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北师大版九上特殊平行四边形单元测试
（共23题，共100分）
一、选择题（共10题，共30分）
（3分）如图，在菱形 中， 与 相交于点 ，，，则菱形的边长 等于
A． B． C． D．
（3分）下列命题中正确的是
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．三个角是直角的多边形是矩形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
（3分）矩形，菱形，正方形都具有的性质是
A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
（3分）如图，从①②③④中选择一块可与左边图形拼成一个矩形的拼图板，应该选
A．① B．② C．③ D．④
（3分）下面结论中正确的是
A．对角线相等的四边形是等腰梯形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形
D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴
（3分）如图，把矩形纸片 沿对角线折叠，设重叠部分为 ，那么下列说法错误的是
A． 是等腰三角形，
B．折叠后 和 一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D． 和 一定是全等三角形
（3分）如图，已知某广场菱形花坛 的周长是 米，，则花坛对角线 的长度等于
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
（3分）已知四边形 是平行四边形，对角线 与 相交于点 ，下列结论中不正确的是
A．当 时，四边形 是菱形
B．当 时，四边形 是菱形
C．当 时，四边形 是矩形
D．当 时，四边形 是矩形
（3分）如图所示，， 分别是正方形 的边 ， 上的点，且 ，， 相交于点 ，下列结论① ；② ；③ ；④ 中，错误的有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
（3分）如图，在矩形 中，，，点 为 的中点，将 沿 折叠，使点 落在矩形内点 处，连接 ，则 的值为
A． B． C． D．
二、填空题（共5题，共15分）
（3分）已知： 中，，，， 为 上任意一点， 于 ， 于 ，则 的最小值是 ．
（3分）如图，平行四边形 的对角线互相垂直，要使平行四边形 成为正方形，还需添加的一个条件是 ．（只需添加一个即可）
（3分）矩形一个内角的角平分线将它的一边分成 和 的两部分，则该矩形的周长是 ．
（3分）如图，在矩形 中，，对角线 ， 相交于点 ， 垂直平分 于点 ，则 的长为 ．
（3分）若矩形 中一内角平分线把矩形的一边分成 ， 的两条线段，则矩形 的周长是 ．
三、解答题（共8题，共55分）
（6分）在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 ， 满足 ，连接 ，，，，如图所示．
(1) 求证：．
(2) 试判断四边形 的形状，并说明理由．
（6分）如图，一张矩形纸片 ，，．点 在这张矩形纸片的边 上，将纸片折叠，使 落在射线 上，折痕为 ，点 ， 分别落在点 ， 处．
(1) 若 ，则 的度数为 ．
(2) 若 ，求 的长．
（6分）如图，正方形 ，将边 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，．
(1) 求 的度数；
(2) 连接 ，延长 交 于点 ．
①求证：；
②直接用等式表示线段 ，， 的数量关系．
（6分）矩形 中，，，点 为 的中点，将矩形 沿 折叠，使得点 落到点 的位置．
(1) 求证：；
(2) 求 的长度．
（6分）如图，在四边形 中，，对角线 的垂直平分线与边 ， 分别相交于点 ，．
(1) 求证：四边形 是菱形；
(2) 若 ，，求菱形 的周长．
（8分）如图，已知菱形 中，对角线 相交于点 ，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点 ．
(1) 求证：四边形 是矩形．
(2) 若 ，，求四边形 的周长．
（8分）在矩形 中，点 ，点 为对角线 上两点，．
(1) 求证：四边形 是平行四边形．
(2) 若 ，，，求 的长度．
（9分）如图 ，正方形 的对角线 ， 相交于点 ，在线段 ， 上各取一点 ， 使得 ，连接 并延长交 于点 ．
(1) 试猜想 与 的位置关系和数量关系，并说明理由．
(2) 若 ，，求 的长．
(3) 如图 ，在线段 ， 的延长线上各取一点 ，，使得 ，连接 并延长交 于点 ．请问：（）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由．
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】D
【解析】 四边形 是菱形，
，，，
，，
，，
，
即菱形 的边长是 ．
【知识点】菱形的性质
2. 【答案】D
【知识点】命题的真假、矩形的判定
3. 【答案】C
【解析】矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．
【知识点】正方形的性质
4. 【答案】C
【知识点】图形的分割与拼接
5. 【答案】D
【知识点】等腰梯形的判定、等腰梯形的性质、等腰梯形
6. 【答案】B
【知识点】矩形的性质、图形成轴对称、角角边
7. 【答案】A
【解析】 四边形 为菱形，设对角线交点为 ，
，，，（米），
，
为等边三角形，
（米），（米），
在 中，根据勾股定理得：（米），
则 米．
【知识点】菱形的性质
8. 【答案】D
【知识点】菱形的判定、矩形的判定
9. 【答案】A
【知识点】正方形的性质
10. 【答案】D
【解析】连接 ，作 ，
，点 为 的中点，
，
又 ，
，
由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴），
，
则 ，
，
，
根据勾股定理得，
，
，
，
是 的高，
．
故选D．
【知识点】图形成轴对称、矩形的性质
二、填空题（共5题，共15分）
11. 【答案】
【解析】连接 ，如图所示：
， 于 ， 于 ，
，
四边形 是矩形，
，
要使 最小，只要 最小即可，当 时， 最小，
在 中，，，，
由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：，
，即 ．
【知识点】矩形的性质
12. 【答案】答案不唯一，如： 或
【知识点】正方形的判定
13. 【答案】 或
【解析】，．
．
利用角平分线得到 ，矩形对边平行得到 ．
．
．
矩形的周长为 ；
第二种情况：，．
同理可得 ．
所以矩形的周长为 ．
【知识点】矩形的性质、角平分线的性质
14. 【答案】
【解析】 四边形 是矩形，
，，，
，
垂直平分 ，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定、矩形的性质、勾股定理
15. 【答案】 或
【解析】分两种情况：①当 ， 时，如图①所示．
四边形 是矩形，
，，，
平分 ，
，
，
，
，
矩形 的周长 ；
②当 ， 时，如图②所示．
同理，得 ，
，
矩形 的周长 ．
故答案为： 或 ．
【知识点】等腰三角形的判定、矩形的性质
三、解答题（共8题，共55分）
16. 【答案】
(1) 正方形 ，
，
，
，
在 与 中，
．
(2) 连接 ．
正方形 ，
，，，
，
即 ，
，，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
【知识点】正方形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定、边角边
17. 【答案】
(1)
(2) ，，
，
四边形 是矩形，
，，
，
由翻折不变性可知，，
，
，
，，
在 中，由勾股定理得：，
，
由翻折不变性可知，，
．
【解析】
(1) 四边形 是矩形，
，
，，
由折叠的性质得：，
；
故答案为：．
【知识点】矩形的性质、折叠问题、勾股定理
18. 【答案】
(1) ，
．
，
．
(2) ① ．连接 ．
由正方形的对称性可知，．
，，
．
，，
．
．
②过 作 垂直 交于 ，
由题意求得 ，设 ，，，，则 ，
有 即有 ．
【知识点】旋转及其性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理
19. 【答案】
(1) 因为折叠，
所以 ，，
因为点 为 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
(2) 过点 作 于点 ，
因为四边形 是矩形，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ．
【知识点】轴对称的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、矩形的性质、等腰三角形的性质
20. 【答案】
(1) ，
，
是对角线 的垂直平分线，
，，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
(2) 四边形 是菱形，，，
，，，
在 中，由勾股定理得：，
菱形 的周长 ．
【知识点】菱形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、勾股定理
21. 【答案】
(1) ，，
四边形 为平行四边形，
四边形 为菱形，
，
，
平行四边形 是矩形；
(2) 四边形 为菱形，
，，，
在 中，由勾股定理得 ，
，
，
四边形 的周长 ．
【知识点】菱形的性质、矩形的判定
22. 【答案】
(1) 连接 ，交 于 ，如图所示：
四边形 是矩形，
，，，
，
，
四边形 是平行四边形．
(2) ，，
，
，
，．
．
【知识点】矩形的性质、勾股定理、对角线互相平分
23. 【答案】
(1) ．
正方形 中，，，
在 和 ，
，
，
，
，
，
．
(2) 中，，
，
，
，
中，，
，
．
(3) 成立．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理、正方形的性质、边角边

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