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2025年山东省青岛市城阳区九年级中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
2．下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．太阳是太阳系的中心天体，离地球最近的恒星．太阳从中心向外可分为核反应区、辐射区、对流层和大气层，太阳的年龄约亿年现正处于“中年阶段”．半径为千米，是地球半径的倍，千米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（　　）

A．圆锥 B．长方体 C．三棱柱 D．圆柱
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
8．如图，点A，B，C，D是上的点，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10．如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
二、填空题
11．因式分解：= ．
12．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
13．如图，在中，，于点，若，则 ．
14．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：克），得到的数据如下：50.02，49.98，50.00，49.99，50.01，50.02，50.00，49.97，50.00，49.99．当一个工件的质量x（单位：克）满足时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 ．
15．如图，正八边形和正方形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
16．如图，抛物线与x轴交于点，，其中，下列结论中正确的是 ．（只填写序号）
①；②；③；④关于x的不等式的解集为．
三、解答题
17．已知：如图，点O是内部一点；
求作：，使得点M，N分别在边上．
18．（1）计算：；
（2）化简：．
19．小明和小亮设计了如下游戏方案：如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1，3，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．分别转动转盘两次，转盘自由停止后，若指针所指扇形的数字之和大于7，则小明获胜；若数字之和小于7，则小亮获胜．用树状图或表格法表示游戏所有可能出现的结果，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
20．甲、乙两名队员参加射击训练，甲队员10次的成绩（单位：环）分别是：7，6，4，8，3，8，7，8，10，9；乙队员10次的成绩被制成如下的统计图；根据甲、乙的信息，整理数据制成如下表格：

甲、乙队员射击训练成绩分析表
平均数/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 7 b 8 c
乙 a 7 7 1.2
(1)表格中______，______，______；
(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
21．如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，．
(1)求旋转角的度数；
(2)若，求的长度．
22．某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元，乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套．
(1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元；
(2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，请你求出购进乒乓球拍数量的范围，以及如何进货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？
23．在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接．
(1)如图①，当时，______；如图②，当时，______；
(2)如图③，当边经过点B时，______；
(3)如图④，当点F落在的延长线上时，______．
24．如图，以的三边为边在的同侧分别作三个等边三角形：，，．连接，．
(1)求证：；
(2)请从以下两个问题中选择其中一个进行解答（若多选，则按第一个解答计分）
①当满足什么条件时，四边形是矩形？请加以证明；
②当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明．
25．小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）．
(1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？
(2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？
26．如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
(1)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(2)是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式；
(4)如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由．
《2025年山东省青岛市城阳区九年级中考一模数学试题》参考答案
1．C
解：的相反数是，
故选：C ．
2．C
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
3．B
解：千米米 ，
故选B．
4．D
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
5．D
解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6．C
解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的即，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
7．A
解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，
∴，
∴，
故选：A．
8．B
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．A
解：连接，如图，设正六边形的边长为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，
∴，
即；
∴，，
∴点M的坐标为．
故选：A．

10．B
解：延长交于点E．
∵，点A、点B在反比例函数的图象上，
∴．
∴，
∵的面积为，的面积为，的面积为，
∴，
解得，，
∵函数图象在第一象限，，负数舍去，
∴．
故选：B．
11．
解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
12．
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．180
解：10个工件中为一等品的有50.02，49.98，50.00，49.99，50.01，50.02，50.00，50.00，49.99这9个，
∴这200个工件中一等品的个数为个，
故答案为：180．
15．
解：八边形是正八边形，四边形边形是正四边形，
，，
，
．
故答案为：．
16．①③④
解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴正半轴相交，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
∵当时，，
∴，故②错误；
∵抛物线与y轴的正半轴相交，与x轴交于点，，其中，
∴对称轴为直线，
∴对称轴为直线，
∴，即，
∵抛物线过点，
∴，
∴，，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，故③正确；
设，，则两函数的图象都过点，，如图，
由图象知，当时，，
即不等式的解集为，故④正确；
综上，结论正确的是①③④，
故答案为：①③④．
17．见解析
解：如图所示，即为所求．
18．（1）；（2）
解：（1）原式．
（2）原式．
19．这个游戏对双方不公平，理由见详解
解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中指针所指区域的数字之和大于7的结果有3种，数字之和小于7的结果有4种，
∴小明获胜的概率，小亮获胜的概率，
∵，
∴这个游戏对双方不公平．
20．(1)7；；
(2)可选择甲
（1）解：乙的平均成绩：（环）；
甲的射击成绩按从小到大顺序排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
甲的成绩的中位数：（环）；
甲的成绩的方差：．
故答案为：7；；；
（2）解：从平均成绩看，两人成绩相等；从中位数看，甲射中7环及以上的次数大于乙；从众数看，甲射中8环的次数最多，乙射中7环的次数最多；从方差看，乙的成绩比甲的稳定．综上所述，若选派一名学生参加比赛的话，可选择甲，因为甲获得高分的可能性更大且甲的成绩呈上升趋势．
21．(1)；
(2)的长度为．
（1）解：由旋转得，，
∵，
∴．
∵，
∴在四边形中，；
（2）解：如图，过点A作于点P，过点作于点H．
∵，
∴．
在中，
∴．
∴．
∴．
由（1）知，，即，
∵，
∴，
由旋转，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，
∴．
所以，的长度为．
22．(1)每套乒乓球拍的进价是 30 元，羽毛球拍的进价是 45 元
(2)购进乒乓球拍数量范围是 67 套到 120 套；当购进 67 套乒乓球拍和 133 套羽毛球拍时，获利最大
（1）解：设每套乒乓球拍的进价为元，羽毛球拍的进价为元．
根据题意列方程组：，
解得：．
答：每套乒乓球拍的进价是 30 元，羽毛球拍的进价是 45 元．
（2）解：设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套，设总利润为w，
∴，
解得：，
总利润，
∵，
∴当时，利润最大．
答：购进乒乓球拍数量范围是 67 套到 120 套；当购进 67 套乒乓球拍和 133 套羽毛球拍时，获利最大．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，
，
当时，，
是等边三角形，
∴；
如图2，当时，
由旋转的性质可得：，
在 中，根据勾股定理可得：，
故答案为：；
（2）解：如图3，由旋转的性质可得：，
∵四边形和都是矩形，
，
，
在中，根据勾股定理可得：，
，
在中，根据勾股定理可得：，
∴的长为；
（3）解：如图4，连接，
由旋转的性质可得：，
∵四边形和都是矩形，
，
∵点落在的延长线上，
在和中
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴
∴，
∴．
24．(1)证明见解析
(2)①当时，四边形是矩形；②当，且时，四边形是菱形
（1）证明：∵都是等边三角形．
，，
，
，
在和中
，
．
（2）①解：当时，四边形是矩形
∵．
，
又 ∵是等边三角形，
，
，
同理可证：，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
②当，且时，四边形是菱形，
理由如下：∵，且是等边三角形，
，
∴是菱形．
当时，重合，此时不存在．
25．(1)裁掉的正方形的边长为；
(2)裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元．
（1）解：如图所示：
设裁掉的正方形的边长为，由题意可得：
，
解得：或（舍去）．
答：裁掉的正方形的边长为；
（2）解：设总费用为y元，
则
．
又∵，
∴．
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最小值，最小值为．
答：裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元．
26．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：∵菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为，
设运动时间为t，则，，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，四边形是平行四边形，即可证，
于是，，
解得，
故当时，．
（2）解：∵，
∴，
∵点E在的平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故当时，点E在的平分线上．
．
（3）解：连接与交于点O，
∵菱形中，，．
∴，，
∴，
过点N作于点G，交于点H，
则为菱形的高，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
．
（4）解：连接与交于点O，设与交于点Q，
∵菱形中，，．
∴，，
∴，
∴，
∴，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
．

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