿DQ折叠, 点C落在EQ上的点 F 处. 如果 EF=7, 且∠DMF 的正弦值是 ,则DQ的长为 .
5.如图,⊙O与Rt△ABC的直角边 AC 和斜边 AB 分别相切于点 C, D ,与边 BC相交于点 F, OA与CD相交于点 E ,连接 FE 并延长交 AC 于点 G ,若 则线段FG 的长为
6. 如图,在矩形ABCD中, ，点E 是边 BC的中点，点G 是边 BA 延长线上一点，CG 交边AD于F, 若∠CED=2∠G , 则AG的长为 .
7.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是BC延长线上一点，DE交对角线AC于点G，连接FG, 若∠EDF=45°, ∠ADG的正切值为3, BE=4, 则DF的长为 .
8. 如图, 在正方形ABCD中, 点 E 在边 CD 上, 且, E于F, FG平分∠AFE 且交AD于G，AC交 FG于O，交BE于H.若正方形的边长为10，则OF的长为 .
9. 如图1, 内接于⊙O，其中AB是⊙O的直径，点 D为 上一点,BD与AC 相交于点 M,AD与BC的延长线相交于点 E.
(1) 求证: BC·CE =AC·MC;
(2) 如图2,若点M恰为AC的中点, 且∠CDE=45°, AD=4, 求CD的长.

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