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2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．2025年1月18日，根据地区生产总值统一核算结果，2024年江西省地区生产总值为34202.5亿元，按不变价格计算，同比增长．34202.5亿可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
3．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 在中， 直径与弦相交于点 P， 连接， ，，若，， 则 （ ）
A． B． C． D．
6．“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有2张“霜降”，1张“惊蛰”，1张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“霜降”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（ ）
A．16 B．8 C． D．
8．在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于分别是的中点，连接，若，则的长度为（　　）
A． B．3 C． D．
9．如图，矩形中，，点P为上一动点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点A落在点E处，连接，连接交于点F，交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则的长为
C．若，则长度的最小值为1.8 D．和不可能全等
10．如图所示的零件的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分，每空3分）
11．若一元二次方程的两个根分别为，则的值为 ．
12．中，若，，则的最大值为 ．
13．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
14．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
15．双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是 ．
16．如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是 ．
17．矩形纸片中，，点M在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与分别交于点E，F，则线段的长度为 ．
18．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形．
(1)将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到；
(2)将绕格点O顺时针旋转，得到．
20．（8分）（1）计算：．
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（6分）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率．
22．（8分）如图，是正方形的对角线，将绕着点A逆时针旋转得到．
(1)求证：B，D，E三点共线；
(2)连接，交于点G，求的度数．
23．（8分）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
24．（6分）数学老师为了帮助班上的后进生进行“日日清”训练，每天为作业中有多处错误的同学设计A，B，C，D四份基础题，并将基础题写在背面完全相同且大小一样的四张卡片上，然后让这部分同学随机抽取卡片进行过关训练．
(1)（2分）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是_____；
(2)（4分）小明和小红分别从A，B，C，D四份基础题中随机抽取一份，求这两名同学恰好抽到同一份基础题的概率．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点为的中点，反比例函数的图象过点，且．
(1)求的值；
(2)求直线的函数表达式．
26．（6分）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
27．（10分）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．
(1)（3分）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
(2)（3分）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；
(3)（4分）当时，y的取值范围是，且，求a的值．
答案
1-5 BDCDD 6-10 ACDBB
11． 12． 13． 14．
15． 16．8 17．或 18．250
19．（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求．
20．（1）；（2），
21．设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为．
22．（1）如图，连接，，，
∵由旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴三点共线．
（2）∵正方形，
∴，，，
由旋转可得：，，，
∴，，
∴，
∴．
23．（1）如图，连接，
，
，
，
，
为直径，
，即，
∴，
为半径，
为的切线；
（2）设的半径为，则
由（1）得，
，，
，
在中，，
，
解得，
∴的半径为．
24．（1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由上表知，一共有16种等可能的结果，其中这两名同学恰好抽到同一份基础题的结果有4种．
P．
25．（1）如图，过点作轴于点，作轴于点，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）设直线的函数表达式为，
∵，
∴，
把的坐标分别代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
26．延长交于点，过点作，由题意，得：，
则四边形为矩形，
∴，，
在中，
∵斜坡的坡度i为，，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由题意，得：，
∴，
∴；
答：古树的高度为米．
27．（1）∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：，
∵，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，
由（1）知：，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点，
令，解得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．

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