资源简介

翻折题型
模型特点
折叠前后的图形全等：对应边相等，对应角相等。
对应点的连线被对称轴垂直平分：折叠线就是对称轴。
折叠重合部分一定全等：重合的图形形状和大小完全相同。
解题思路
折叠问题常常会出现等腰三角形：利用折叠线和对应边相等的性质。
折叠问题会出现直角三角形：可以利用勾股定理等知识求解相关边长。
常与勾股定理、相似三角形等知识结合：用于计算线段长度或角度大小。
典型例题
对应角相等：由对称得对应角相等，常用在求角度的问题中。
例一: 如图, 在△ABC中, 点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°, 将△ABD 沿着 AD 翻折得到 △AED, 则∠CDE= °.
解: ∵∠BAD=∠ABC=40°, 将△ABD 沿着AD 翻折得到△AED,
故答案为：20
作为特殊的对称会存在特殊角，有特殊角就有特殊图形，利用特殊图形解决问题。
例二:如图, 在矩形 ABCD中， M是CD上的一点，将 沿直线 AM 对折得到 若AN平分 则折痕AM的长为( )
A. 3
D. 6
解：由折叠性质得：
∴∠MAN=∠DAM,
∵AN平分∠MAB, ∠MAN=∠NAB,
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAM=30°,
故选: B.
对应边相等：涉及到求线段长度的问题，记得考虑，对应边相等。
例三：如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B 重合，折痕分别为EF, DG, 得到∠BDE=60°, ∠BED=90°, 若DE=2, 则 FG的长为 .
解：∵把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B 重合，
∴AF=BF, AE=BE, BG=CG, DC=DB,
∵∠BDE=60°, ∠BED=90°,
∴∠EBD=30°,
∴DB=2DE=4,
故答案为：
例四：如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF, GH 折叠(点 E, H 在AD边上,点 F,G在BC边上),使点 B 和点C落在AD 边上同一点 P 处，A点的对称点为A'点, D 点的对称点为D'点, 若∠FPG=90°, △A'EP 的面积为4, △D'PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 .
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD, AD=BC, 设AB=CD=x,
由翻折可知：
∵△A'EP 的面积为 4, △D'PH 的面积为1,
又∵△A'EP∽△D'PH,
∴A'P: D'H=2, ∵PA'=x,
∴x=2(负根已经舍弃),
∴矩形 ABCD的面积:
故答案为
对称点连线：对称点连线被对称轴垂直且平分，连接对称点连线可得垂直，由垂直或可得直角三角形或可得三垂直全等或相似，可用三角函数求线段长度。
例五：如图，将面积为： 的矩形ABCD沿对角线BD 折叠，点A 的对应点为点 P, 连接AP交BC于点E. 若BE= ,则AP的长为 .
解: 设AB=a, AD=b, 则 由△ABE∽△DAB 可得:
设PA交BD 于O.
在Rt△ABD中,
故答案为
例六: 如图, 在△ABC 中, D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD 翻折, 得到△BDC', DC'与AB 交于点E, 连接AC', 若. 则点 D到BC'的距离为 ( )
C.
解:如图,连接CC',交 BD于点M,过点D作DH⊥BC'于点H,
D是AC边上的中点，
∴DC=AD=2,
由翻折知, △BDC △BDC', BD 垂直平分CC',
∴DC=DC'=2, BC=BC', CM=C'M,
∴△ADC'为等边三角形,
∵DC=DC',
在Rt△C'DM中,
∴BM=BD-DM=3-1=2,
在Rt△BMC'中,
故选: B.
矩形对称：涉及对称的问题，以矩形对称最多，变化形式多样。比如，可以按对角线折叠，对称点可以落在矩形边上，可以落在矩形内部，也可以落在矩形外部，无论如何变化，解决工具有三：(1)勾股定理； (2)全等或相似三角形；(3)三角函数；从条件出发找到每种对称隐藏的结论，往往是解题的关键。
沿对角线折叠：当矩形沿对角线折叠时，图中必有全等，注意运用对应边相等。
例七: (2018·广州改编) (1) 如图, 将矩形纸片ABCD沿对角线BD 折叠，使点C与点E 重合, BE 交 AD 于点 F, 求证: BF=DF.
(2) 若矩形 ABCD 中,. 现将矩形ABCD沿点B 的直线折叠，折痕交线段AD (不含端点)于点 H，折叠后，点C，D的对称点分别是E，G，线段BE交直线AD 于点F. 图2是该矩形折叠后的一种情况，请探究并解决以下问题.
①当∠GEH=30°时, 求FH 的长;
②当△BEH为等腰三角形时，求 HD的长.
解: (1) 证明: 由折叠的性质知, CD=ED,BE=BC
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC, AB=CD, ∠BAD=90°,
∴AB=DE, BE=AD,
在△ABD与△EDB中,
∴△ABD≌△EDB (SSS),
∴∠EBD=∠ADB,
∴BF=DF;
(2) ①如图1中, ∵∠GEH=∠HCD=30°,∠D=90°, DC=
∴DH=1, AH=AD-AD=5-1=4,
∵AD∥CB,
∴∠FBH=∠HBC=∠FHB,
∴FB=FH, 设FB=FH=x,
在RT△ABF中,
②情形一: 如图2, BE=BH=BC=5时,
在RT△ABH中, ∴DH=AD-AH=5-
情形二: 如图3中, HE=BH时,
∵EH=HC,
∴HB=HC,
在RT△ABH和RT△DCH中,[HB=HC
∴△ABH≌△DCH,
情形三: 如图4中, EB=EH时,
∵EH=HC,
∴HC=EB=BC=4,
在RT△HCD中, ∵HC=5, CD=
落点在矩形边上，用三垂直相似；
例八:如图, 在矩形ABCD中,AB=3, AD=5, 点E在DC上, 将矩形AB-CD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处, 那么 sin∠EFC 的值为 .
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=5,AB=CD=3,
∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D恰好落在BC边上的F 处，
∴AF=AD=5, EF=DE,
在Rt△ABF中, ·
∴CF=BC-BF=5-4=1,
设CE=x,则DE=EF=3-x
在Rt△ECF中,
解得
故答案为：
落点在矩形内，勾股定理和相似三角形，是解决问题两大法宝。
例九: 如图,在矩形 AB-CD中, AB=4, BC= , E为CD 边上一点，将△BCE沿BE 折叠，使得C落到矩形内点F 的位置, 连接AF, 若tan∠BAF= ,则CE=( )
解: 过点 F 作MN∥AD, 交 AB 于点 M,交CD于点N,
则MN⊥AB, MN⊥CD,
由折叠可得, EC=EF, BC=BF= ,∠C=∠BFE=90°,
在Rt△AMF中,
设FM=x, 则AM=2x, BM=4-2x,
在Rt△BFM中，由勾股定理可得，
解得x=1或 (舍去),
∴FM=1, AM=BM=2,
FN=MN-FM=BC-FM= -1,
∵∠EFN +∠FEN = ∠EFN +∠BFM=90°,
∴∠FEN=∠BFM,
又∵∠FNE=∠BMF,
∴△EFN∽△FBM,
即
解得
故选: C.
例十: (2018·泰安) 如图, 在矩形ABCD中,AB=6, BC=10, 将矩形 ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C, 则 sin∠ABE的值为 .
解：由折叠知，.
在Rt△A'CB中, 设AE=x,则A'E=x,
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，
∴x=2,
∴AE=2,
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，
故答案为：
落点在矩形外，图文交错，绕矩形一圈存在多个三角形相似，由已知线段推出未知线段的长。
例十一:如图,矩形纸片AB-CD, AB=4, BC=3, 点 P 在BC边上, 将△CDP 沿 DP 折叠, 点 C 落在点 E 处,PE、DE分别交AB 于点O、F, 且OP=OF, 则cos∠ADF的值为( )
A.
C. D.
解: 根据折叠, 可知: △DCP≌△DEP,
∴DC=DE=4, CP=EP.
在△OEF和△OBP 中,
∴△OEF≌△OBP (AAS),
∴OE=OB, EF=BP.
设EF=x, 则 BP=x, DF=DE-EF=4-x,
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,
∴AF=AB-BF=1+x.
在Rt△DAF中,.
即
解得：
故选: C.
多次折叠必有中点，当矩形两端均向中间折叠时，注意图中的等线段，可得中点。
例十二: 将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A, C, D都落在点O处, 且点 B, O,G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则 的值为 ( )
A.
C.
解: 解: 由折叠可得, AE=OE=DE,CG=OG=DG,
∴E, G分别为AD, CD的中点,设CD=2a, AD=2b, 则AB=2a=OB,DG=OG=CG=a, BG=3a, BC=AD=2b,
∵∠C=90°,
∴Rt△BCG中,
即
即
的值为
故选: B.
动态中的折叠
例十三：如图，折叠矩形纸片ABCD, 使点 D 落在AB 边的点M 处, EF为折痕, AB=1, AD=2. 设AM的长为t,用含有 t 的式子表示四边形CDEF 的面积是 .
解: 连接DM, 过点E作EG⊥BC于点G,设DE=x=EM,则EA=2-x,
解得
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB 边的点M 处，
∴EF⊥DM,
∠ADM+∠DEF=90°,
∵EG⊥AD,
∴∠DEF+∠FEG=90°,
∴∠ADM=∠FEG,
+1.
故答案为：
举一反三
1. (2024·江西) 如图, AB 是⊙O的直径, 点C在线段AB 上运动，过点C的弦 将 沿DE 翻折交直线AB 于点F，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为 .
2. (2024·天津)将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点O (0，0), 点 A (3, 0), 点 B, C在第一象限,且OC=2,∠AOC=60°.
(Ⅰ)填空：如图①，点C 的坐标为 ,点B 的坐标为 ;
(Ⅱ)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在x轴的正半轴上, 点C的对应点为C'. 设OP=t.
①如图②，若直线 l与边CB 相交于点Q，当折叠后四边形 PO'C'Q 与□OABC重叠部分为五边形时，O'C'与AB 相交于点E.试用含有t的式子表示线段BE 的长，并直接写出t的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 S，当 时，求S 的取值范围(直接写出结果即可).
3. (2024·广州) 如图, 在菱形 ABCD 中,∠C=120°. 点 E 在射线BC 上运动(不与点B, 点C重合), △AEB关于AE 的轴对称图形为△AEF. (1) 当∠BAF=30°时,试判断线段AF和线段AD 的数量和位置关系，并说明理由；
(2) 若 ⊙O为△AEF 的外接圆，设⊙O的半径为r.
①求r的取值范围；
②连接FD,直线 FD能否与⊙O 相切 如果能，求BE 的长度；如果不能，请说明理由.
4. (2024·广东)
【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=ax(a>0)上第一象限内的两个动点 (OD>OB),以线段 BD为对角线作矩形ABCD, AD∥x轴. 反比例函数 的图象经过点A.
【构建联系】
(1)求证：函数 的图象必经过点C.
(2) 如图2, 把矩形ABCD沿BD 折叠, 点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1, 2) 时, 求k的值.
【深入探究】
(3) 如图3, 把矩形ABCD沿BD 折叠, 点C的对应点为E.当点 E，A重合时，连接AC交BD 于点 P. 以点O为圆心, AC长为半径作⊙O.若( 当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围.
5. (2024·苏州) 如图,△ABC中, ∠ACB=90°, CB=5, CA=10, 点 D, E 分别在AC, AB边上, 连接DE，将△ADE 沿 DE 翻折, 得到△FDE, 连接CE, CF. 若△CEF 的面积是△BEC 面积的2倍, 则AD= .
6.(2024·扬州)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，0)，点B在反比例函数 的图象上， 轴于点C, 将 沿AB 翻折,若点C的对应点D 落在该反比例函数的图象上，则k的值为 .
7.(2024·连云港)如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF.再将矩形纸片折叠，使点B 落在BF 上的点 H 处，折痕为AG.若点G恰好为线段BC 最靠近点B 的一个五等分点， 则 BC 的长为 .
8. (2024·泰安) 综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动.
【探究发现】
(1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD 翻折，使矩形顶点 B 的对应点G 恰好落在矩形的一边CD上，折痕为 EF，将纸片展平，连结 BG.EF与BG 相交于点 H.同学们发现图形中四条线段成比例，即 请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.
【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD 的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 A 的对应点G，点C的对应点 H 都落在对角线BD 上，折痕分别是 BE 和 DF.将纸片展平，连结EG, FH, FG. 同学们探究后发现, 若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD 的一个“黄金分割点”，即. 请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.
9. (2024·黑龙江) 矩形 ABCD 中, AB=3,BC=4，将AB沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线 BC于点 P (点P 不与点 B 重合)，点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为 .
10. (2024·湖北) 在矩形 ABCD中, 点 E, F分别在边 AD, BC 上, 将矩形 ABCD 沿EF折叠,使点 A 的对应点 P 落在边 CD上,点 B 的对应点为点 G,PG 交 BC于点H.
(1) 如图1, 求证: △DEP∽△CPH;
(2) 如图2, 当P为CD 的中点, AB=2,AD=3时, 求GH 的长;
(3) 如图3, 连接 BG, 当 P, H 分别为CD, BC的中点时, 探究 BG与AB 的数量关系，并说明理由.

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