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大招专题2 角平分线中常见辅助线
母题学大招3 角平分线+垂直一边
1[2023 湖北黄石调研,中]如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB 于点 E.若△ABC 的面积为 36 cm ,AB = 18 cm,BC =12 cm,求 DE 的长.
子题练变式
2[中]如图所示,△ABC中,AD是角平分线,BE是△ABD的中线.若△ABC 的面积是16,AB=5,AC=3,求△ABE 的面积.
母题学大招4 角平分线+斜线
3[2024 浙江杭州调研,中]如图所示,AD 是△ABC的内角平分线，P是AD 上异于点A 的任意一点,试比较PC-PB与AC-AB 的大小,并说明理由.
母题学大招5 角平分线+垂线
[2024江苏苏州校级期中，中]如图，已知BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP,若 则S△ABC等于 ( )
大招专题2 角平分线中常见辅助线
大招解读|角平分线+垂直一边如图,OP 是. 的平分线， 于点A，可以过点 P 作. 于点B,则. 可记为“图中有角平分线，可过角平分线上一点，向两边作垂线段，垂线段相等”，进而得到一组全等三角形( 一般题目条件会给出一条垂线段，需要自行补出另一条垂线段，但有时题目条件只给出一条角平分线，需要自行补出两条垂线段.
1.【解】如图,作. 交 BC 的延长线于点F.因为BD是. 的平分线， 所以 因为 的面积为 所以 因为 所以
2.【解】如图,过点 D 作 AB, ，垂足分别为 F，G.因为AD 是角平分线，所以 设 因为 所以 所以 解得 所以 10.因为 BE 是 的中线，所以
大招解读|角平分线+斜线如图,OP 是 的平分线，点A 是射线 OM 上任意一点，线段AP 与 OM和OP 均不垂直，则可在ON上截取 连接PB，构造 可记为“图中有角平分线，截长补短构造全等”.
3.【解】 理由如下：如图，在AC上取一点 F，使 连接PF.
因为 AD 是 的内角平分线，所以
在 和 中 所以
所以
因为 所以( 因为PC-PF大招解读|角平分线+垂线如图，P是∠MON的平分线上一点,AP⊥OP 于点P,延长AP交ON于点B,构造△AOP≌△BOP.
A 【解析】如图,延长AP 交BC于点 D.因为BP 是∠ABC 的平分线,所以∠ABP=∠DBP.因为AP⊥BP,所以∠APB=∠DPB=90°.因为BP=BP,所以△BAP≌△BDP(ASA),所以 所以 因为 所以 所以 所以 故选A.
5.【解】如图,延长 CE 与 BA 相交于点 F.因为∠BAC=∠BEF=∠BEC=∠CAF=90°,所以
∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,
所以∠EBF =∠ACF.在△ABD 和△ACF 中, 所以△ABD≌△ACF(ASA),
所以BD=CF.因为BD 是∠ABC的平分线,所以 ∠EBC = ∠EBF. 在 △BCE 和△BFE 中, 所以△BCE≌△BFE(ASA),所
以CE=EF,所以 CF=2CE,所以 BD=CF=2CE.
B.30 cm
D.不能确定
子题练变式
[2024山东济宁期末,中]如图,已知∠BAC=90°,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线,且 CE⊥BD 交 BD的延长线于点 E.试说明:BD=2CE.大招专题3 双角平分线模型
母题学大招6 双内角平分线型
1[2024 重庆渝中区期中，中]如图所示，在△ABC 中,∠ABC 的平分线 BE 和∠ACB 的平分线CD相交于点 O.
(1)请说明
(2)若∠A=60°,试猜想 BC,CE,BD 三条线段之间有何关系.
子题练变式
2[2024天津南开区调研,中]如图,在△ABC中,∠A=52°,∠ABC与∠ACB 的平分线交于点D ,∠ABD 与∠ACD 的平分线交于点 D ,依次类推,∠ABD 与∠ACD 的平分线交于点 D ,则∠BD C 的度数是 ( )
A.60°
B.56°
C.94°
D.68°
母题学大招7 一内一外角平分线型
3[2024 广东东莞调研,中]如图,已知 BD 为△ABC中∠ABC的平分线,CD 为△ABC 的外角∠ACE 的平分线，两条角平分线交于点 D.
(1)若∠ABC=50°,∠ACE= 120°,求∠D 的度数；
(2)若∠ACE-∠ABC=60°,求∠D 的度数;
(3)若∠A=80°,求∠D的度数;
(4)猜想:∠A 与∠D 的数量关系为 .
子题练变式
4[2024 河北唐山调研,中]如图,在△ABC 中,∠B=90°,∠ACB 平分线与∠FAC 的平分线的反向延长线交于点H，则∠H的度数是 ( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.以上都有可能
母题学大招8 双外角平分线型
L[2024 广东湛江校级期中,中]在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P.
(1)如图(1),若∠BPC=α,则∠A= ;(用含α的代数式表示)
(2)如图(2),作△ABC外角∠MBC,∠NCB 的平分线交于点 Q，试探究∠Q 与∠BPC 之间的数量关系，并说明理由.
大招专题3 双角平分线模型
刷难关
大招解读|双内角平分线型如 图, BP, CP 分 别 是 的平分线，则
1.【解】(1)因为 3E,CD 分别是. 和 的平分线，所以 所以
(2)如图,连接OA,作 于点 F, AC于点 G, 于点 H.
因为 的两条角平分线 BE，CD交于点O，所以 易得 △COG≌△COH,所以BH=BF,CH=CG.因为∠BAC=60°,所以 60°=120°.在四边形AFOG中,∠FOG=360°-60°-90°×2=120°,所以∠DOE=∠FOG,所以∠DOE - ∠DOG = ∠FOG - ∠DOG, 所以∠DOF = ∠EOG. 在 △DOF 和 △EOG 中, 所以△DOF≌△EOG
(ASA),所以 DF=EG,所以BC=BH+CH=BF+CG=BD-DF+CE+EG=CE+BD,即 BC=CE+BD.
2. B 【解析】因为∠A=52°,所以∠ABC+∠ACB=180°-52°= 128°. 又因为∠ABC 与 的平分线交于点 所以 所以 所以 同理可得 依次类推， 所以 故选 B.
大招解读|一内一外角平分线型如图,BP,CP 分别是 的平分线，则
【解】(1)因为 平分 CD 平分 所以 所以
(2) 因 为 所 以 ∠D = ∠DCE - ∠CBD = 因为∠ACE - ∠ABC = 60°, 所以 60°=30°.
(3)由(2)可知 因为∠A=80°,所以
(4)由(3)可知 故答案为∠D=
4. B 【解析】因为 CH,AD分别为∠ACB,∠CAF的平分线，所以 所以 即 又因为∠CAF=∠B+∠ACB = 90°+∠ACB,所以∠CAF-∠ACB=90°,所以 所以∠H=45°.故选 B.
大招解读|双外角平分线型
如图,BP,CP 分别是∠CBD,∠BCE 的平分线,则
5.【解】(1)因为 BP,CP 分别平分∠ABC 与∠ACB,所以 因为 ∠BPC = 180°--( ∠PBC +∠PCB),所以 ∠ACB),所以 因为∠BPC=α,所以∠A=2α-180°.故答案为2α-180°.
(2)∠BPC+∠Q=180°.理由:因为 BQ,CQ 分别 平 分 ∠MBC, ∠NCB, 所 以 ∠QBC = 所以∠QBC+ 所以∠QBC+ 所以∠QBC+∠QCB=90°+ 所以 由(1)知 所以∠BPC+∠Q=180°.专题1 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法
母题学大招1 作中线法
1[2023 陕西西安雁塔区期 是个招鸭中,中](1)如图(1),在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D 是BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,试说明DE=DF.
(2)如图(2),△ABC 是边长为4 的等边三角形,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且∠EDF=120°,试说明DE=DF.
练变式
2[2023 湖南长沙校级期末,较难]在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,E,F分别为AB,AC上的点.
(1)如图(1),DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,试说明DE=DF;
(2)如图(2),∠AED+∠AFD=180°,请判断DE和DF 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图(3),点 F 与点A 重合,点 P 为CD 上的一点,且∠APE=∠C,BA=BP,求DPE的值.
母题学大招2 作平行线法
3[2024 山东菏泽调研,较难]如图,在△ABC中,AB=AC,点 P 从点 B 出发沿线段 BA 移动,同时，点Q 从点 C 出发沿线段AC的延长线移动，已知点 P，Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D.
(1)如图(1),当点 P 为AB 的中点时,试说明:PD=QD;
(2)如图(2)，过点 P 作直线BC的垂线，垂足为E,点P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段 请说明理由.
子题练变式
[较难]如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,交AC于D,AE⊥BD,垂足为E.试说明AC=2BE.
作中线法
遇等腰三角形底边的中点时，常作底边上的中线，构造“三线合一”的模型解题.
【条件】 点D 在BC上,
【结论】 1.【解】(1)连接AD.因为△ABC中,∠A=90°,AB=AC,所以∠C=∠B=45°.因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,AD 平分∠BAC,所以∠DAC=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°,所以AD=BD=DC.因为 DE⊥DF,所以∠EDF=90°,所以 ∠ADF +∠FDC = 90°, ∠FDC +∠BDE=90°,所以∠BDE=∠ADF.在△BDE 和
△ADF中
所以△BDE≌△ADF,所以DE=DF.(2)如图,连接AD,过点 D作 DM⊥AB 于 M,DN⊥AC于N.因为△ABC 是等边三角形，D为BC的中点，所以AD 是 ∠BAC 的平分线,∠BAC=∠B = ∠C = 60°,所以 DM = DN,∠MDN = 120°. 又 因 为 ∠EDF= 120°,所以∠MDN=∠EDF,所以∠MDE=∠NDF.
在△MDE与△NDF 中,
所以△MDE≌△NDF(ASA),所以DE=DF.
2.【解】(1)如图(1),连接AD.
因为 AB = AC, 所以
△ABC 是等腰三角形.
因为 D 为 BC 的中点,
所以 AD 平分∠BAC.
因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以DE=DF.
(2)DE = DF. 理由如下：如图(2)，过点D作DG⊥AB于G,DH⊥AC于H,连接AD.
因为∠AED+∠AFD=180°,∠AED+∠BED=180°,所以∠BED=∠AFD.因为AB=AC,所以△ABC 是等腰三角形.因为 D 为BC 的中点,所以AD平分∠BAC.因为DG⊥AB,DH⊥AC,所以 DG = DH. 在 △DGE 和 △DHF 中,
所 以 △DGE ≌ △DHF
(AAS),所以DE=DF.
(3)如图(3),连接AD,过P点作 PM⊥AB.因为 BA = BP, 所 以∠BAP=∠APD.因为AD⊥BC,PM⊥AB,所以∠ADP= ∠AMP = 90°. 因为 AP =AP,所以△ADP≌△PMA(AAS),所以AM=DP.因为AB=AC,所以∠B=∠C.因为∠APE=∠C,所以∠APE=∠B,所以∠AEP=∠B+∠BPE=∠APE+∠BPE=∠APD,所以∠AEP=∠BAP,所以PA=PE.因为 PM⊥AE,所以AE=2AM=2DP,所以
大招解读|作平行线法
【模型】作腰的平行线.
【条件】AB=AC,DE∥AC.
【结论】DB=DE
【模型】作底边的平行线.
【条件】AB=AC,DE∥BC.
【结论】AD=AE
【模型】过顶点作底边的平行线.
【条件】AB=AC,点 D在 BA 延长线上,AE∥BC.
【结论】∠1=∠2
3.【解】(1)过 P 点作 交BC 于 F,如图(1).
因为点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，所以，
因为 所以 ∠DQC.
因为 AB = AC,所以 所 以∠B=∠PFB,
所以BP=PF,所以PF=CQ.
因为 ∠DQC,
所以 所以PD=QD.
(2)存在,ED 的长度保持不变.理由如下：过点 P 作 PF∥AQ 交BC于点 F,如图(2).
由(1)知PB=PF.
因为 PE⊥BF,所以BE=EF.由(1)知 所以FD=DC,
所以 所以ED的长度保持不变.
4.【解】如图,过点A 作AF∥BC,交 BD 的延长线于点 F，所以∠F=∠DBC,∠FAD=∠C. 因为 ∠ABC =2∠C,BD平分∠ABC,所以 ∠C,所以∠F=∠FAD=∠ABD,BD=CD,所以AD=DF,AB=AF.因为 所以 BE= 因为AC=AD+CD=DF+BD=BF,所以AC=2BE.

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