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二元一次方程组考点专题练习
考点 1 二元一次方程组的解法
考法1 巧用“整体思想”
典例精析
【例】阅读理解:已知实数x,y满足3x--y=5①,2x+3y=7②,求x-4y和7x+5y的值.仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，发现可以通过适当变形，整体求得式子的值.如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组 则x-y= ,x+y= .
(2)对于实数x,y,定义新运算x*y= ax+ by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是实数运算.已知2*3=12,3*5=16,求1*1的值.
命题点：①解二元一次方程组；②实数的运算；③整体思想.
答规范：
解：
①-②,得x-y=-1.
①+②,得
(2)根据题意，得
①×2,得4a+6b+2c=24.③
③--②,得a+b+c=8.
∵1*1=a+b+c,
∴1*1的值为8.
针对训练
1. 已知方程组 的解满足5x--y=4,则k的值是 ( )
A. -1 B.2 C. -3 D. -4
2. 利 用 整 体 代 入 法 解 方 程 组 解得x= .
3. 若 实 数 m,n满 足 方 程 组 则 (m+ mn--n)”” =
4.已知x，y满足 我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体得到x+11y的值,求a和b的值.
5.运用“整体思想”解决下列问题：
(1)解方程组
(2)解方程组
(3)已知方程组 求 9a +b 和 ab的值.
考法 2 巧用“换元思想”
典例精析
【例】数学方法：解方程组 若设2x+y=m,x--2y=n,则原方程组可化为 解方程组得 所以 解方程组得 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法.
(1)已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 .
(2)知识迁移：请用上述方法解方程组
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为 求关于x，y的方程组 的解.
命题点：①解二元一次方程组；②二元一次方程组的解.
答规范：
解:(1)设m+n=x,m-n=y,则原方程组可化为
的解为解得
(2)设 则x+y=2m, x-y=3n,
∴原方程组可化为 解得
解得
(3)原方程组可变 形为 设 则 原 方程组可化为 关于x，y的二元一次方程组 的解为 I 解得
针对训练
1.(★★) 若关于 x，y 的二元一次方程组 的解为 则关于x，y的二元一次方程组 的解为( )
2.(★★)若关于 x，y 的二元一次方程组 的解是 则关于a，b的二元一次方程组 的解是 .
3.若 关 于 x, y 的 方 程 组 的解是 则关于x，y的方程组 的解是
4. 用 换 元 法 解 方 程 组
5.阅读下面的内容：利用换元法解方程组时，可以设 进行求解.运用此思路解决下列问题：
(1)方程组 的解为 ；
(2)若关 于 x，y的 二元一次 方 程组 的 解 为 则 方 程 组 的解为 ；
(3)解方程组
考点 2 与二元一次方程组的解相关的问题
考法1 同解问题
典例精析
【例】已知关于 x，y的方程组 和 的解相同，则 b= .
命题点：①二元一次方程组的解；②解二元一次方程组.
答规范：
解：∵方程组 和 的解相同，
∴这个解同时满足这四个方程，
∴这个解也是方程组 的解，解得
将 代入
得 解得
针对训练
1.(★★)已知关于x，y 的二元一次方程组 ヒ一、 的解相同，则a+b的值为 .
2.已 知 关 于 x,y的 方 程 组 与方程3x--y=8的解相同，则
3. (一题多解)若关于x，y的二元一次方程组 的解与方程x+y=6的解相同，求k 的值.
考法 2 错解问题
典例精析
【例】已知关于x，y的二元一次方程组 由于甲看错了方程①中a的值，得到方程组的解为 而乙看错了方程②中b的值，得到方程组的解为 若按正确的a，b的值进行解方程组，求原方程组的解.
命题点：①二元一次方程组的解；②解二元一次方程组.
答规范：
解：把 代入②,得2×(-2)-b×(-1)=-3,解得b=1.
把 代入①,得a×(-1)+3×2=8,解得a=-2.
把a=-2,b=1代入原方程组,得
①+②,得y=2.5.把y=2.5代入②,得x=-0.25.
∴原方程组的解为
针对训练
1.在解关于x，y的方程组 时，小亮解出的结果为 老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的b抄错了，该方程组的正确结果x比y大5.”a，b的值分别为( )
A.4,-2 B. -4,2
C.4,2 D.-4,-2
2.在解方程组 时，小明由于粗心 把系数 ● 抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是( )
3.已知方程组 的解为 由于小强看错了系数 m而求得解为 则a+b+m= .
4.马虎的 小李同学在解方程组 的过程中，错把b看成了8，解得此方程组的解为 他的其他解答过程没有错.粗心的小杨同学把方程组抄成了 解得此方程组的解为 他的其他解答过程也没有错.求b的值.
5. 甲、乙两 名 同学 在 解 方 程 组 时，甲因看错了b的符号，解得 乙因忽略了c，解得 试求(a- 的值.
6.在 解 关 于 x,y 的 方 程 组 时，甲把方程组中的a 看成了-8，得到的解为 乙看错了方程组中的b，得到的解为
(1)求a,b,c的值;
(2)求原方程组的解；
(3)(一题多解)已知关于s，t的二元一次方程组 求s,t的值.
考法 3 参数问题
典例精析
【例】在解关于x，y的方程组 时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y,则m= ,n= .
命题点：解二元一次方程组.
答规范：
解：∵方程组可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5
消去未知数y，
即
解得m=--23,n=--39.
针对训练
1.若方程组 的解x和y互为相反数，则a= .
2. 对于有理数x，y，定义一种新运算：x y= ax+ by,其中a,b为常数.已知1 2=10,(-3) 2=2,则a b=
3.已 知 关 于 x,y 的 方 程 组
(1)请写出方程x+2y--6=0的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
(3)无论实数m取何值,方程x-2y+ mx+5=0总有一组固定的解，请直接写出这组解；
(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
考点 3 二元一次方程组的实际应用
考法1 与几何图形结合
典例精析
【例】小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3c m的小正方形(阴影部分)，求小长方形的面积.
命题点：二元一次方程组的应用.
答规范：
解：设小长方形的宽为 xcm，长为 ycm，则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为(2x+y) cm或(2y+3) cm.
由题意，得 解得
∴小长方形的面积为9×15=135(cm ).
答:小长方形的面积为 135 cm .
针对训练
习题练
1.如图，用12个形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是60的大长方形，则每个小长方形的周长是 ( )
A.60 B.80
C.100 D.120
2. 在平面直角坐标系中，将5个大小、形状完全相同的长方形摆成如图所示的图案，若点 B(-10,7),则点 A 的坐标是 .
3. 如图，大长方形ABCD中无重叠地放置了9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为 .
4.如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形、四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍.若中间小正方形的面积为1，求大正方形 ABCD的面积.
5. 在长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图所示，求图中阴影部分的面积.
6. 如图，阴影部分是边长为1的小等边三角形,A,B,C,D,E,F,G,H分别是8个等边三角形，则A 和B 的边长分别为多少
真题练
7.(2022·南京模拟)学校举办“艺术周”创意设计展览，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1、图2、图3三种图案.
(1)根据图1、图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米；
(2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积.
考法2 与古典数学结合
典例精析
【例】《九章算术》中记载了这样一道问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何 ”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤 ”请解答上述问题.
命题点：二元一次方程组的应用.
答规范：
解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤.
依题意，得 解得
答：每只雀重 斤，每只燕重 斤.
针对训练
1.《九章算术》中有一道题的条件是“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思是有大、小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米.依据该条件，2大桶加2 小桶共盛 斛米.
2.《算法统宗》中记录了“百僧分馒”问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大僧小僧得几丁 ”意思是有 100个馒头和100个僧人，大僧1人吃3个馒头，小僧3人吃1个馒头，问大僧和小僧各有几人
3.我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客来到此店中.一房七客多七客，一房九客一房空.请问几客几房中 ”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.问该店有客房多少间 有房客多少人
考法 3 销售问题与方案选择
典例精析
【例】某小区超市第一次用6000元购进一批大米和面粉，面粉的袋数比大米袋数的 多15袋.大米与面粉的进价与售价如表所示：
大米/(元/袋) 面粉/(元/袋)
进价 22 30
售价 29 40
(1)超市第一次进购大米和面粉各多少袋
(2)在第一次购进的大米和面粉销售完后，超市第二次以第一次的进价又购进了一批大米和面粉，其中大米的袋数不变，面粉的袋数是第一次的3倍.大米按原价销售，面粉打折销售，第二次售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元.问第二次购进的面粉打几折销售
命题点：二元一次方程组的应用.
答规范：
解：(1)设超市第一次进购大米x袋，面粉y袋.
根据题意，得 解得
答：超市第一次进购大米150袋，面粉90袋.
(2)设第二次购进的面粉打m折销售.
根据题意，得 解得m=8.5.
答：第二次购进的面粉打八五折销售.
针对训练
购票张数 1~50 51~100 100 以上
价格/(元/张) 15 12 10
科技馆门票的价格规定如表所示：
某学校七年级一、二两个班共 103人去科技馆，其中一班有40多人，不足50人.经计算，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1377 元，七年级二班有 人.若两个班联合起来作为一个团体购票，则可以省
元.
2.(一题多解)某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如表所示：
乘坐缆车方式 乘坐缆车费用/(元/人)
往返 160
单程 90
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有6人乘坐缆车，返程时有 12人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是 1 540 元，则该小组共有 人.
3. 小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了如下表格.
小明 小华 小芳
笔记本/本 15 24 27
钢笔/支 25 40 45
总价/元 330 528 585
聪明的小明发现其中有一个人把总价算错了，那么这个算错的人是谁
4.某一天，蔬菜经营户老李花了145元从蔬菜批发市场购进了一批黄瓜和茄子，然后到菜市场上去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价/(元/千克) 3 4
零售价/(元/千克) 4 7
(1)当天他卖完这批黄瓜和茄子共赚了90元，则这天他购进的黄瓜和茄子分别是多少千克
(2)当天他卖完这批黄瓜和茄子后，又花了50元去蔬菜批发市场购进了m千克黄瓜和n千克茄子(m,n为整数),求m,n的值.
5. 某医药公司每月生产甲、乙两种型号的口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，甲、乙两种型号口罩的成本、售价如下表：
型号 甲 乙
成本/(元/只) 1.2 0.4
售价/(元/只) 1.8 0.6
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求该月分别生产甲、乙两种型号的口罩多少万只.
(2)某学校到该公司购买乙型号口罩300 只，有如下两种方案，方案一：乙型号口罩一律打八折；方案二：购买16.8元的会员卡后，乙型号口罩一律打七折.请你帮该学校选择合适的购买方案.
6.为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精(单位：瓶)和红外测温仪(单位：台).已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍.
(1)求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少元.
(2)某商家推出两种购买方案，如下表：
购买方案 消毒酒精 红外测温仪 附加优惠
A 八八折 九五折 每购买 200 瓶消毒酒精送 1台红外测温仪
B 九折 九折 无
该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，问该学校选择哪种购买方案更划算 请说明理由.

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