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湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2025高二下·芙蓉期中）已知集合，，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·芙蓉期中）函数的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·芙蓉期中）函数f（x）=sinx的最小正周期是（　　）
A．4π B．2π C．π D．
4．（2025高二下·芙蓉期中）已知向量若，则实数的值为（　　）
A． B． C．0 D．1
5．（2025高二下·芙蓉期中）在区间为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·芙蓉期中）某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·芙蓉期中）在中，角所对的边分别为，若，则（　　）
A． B．2 C．3 D．6
8．（2025高二下·芙蓉期中）如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．直线在平面内
9．（2025高二下·芙蓉期中）下列运算正确的有（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高二下·芙蓉期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高二下·芙蓉期中）已知复数，以下说法正确的是（　　）
A．的实部是5
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
12．（2025高二下·芙蓉期中）已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则=　 　．
13．（2025高二下·芙蓉期中）已知，则函数的最小值是　 　．
14．（2025高二下·芙蓉期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是　 　.
15．（2025高二下·芙蓉期中）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
16．（2025高二下·芙蓉期中）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.
17．（2025高二下·芙蓉期中）已知二次函数满足，
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在的最小值和最大值.
18．（2025高二下·芙蓉期中）在数列中，已知.
（1）试写出，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（2025高二下·芙蓉期中）已知关于x，y的二元二次方程表示圆C．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线与圆C相交于M．N两点，且（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：D.
【分析】根据集合的交集计算即可.
2．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，
因为，，，
，，所以
根据零点存在性定理：函数的零点所在的区间是.
故答案为：B.
【分析】利用零点存在性定理求解即可.
3．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：函数y=sinx的最小正周期是 =2π，
故选：B．
【分析】根据函数y=sinωx的最小正周期是 ，运算可得结果．
4．【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量， 若，则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：A、函数在区间为减函数，故A不符合；
B、函数在区间为减函数，故B不符合；
C、函数在区间为增函数，故C符合；
D、函数在区间为减函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据常见函数的单调性判断即可.
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：任取1袋食品进行检测符合国家卫生标准的概率为.
故答案为：B.
【分析】根据古典概型概率公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，若，由正弦定理可得：.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理计算即可.
8．【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：易知平面，平面，则平面.
故答案为：A.
【分析】根据正方体的性质，结合线面平行的判定定理判断即可.
9．【答案】C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用对数的基本运算即可得解.
10．【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A，因为，所以，A符合题意，A正确；
B，因为，所以，所以，即，故B符合题意，B正确；
C，因为，所以，即，故C符合题意，C正确；
D，取，但有，故D不符合题意，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查不等式的性质，充分条件和必要条件的判断.根据不等式两边同时加减一个数，不等式的方向不改变，据此可判断A选项；先进行作差，根据符号法则进行判断，可判断C选项；根据不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向不改变，据此可判断C选项；举出反例取，进行计算可判断D选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、复数的实部是5，故A正确；
B、，故B正确；
C、复数z的共轭复数为：，故C正确；
D、复数在复平面内对应的点，位于第四象限，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】求复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 角的终边与单位圆的交点坐标为， 根据三角函数的定义，可得.
故答案为：.
【分析】根据任意角的三角函数定义直接求解即可.
13．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：当时，，当且仅当，即时等号成立，
则函数的最小值是.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式直接求函数的最小值即可.
14．【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以
则角为异面直线与所成角，
又因为平面，平面，所以，
又因为，所以为等腰直角三角形，则，
故异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
【分析】由题意，推出角为异面直线与所成角.
15．【答案】（1）解：因为，所以；
（2）解：由（1）可知：，，
则，，
故.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求解即可；
（2）由（1）的结论，利用正弦、余弦的二倍角公式求解即可.
（1）由，得，又，所以.
（2）由（1）知，，
则，，
所以.
16．【答案】（1）解：易知高一、高二学生总人数为人，
现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，抽样比为，
则从高一学生中抽取的人数为人；
从高二学生中抽取的人数为人；
（2）解：由频率分布直方图可知：成绩在分的频率为，
分的频率为；成绩在分的频率为；
成绩在分的频率为，
那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即，
已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数 = 频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【分析】（1）根据分层抽样计算高一、高二抽取人数及可靠；
（2）可通过频率分布直方图求出成绩在60分（含60分）以上的频率，再利用频率与总人数的关系求出相应人数，也可先求出成绩在60分以下的频率，进而得到60分（含60分）以上的频率，再计算人数.
（1）已知高一学生有1200人，高二学生有800人，那么高一、高二学生总人数为人.
现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，从高一学生中抽取的人数占总抽取人数的比例，应等于高一学生人数占总学生人数的比例.
高一学生人数占总学生人数的比例为，所以从高一学生中抽取的人数为人.
同理，高二学生人数占总学生人数的比例为，则从高二学生中抽取的人数为人.
（2）由频率分布直方图可知，成绩在分的频率为，
分的频率为；成绩在分的频率为；成绩在分的频率为.
那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即.
已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数 = 频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为.
17．【答案】解： （1）二次函数 ，
由，可得，解得，则函数；
(2)函数，，对称轴，
则当时，，当时，．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）把代入可求得，即可得函数的解析式；
（2）配方求出对称轴方程，确定函数的最大值和最小值即可．
18．【答案】（1）解：数列中，，则；
则数列是首项为，公比为的等比数列，故数列的通项公式；
（2）解：由（1）可知，，则，
因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用递推公式求出，再根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式即可；
（2）由（1）的结论可得，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可．
（1）因为，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式
（2）由（1）可知，则
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以
19．【答案】解：（1）方程变形为，则圆心C的坐标为；
（2）若表示圆，则，即，故实数k的取值范围为；
（3）若存在， 使直线与圆C相交于M，N两点，
联立，消去整理得，令
由，得，由韦达定理可得：，
由，可得，即，
即，即，
整理可得，解得，满足，
所以存在，满足题意.
【知识点】圆的标准方程；二元二次方程表示圆的条件；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）方程变形为，求圆心即可；
（2）由（1）中变形得到的方程求解即可；
（3）令，联立直线与圆的方程消元，得的，然后由可得，即，然后代入求解即可.
1 / 1湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2025高二下·芙蓉期中）已知集合，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：D.
【分析】根据集合的交集计算即可.
2．（2025高二下·芙蓉期中）函数的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，
因为，，，
，，所以
根据零点存在性定理：函数的零点所在的区间是.
故答案为：B.
【分析】利用零点存在性定理求解即可.
3．（2025高二下·芙蓉期中）函数f（x）=sinx的最小正周期是（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：函数y=sinx的最小正周期是 =2π，
故选：B．
【分析】根据函数y=sinωx的最小正周期是 ，运算可得结果．
4．（2025高二下·芙蓉期中）已知向量若，则实数的值为（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量， 若，则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.
5．（2025高二下·芙蓉期中）在区间为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：A、函数在区间为减函数，故A不符合；
B、函数在区间为减函数，故B不符合；
C、函数在区间为增函数，故C符合；
D、函数在区间为减函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据常见函数的单调性判断即可.
6．（2025高二下·芙蓉期中）某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：任取1袋食品进行检测符合国家卫生标准的概率为.
故答案为：B.
【分析】根据古典概型概率公式求解即可.
7．（2025高二下·芙蓉期中）在中，角所对的边分别为，若，则（　　）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，若，由正弦定理可得：.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理计算即可.
8．（2025高二下·芙蓉期中）如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．直线在平面内
【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：易知平面，平面，则平面.
故答案为：A.
【分析】根据正方体的性质，结合线面平行的判定定理判断即可.
9．（2025高二下·芙蓉期中）下列运算正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用对数的基本运算即可得解.
10．（2025高二下·芙蓉期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A，因为，所以，A符合题意，A正确；
B，因为，所以，所以，即，故B符合题意，B正确；
C，因为，所以，即，故C符合题意，C正确；
D，取，但有，故D不符合题意，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查不等式的性质，充分条件和必要条件的判断.根据不等式两边同时加减一个数，不等式的方向不改变，据此可判断A选项；先进行作差，根据符号法则进行判断，可判断C选项；根据不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向不改变，据此可判断C选项；举出反例取，进行计算可判断D选项.
11．（2025高二下·芙蓉期中）已知复数，以下说法正确的是（　　）
A．的实部是5
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、复数的实部是5，故A正确；
B、，故B正确；
C、复数z的共轭复数为：，故C正确；
D、复数在复平面内对应的点，位于第四象限，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】求复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点逐项判断即可.
12．（2025高二下·芙蓉期中）已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则=　 　．
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 角的终边与单位圆的交点坐标为， 根据三角函数的定义，可得.
故答案为：.
【分析】根据任意角的三角函数定义直接求解即可.
13．（2025高二下·芙蓉期中）已知，则函数的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：当时，，当且仅当，即时等号成立，
则函数的最小值是.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式直接求函数的最小值即可.
14．（2025高二下·芙蓉期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是　 　.
【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以
则角为异面直线与所成角，
又因为平面，平面，所以，
又因为，所以为等腰直角三角形，则，
故异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
【分析】由题意，推出角为异面直线与所成角.
15．（2025高二下·芙蓉期中）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，所以；
（2）解：由（1）可知：，，
则，，
故.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求解即可；
（2）由（1）的结论，利用正弦、余弦的二倍角公式求解即可.
（1）由，得，又，所以.
（2）由（1）知，，
则，，
所以.
16．（2025高二下·芙蓉期中）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.
【答案】（1）解：易知高一、高二学生总人数为人，
现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，抽样比为，
则从高一学生中抽取的人数为人；
从高二学生中抽取的人数为人；
（2）解：由频率分布直方图可知：成绩在分的频率为，
分的频率为；成绩在分的频率为；
成绩在分的频率为，
那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即，
已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数 = 频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【分析】（1）根据分层抽样计算高一、高二抽取人数及可靠；
（2）可通过频率分布直方图求出成绩在60分（含60分）以上的频率，再利用频率与总人数的关系求出相应人数，也可先求出成绩在60分以下的频率，进而得到60分（含60分）以上的频率，再计算人数.
（1）已知高一学生有1200人，高二学生有800人，那么高一、高二学生总人数为人.
现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，从高一学生中抽取的人数占总抽取人数的比例，应等于高一学生人数占总学生人数的比例.
高一学生人数占总学生人数的比例为，所以从高一学生中抽取的人数为人.
同理，高二学生人数占总学生人数的比例为，则从高二学生中抽取的人数为人.
（2）由频率分布直方图可知，成绩在分的频率为，
分的频率为；成绩在分的频率为；成绩在分的频率为.
那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即.
已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数 = 频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为.
17．（2025高二下·芙蓉期中）已知二次函数满足，
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在的最小值和最大值.
【答案】解： （1）二次函数 ，
由，可得，解得，则函数；
(2)函数，，对称轴，
则当时，，当时，．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）把代入可求得，即可得函数的解析式；
（2）配方求出对称轴方程，确定函数的最大值和最小值即可．
18．（2025高二下·芙蓉期中）在数列中，已知.
（1）试写出，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：数列中，，则；
则数列是首项为，公比为的等比数列，故数列的通项公式；
（2）解：由（1）可知，，则，
因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用递推公式求出，再根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式即可；
（2）由（1）的结论可得，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可．
（1）因为，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式
（2）由（1）可知，则
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以
19．（2025高二下·芙蓉期中）已知关于x，y的二元二次方程表示圆C．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线与圆C相交于M．N两点，且（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）方程变形为，则圆心C的坐标为；
（2）若表示圆，则，即，故实数k的取值范围为；
（3）若存在， 使直线与圆C相交于M，N两点，
联立，消去整理得，令
由，得，由韦达定理可得：，
由，可得，即，
即，即，
整理可得，解得，满足，
所以存在，满足题意.
【知识点】圆的标准方程；二元二次方程表示圆的条件；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）方程变形为，求圆心即可；
（2）由（1）中变形得到的方程求解即可；
（3）令，联立直线与圆的方程消元，得的，然后由可得，即，然后代入求解即可.
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