资源简介

跨学科综合建模—中考数学核心考点大综合专题
一、选择题
1．（2024九上·龙岗开学考）实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的倍晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（　　）
A．增加的水量
B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量
D．减少的食盐量
2．（2022·丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A.设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（　　）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
3．（2024八上·衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（　　）
A．以上，以下 B．以上，以下
C．以上，以下 D．以上，以下
4．（8.3跨学科融合—中考数学重难点题型解读·技巧点拨·训练）如图，有规律的“心电”图形由图形不断向右重复组成，图形分为两条曲线和两条线段，曲线是二次函数图象的一部分，该二次函数顶点是，与轴交于点；曲线是反比例函数图象的一部分；线段是直线的一部分；线段是直线的一部分．若点、是“心电”图形上的两点，则的最大值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
5． 在物理实验课上，一个钢球从斜面顶端由静止状态开始沿斜面滚下， 速度不断加快．小雨同学探究钢球滚动的距离 与滚动时间 之间的关系， 得到一些数据， 如下表所示：
滚动时间 0 2 4 6 8
滚动的距离 0 3 12 27 48
由上表可以推断， 滚动时间为 时， 钢球滚动的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·深圳开学考）密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，如图所示.下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
二、填空题
7．（2025九下·深圳模拟）科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数．当密度计悬浮在密度为的水中时，．当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为　 　．
8．（2024九下·浙江模拟）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为　 　．
9．（2024·成都一诊）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[xCuCO3 yCu（OH）2]加热分解的化学方程式为：xCuCO3 yCu（OH）23CuO+H2O+xCO2↑，其中x，y为正整数，则y﹣x＝　 　．
10．（2024·越秀模拟）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
11．（2023·武威模拟） “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的如图，水柱的最高点为，，，水嘴高，则水柱落地点到水嘴所在墙的距离是　 　
三、解答题
12．（2024九上·福田期中）【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔棉在井上汲水的情境（杜杆原理：阻力阻力臂=动力动力臂，如图1，即），受枯棉的启发，小杰组装了如图所示的装置.其中，杜杆可绕支点在坚直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体.
（1）若在杜杆右端挂重物，杜杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为　 　N.
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化.设重物的质量为的长度为.则：
①关于的函数解析式是 ▲ .
②完成下表：
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 a 2 b …
a= ▲ b= ▲ .
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象.
（3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标.
13．（2024九下·宁波模拟）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为．
（1）求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积．
（2）若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？
14．（2024·杭州模拟）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离
背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车. 驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离.
素材1 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速x（千米/时）306090反应距离s（米）2.557.5
注意：1千米/时=米/秒 ⑴已知反应时间=，则驾驶员正常的反应时间为 ▲ 秒.
素材2 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关.下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时）051015202530刹车距离y（米）00.10.30.611.62.1
素材3 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里.
任务1 ⑵请根据素材2回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图1），以所测得数据刹车时车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
任务2 ⑶请根据素材2和3相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32.5米，请推测汽车是否超速行驶；
任务3 ⑷请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的C点时与轿车的距离s=4.6米（见图2）.测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线CE前停车（见图3），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）
15．（2025·萧山模拟）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一个固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2Ω）亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据：
R（Ω） … 1 a 3 4 6 …
I（A） … 4 3 2.4 2 b …
（1）a=　 　，b=　 　.
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象.
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 ▲ .
（3）【拓展】结合(2)中函数图象分析，当0时，的解为　 　.
16．（2025九下·深圳开学考）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂（如图①）．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重的物体（即支点为，阻力为，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．
（1）求图③中的函数解析式；
（2）若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？
17．（2025八上·温州期末）综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计．
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表：
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．
（1）任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力．
（3）任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：A、若增加水量xg，根据题意可列方程：，故选项A不符合题意；故选项A不符合题意；
B、若蒸发掉水量xg，根据题意可列方程：，故选项B符合题意；
C、若加入食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
D、若减少食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据各个选项设未知量，根据题意列方程，对比即可得到结论.
2．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵R=，
∴I=≤0.11，
∴R≥=2000 （Ω） .
故答案为：A.
【分析】根据欧姆定律和最大限度不得超过0.11A建立不等式，依此求解，即可得出结果.
3．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为，
则有：，
解得：，
∴一颗玻璃球的体积在以上，以下，
故答案为：C
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用.设一颗玻璃球的体积为，根据题意： 在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出 ，据此可列出不等式组，再解出不等式组的可求出解集，进而可求出答案．
4．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为：，
∴化为顶点式为：，
∴抛物线的顶点坐标为（2，10），
∴n的最大值为10，
令x=0，解得y=2，
∴A点的坐标为（0，2），
根据图像可知是周期为6的图像，
∴A1点的坐标为（6，2），
∵ 直线：经过点A1，
∴2=-2×6+b，解得b=14，
∵2021÷6=3365，
∴k相等于x=5时，直线y=-2x+14的值，即y=4，
∴k=4，
∴当n最大时，n-k有最大值，
∴最大值=n-k=10-4=6，
故答案为：A .
【分析】先把抛物线化为顶点式，求出B点、A1、A2、A3、A4等点的坐标，则B点的纵坐标即为n的最大值，然后根据直线的解析式经过A1，求出对应的函数解析式，然后根据图像周期为6对应进行求解确定k的值，再计算即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格可以推断，滚动的距离s是滚动时间t的二次函数，
设函数表达式为s=ax2+bx（a≠0），
代入（2，3），（4，12）得：
，
解得：
故.
验证：当t=6时，s=27，可知推断正确.
故t=5时，.
故答案为：C.
【分析】由表格可以推断，滚动的距离s是滚动时间t的二次函数，设函数表达式为s=ax2+bx（a≠0），待定系数法求出函数解析式并验证，最后代入t=5，求s即可.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，反比函数的解析式为：
A、 当液体密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意；
B、 当液体密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意；
C、 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 ，正确，符合题意；
D、 当液体的密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据图像和反比例函数性质可得反比函数的解析式为：，逐项分析判断可得答案。
7．【答案】0.8
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为：
将=1，h=20代入解析式，可得k=1×20=20
∴h关于的函数解析式为：
将h=25代入解析式可得：
解得：=0.8
故答案为：0.8
【分析】设h关于的函数解析式为：，根据待定系数法将点(1，20)代入解析式可得h关于的函数解析式为：，再将h=25代入解析式即可求出答案.
8．【答案】10
【知识点】一元二次方程的其他应用；比例中项
【解析】【解答】
解：如图，
由第一个图可得，则，
由第二个图可得，则，
∴，
解得：，负值舍去，
故答案为：10．
【分析】由杠杆平衡原理知，左图中有：长臂乘m等于短臂乘20，右图中有：长臂乘5等于短臂乘m，则长臂：短臂＝20：m=m：5，关键是能把等积式转化为比例式。
9．【答案】-1
【知识点】二元一次方程的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据题意得：
解得：
因此y-x=1-2=-1.
故答案为：-1.
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.根据元素Cu和H的数量不变，可列出解出x，y的值，再将其代入y-x中，即可.
10．【答案】-2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为，
将点代入得，
，
的解析式是，
反射后经过点，
，
．
故答案为：-2
【分析】先根据物理知识结合关于坐标轴对称的点的坐标的特征即可得到A'的坐标，从而运用待定系数法求出直线A'B的函数解析式，从而根据题意将点C代入即可求解。
11．【答案】5
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】设抛物线的解析式为，
∵水柱的最高点为，，，
∴点P的坐标为（2，9），
∴，
根据，可得点D的坐标为（0，5），
将点D（0，5）代入，
可得4a=-4，解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为，
将y=0代入，
可得，
解得：x1=5，x2=-1（舍），
∴水柱落地点到水嘴所在墙的距离是5，
故答案为：5.
【分析】先利用顶点式求出抛物线解析式，再将y=0代入解析式求出x的值即可.
12．【答案】（1）200
（2）解：①；②4；③函数图象如下所示：
（3）解：点的坐标（16，5）或（50，）
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：（1）∵FA×L1＝FB×L2，
∴FB＝（N），
∴重物B所受拉力为200N，
故答案为：200；
（2）①∵FA×L1＝FB×L2，
∴L2＝，即y＝，
故答案为：；
②由①得a＝，b＝，
故答案为：4，.
（3）点A的坐标为（20，0），B的坐标为（0，2），C为反比例函数y＝（x＞0）上一点，
设C（a，），连接BC，AC，OC，
∴S△ABC＝S△OBC＋S△OAC-S△AOB
＝OB xC＋OA yC-OA OB
＝×2×a＋×20×-×2×20
＝a＋-20，
∵S△ABC＝46，
∴a＋-20＝46，
整理得：a2-66a＋800＝0，
解得a1＝50，a2＝16，
经检验，a＝50或a＝16是原方程的根，
∴a＝50时，；a＝16时，，
∴点C的坐标为（50，）或（16，5）．
【分析】（1）根据“FA×L1＝FB×L2”将数据代入求出FB的值即可；
（2）①利用“FA×L1＝FB×L2”可得y＝；
②利用函数解析式直接求出a、b的值即可；
③利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（3）根据“S△ABC＝46”可得a＋-20＝46，再求出a的值，再求出点C的坐标即可.
13．【答案】（1）解：设，
由已知可知，时，；时，．
∴，
解得：，
．
当时，，
∴该溶液的体积为．
（2）解：由题意得：，
解得．
答：温度应控制在内．
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意待定系数法求出与的函数关系式，将代入函数关系式，计算即可求解；
（2）将（1）中求得的关系式代入可得关于t的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：设，
由已知，时，；时，．
，
解得：，
．
当时，，
∴该溶液的体积为．
（2）解：由题意得：，
解得．
答：温度应控制在内．
14．【答案】解：⑵解：图象如图所示：
由图像大致可知函数图象为二次函数，
因为图象经过原点，设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，把（0，0），（5，0.1），（10，0.3），代入：
∴.
∴y=0.002x2+0.01x；
⑶方法一：把x=120代入y=0.002x2+0.01x=30＜32.5，
所以该车已超速行驶
方法二：把y=32.5代入y=0.002x2+0.01x，解得x1=125，x2=－130（舍）.
车速125大于限速120，所以该车已超速行驶.
⑷设汽车刹车前的速度为x千米/小时.则根据停车距离=反应距离+制动距离，可得：
0.3x+0.002x2+0.01x≤4.6
整理得：3x2+140x－6900≤0，
取最大距离，则3x2+140x－6900=0
解得x1=30，x2=－230（舍）
∴汽车刹车前的最大速度不能超过30千米/小时.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：⑴反应时间==.
即驾驶员正常的反应时间为0.3秒，
故答案为：0.3；
【分析】（1）利用题干中反应时间的公式列出算式，再求解即可；
（2）根据函数图象确定为二次函数，再利用待定系数法求出解析式即可；
（3）将x=120代入解析式求出y的值，再比较大小；或者将y=32.5代入解析式求出x的值，再比较大小即可；
（4）设汽车刹车前的速度为x千米/小时，根据“停车距离=反应距离+制动距离”列出不等式0.3x+0.002x2+0.01x≤4.6，再求解即可.
15．【答案】（1）2；1.5
（2）解：①根据表格数据描点：，，，，，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②不断减小
（3）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】(1)根据题意，
故答案为： 2， 1.5；
(2)②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
(3)如图：
由函数图象知， 当 或 时，
即当 时，
故答案为： 或
【解答】(1)由已知列出方程，即可解得a，b的值；
(2)①描点画出图象即可；
②观察图象可得答案；
(3)同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案.
16．【答案】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力阻力臂动力动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，则有，
∴图③中的函数解析式为．
（2）解：∵
∴当x最大时，y最小，
∵由于支点即为细绳悬挂点，
∴．
∵杆长，点右侧总长，
∴．
综上，．
∴当时，．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据杠杆原理的公式阻力x阻力臂=动力x动力臂，求解可得答案；
（2）根据反比例函数的性质进行求解即可。
17．【答案】（1）解：如图所示，是在同一直线上：
（2）解：设，把和代入，得：
，
解得，
，
，
随x增大而增大，
当时，，
∴弹簧B的最大拉力为；
（3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根，
则，
解得，
记最大拉力为y，
因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为，
则.
且m为整数，y随m增大而增大，
当时，，
购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
1 / 1跨学科综合建模—中考数学核心考点大综合专题
一、选择题
1．（2024九上·龙岗开学考）实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的倍晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（　　）
A．增加的水量
B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量
D．减少的食盐量
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：A、若增加水量xg，根据题意可列方程：，故选项A不符合题意；故选项A不符合题意；
B、若蒸发掉水量xg，根据题意可列方程：，故选项B符合题意；
C、若加入食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
D、若减少食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据各个选项设未知量，根据题意列方程，对比即可得到结论.
2．（2022·丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A.设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（　　）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵R=，
∴I=≤0.11，
∴R≥=2000 （Ω） .
故答案为：A.
【分析】根据欧姆定律和最大限度不得超过0.11A建立不等式，依此求解，即可得出结果.
3．（2024八上·衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（　　）
A．以上，以下 B．以上，以下
C．以上，以下 D．以上，以下
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为，
则有：，
解得：，
∴一颗玻璃球的体积在以上，以下，
故答案为：C
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用.设一颗玻璃球的体积为，根据题意： 在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出 ，据此可列出不等式组，再解出不等式组的可求出解集，进而可求出答案．
4．（8.3跨学科融合—中考数学重难点题型解读·技巧点拨·训练）如图，有规律的“心电”图形由图形不断向右重复组成，图形分为两条曲线和两条线段，曲线是二次函数图象的一部分，该二次函数顶点是，与轴交于点；曲线是反比例函数图象的一部分；线段是直线的一部分；线段是直线的一部分．若点、是“心电”图形上的两点，则的最大值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为：，
∴化为顶点式为：，
∴抛物线的顶点坐标为（2，10），
∴n的最大值为10，
令x=0，解得y=2，
∴A点的坐标为（0，2），
根据图像可知是周期为6的图像，
∴A1点的坐标为（6，2），
∵ 直线：经过点A1，
∴2=-2×6+b，解得b=14，
∵2021÷6=3365，
∴k相等于x=5时，直线y=-2x+14的值，即y=4，
∴k=4，
∴当n最大时，n-k有最大值，
∴最大值=n-k=10-4=6，
故答案为：A .
【分析】先把抛物线化为顶点式，求出B点、A1、A2、A3、A4等点的坐标，则B点的纵坐标即为n的最大值，然后根据直线的解析式经过A1，求出对应的函数解析式，然后根据图像周期为6对应进行求解确定k的值，再计算即可得到答案.
5． 在物理实验课上，一个钢球从斜面顶端由静止状态开始沿斜面滚下， 速度不断加快．小雨同学探究钢球滚动的距离 与滚动时间 之间的关系， 得到一些数据， 如下表所示：
滚动时间 0 2 4 6 8
滚动的距离 0 3 12 27 48
由上表可以推断， 滚动时间为 时， 钢球滚动的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格可以推断，滚动的距离s是滚动时间t的二次函数，
设函数表达式为s=ax2+bx（a≠0），
代入（2，3），（4，12）得：
，
解得：
故.
验证：当t=6时，s=27，可知推断正确.
故t=5时，.
故答案为：C.
【分析】由表格可以推断，滚动的距离s是滚动时间t的二次函数，设函数表达式为s=ax2+bx（a≠0），待定系数法求出函数解析式并验证，最后代入t=5，求s即可.
6．（2025九下·深圳开学考）密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，如图所示.下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，反比函数的解析式为：
A、 当液体密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意；
B、 当液体密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意；
C、 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 ，正确，符合题意；
D、 当液体的密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据图像和反比例函数性质可得反比函数的解析式为：，逐项分析判断可得答案。
二、填空题
7．（2025九下·深圳模拟）科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数．当密度计悬浮在密度为的水中时，．当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为　 　．
【答案】0.8
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为：
将=1，h=20代入解析式，可得k=1×20=20
∴h关于的函数解析式为：
将h=25代入解析式可得：
解得：=0.8
故答案为：0.8
【分析】设h关于的函数解析式为：，根据待定系数法将点(1，20)代入解析式可得h关于的函数解析式为：，再将h=25代入解析式即可求出答案.
8．（2024九下·浙江模拟）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为　 　．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的其他应用；比例中项
【解析】【解答】
解：如图，
由第一个图可得，则，
由第二个图可得，则，
∴，
解得：，负值舍去，
故答案为：10．
【分析】由杠杆平衡原理知，左图中有：长臂乘m等于短臂乘20，右图中有：长臂乘5等于短臂乘m，则长臂：短臂＝20：m=m：5，关键是能把等积式转化为比例式。
9．（2024·成都一诊）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[xCuCO3 yCu（OH）2]加热分解的化学方程式为：xCuCO3 yCu（OH）23CuO+H2O+xCO2↑，其中x，y为正整数，则y﹣x＝　 　．
【答案】-1
【知识点】二元一次方程的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据题意得：
解得：
因此y-x=1-2=-1.
故答案为：-1.
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.根据元素Cu和H的数量不变，可列出解出x，y的值，再将其代入y-x中，即可.
10．（2024·越秀模拟）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
【答案】-2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为，
将点代入得，
，
的解析式是，
反射后经过点，
，
．
故答案为：-2
【分析】先根据物理知识结合关于坐标轴对称的点的坐标的特征即可得到A'的坐标，从而运用待定系数法求出直线A'B的函数解析式，从而根据题意将点C代入即可求解。
11．（2023·武威模拟） “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的如图，水柱的最高点为，，，水嘴高，则水柱落地点到水嘴所在墙的距离是　 　
【答案】5
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】设抛物线的解析式为，
∵水柱的最高点为，，，
∴点P的坐标为（2，9），
∴，
根据，可得点D的坐标为（0，5），
将点D（0，5）代入，
可得4a=-4，解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为，
将y=0代入，
可得，
解得：x1=5，x2=-1（舍），
∴水柱落地点到水嘴所在墙的距离是5，
故答案为：5.
【分析】先利用顶点式求出抛物线解析式，再将y=0代入解析式求出x的值即可.
三、解答题
12．（2024九上·福田期中）【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔棉在井上汲水的情境（杜杆原理：阻力阻力臂=动力动力臂，如图1，即），受枯棉的启发，小杰组装了如图所示的装置.其中，杜杆可绕支点在坚直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体.
（1）若在杜杆右端挂重物，杜杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为　 　N.
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化.设重物的质量为的长度为.则：
①关于的函数解析式是 ▲ .
②完成下表：
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 a 2 b …
a= ▲ b= ▲ .
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象.
（3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标.
【答案】（1）200
（2）解：①；②4；③函数图象如下所示：
（3）解：点的坐标（16，5）或（50，）
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：（1）∵FA×L1＝FB×L2，
∴FB＝（N），
∴重物B所受拉力为200N，
故答案为：200；
（2）①∵FA×L1＝FB×L2，
∴L2＝，即y＝，
故答案为：；
②由①得a＝，b＝，
故答案为：4，.
（3）点A的坐标为（20，0），B的坐标为（0，2），C为反比例函数y＝（x＞0）上一点，
设C（a，），连接BC，AC，OC，
∴S△ABC＝S△OBC＋S△OAC-S△AOB
＝OB xC＋OA yC-OA OB
＝×2×a＋×20×-×2×20
＝a＋-20，
∵S△ABC＝46，
∴a＋-20＝46，
整理得：a2-66a＋800＝0，
解得a1＝50，a2＝16，
经检验，a＝50或a＝16是原方程的根，
∴a＝50时，；a＝16时，，
∴点C的坐标为（50，）或（16，5）．
【分析】（1）根据“FA×L1＝FB×L2”将数据代入求出FB的值即可；
（2）①利用“FA×L1＝FB×L2”可得y＝；
②利用函数解析式直接求出a、b的值即可；
③利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（3）根据“S△ABC＝46”可得a＋-20＝46，再求出a的值，再求出点C的坐标即可.
13．（2024九下·宁波模拟）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为．
（1）求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积．
（2）若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？
【答案】（1）解：设，
由已知可知，时，；时，．
∴，
解得：，
．
当时，，
∴该溶液的体积为．
（2）解：由题意得：，
解得．
答：温度应控制在内．
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意待定系数法求出与的函数关系式，将代入函数关系式，计算即可求解；
（2）将（1）中求得的关系式代入可得关于t的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：设，
由已知，时，；时，．
，
解得：，
．
当时，，
∴该溶液的体积为．
（2）解：由题意得：，
解得．
答：温度应控制在内．
14．（2024·杭州模拟）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离
背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车. 驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离.
素材1 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速x（千米/时）306090反应距离s（米）2.557.5
注意：1千米/时=米/秒 ⑴已知反应时间=，则驾驶员正常的反应时间为 ▲ 秒.
素材2 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关.下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时）051015202530刹车距离y（米）00.10.30.611.62.1
素材3 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里.
任务1 ⑵请根据素材2回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图1），以所测得数据刹车时车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
任务2 ⑶请根据素材2和3相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32.5米，请推测汽车是否超速行驶；
任务3 ⑷请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的C点时与轿车的距离s=4.6米（见图2）.测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线CE前停车（见图3），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）
【答案】解：⑵解：图象如图所示：
由图像大致可知函数图象为二次函数，
因为图象经过原点，设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，把（0，0），（5，0.1），（10，0.3），代入：
∴.
∴y=0.002x2+0.01x；
⑶方法一：把x=120代入y=0.002x2+0.01x=30＜32.5，
所以该车已超速行驶
方法二：把y=32.5代入y=0.002x2+0.01x，解得x1=125，x2=－130（舍）.
车速125大于限速120，所以该车已超速行驶.
⑷设汽车刹车前的速度为x千米/小时.则根据停车距离=反应距离+制动距离，可得：
0.3x+0.002x2+0.01x≤4.6
整理得：3x2+140x－6900≤0，
取最大距离，则3x2+140x－6900=0
解得x1=30，x2=－230（舍）
∴汽车刹车前的最大速度不能超过30千米/小时.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：⑴反应时间==.
即驾驶员正常的反应时间为0.3秒，
故答案为：0.3；
【分析】（1）利用题干中反应时间的公式列出算式，再求解即可；
（2）根据函数图象确定为二次函数，再利用待定系数法求出解析式即可；
（3）将x=120代入解析式求出y的值，再比较大小；或者将y=32.5代入解析式求出x的值，再比较大小即可；
（4）设汽车刹车前的速度为x千米/小时，根据“停车距离=反应距离+制动距离”列出不等式0.3x+0.002x2+0.01x≤4.6，再求解即可.
15．（2025·萧山模拟）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一个固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2Ω）亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据：
R（Ω） … 1 a 3 4 6 …
I（A） … 4 3 2.4 2 b …
（1）a=　 　，b=　 　.
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象.
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 ▲ .
（3）【拓展】结合(2)中函数图象分析，当0时，的解为　 　.
【答案】（1）2；1.5
（2）解：①根据表格数据描点：，，，，，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②不断减小
（3）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】(1)根据题意，
故答案为： 2， 1.5；
(2)②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
(3)如图：
由函数图象知， 当 或 时，
即当 时，
故答案为： 或
【解答】(1)由已知列出方程，即可解得a，b的值；
(2)①描点画出图象即可；
②观察图象可得答案；
(3)同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案.
16．（2025九下·深圳开学考）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂（如图①）．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重的物体（即支点为，阻力为，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．
（1）求图③中的函数解析式；
（2）若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？
【答案】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力阻力臂动力动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，则有，
∴图③中的函数解析式为．
（2）解：∵
∴当x最大时，y最小，
∵由于支点即为细绳悬挂点，
∴．
∵杆长，点右侧总长，
∴．
综上，．
∴当时，．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据杠杆原理的公式阻力x阻力臂=动力x动力臂，求解可得答案；
（2）根据反比例函数的性质进行求解即可。
17．（2025八上·温州期末）综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计．
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表：
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．
（1）任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力．
（3）任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
【答案】（1）解：如图所示，是在同一直线上：
（2）解：设，把和代入，得：
，
解得，
，
，
随x增大而增大，
当时，，
∴弹簧B的最大拉力为；
（3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根，
则，
解得，
记最大拉力为y，
因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为，
则.
且m为整数，y随m增大而增大，
当时，，
购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
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