资源简介

2025 年九年级学业水平考试模拟测试数学试题
注意事项
本试题共 8 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上。
答选择题时，必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。答案写在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.2025 的相反数是（ ）
A. 2025 B. -2025 C. D. ﹣
2.太阳与地球的平均距离大约是 15000000 千米，15000000 用科学记数法表示为（ ）
A. 1.5×107 B. 1.5×108 C. 15×107 D. 15×106
3.如图，该三棱柱的俯视图是（ ）
4.芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术。下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
5.已知实数 m，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.>0 B. ∣ n∣<0 C. mn<0 D. m n>0
6.已知关于 x 的一元二次方程 x2 2x+k=0有两个不相等的实数根，则 k 的值可以是（ ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
7.如图，已知直线 a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90 ，若 ∠1+∠B=60 ，则∠2的度数为（ ）
A. 50 B. 40 C. 30 D. 20
8.一个不透明的袋子中装有 4 个分别标有化学元素符号 H，O，C，N 的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含 “C” 的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AC 上一点，连接 ED，过点 C 作 ED 的垂线交对角线 BD 于点 M，垂足为 F，若 CE=CD=2，则 DM 的长为（ ）
A. 1 B. 2 2 C. 2 D.
10.新定义：若函数图象恒过点(m,n)，我们称(m,n)为该函数的 “永恒点”。如：一次函数y=k(x 1)(k≠0)，无论 k 值如何变化，该函数图象恒过点(1,0)，则点(1,0)称为这个函数的 “永恒点”。点 P 和点 B 分别为抛物线 y= mx2 2mx+3m(m>0)的顶点和 x 轴正半轴上的 “永恒点”，设点 B 到直线 y=mx+3m(m>0)的距离为 d1，设点 P 到直线 y=mx+3m(m>0)的距离为d2，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.客厅地面上铺了 18 块地砖，有 12 块是白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块地砖上的机会都相等，小猫停留在黑色地砖上的概率等于____。
12.代数式 与代数式 的值相等，则x=____。
13.小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的 ∠1的度数是____。
14.如图，射线 OA 与函数 y=(k>0,x>0)图象相交于点 A(1,)，以点 O 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与 OA，OB 相交于点 M，N；再分别以点 M，N 为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB内部相交于点 P，作射线 OP，交函数 y=图象于点 C，连接AC，则 △AOC的面积是____。
15.如图，在菱形纸片 ABCD 中，BC=4+4，∠B=60 ，将菱形纸片翻折，使点 B 落在 CD 边上的点 P 处，折痕为 MN，点 M，N 分别在 BC，AB 上，若PN⊥AB，则折痕 MN 的长为____。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算： (π 3.14)0+() 1+∣∣ 2cos30 。
17.（本小题满分 7 分）解不等式组，并写出它的所有整数解。
18.（本小题满分 7 分）如图，在□ABCD中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE=CF，EF，BD 相交于点 O，求证：OE=OF。
19.（本小题满分 8 分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯 AC，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点 A 与点 B 所在的直线与 CD 平行），层高 AD 为 8m，坡角 ∠ACD=20 ，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，A，B 之间必须达到一定的距离。
（1）要使身高 1.8m 的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么 A，B 之间的距离要大于多少米？（精确到 0.1m）
（2）商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE 段（上坡段自动扶梯）、EF 段（水平平台，即 EF∥DC）、FC 段（上坡楼梯），如图中虚线所示。AE 段和 FC 段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度 i 不能超过 1:2，商场希望尽可能延长平台 EF 的长度，以方便顾客休息。在其他条件不变的情况下，请探究平台 EF 的最大长度。（精确到 0.1m）（参考数据：sin20 ≈0.34，cos20 ≈0.94，tan20 ≈0.36）
20.（本小题满分 8 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠BCD=90 ，BD 平分 ∠ABC，CD 与⊙O相切于点 D，以 AD 为直径作 ⊙O交 AB 于点 E，交 BD 于点 H。
（1）求证：AB=AD；
（2）若 tan∠BDC=，DH=，求 ⊙O的半径。
21.（本小题满分 9 分）每年 4 月 15 日是全民国家安全教育日。某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取 40 名学生的成绩（成绩用 x 表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析，下面给出了部分信息：
【收集数据】甲校成绩在 70≤x<80这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78。
【整理数据】甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如下：
【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a= ；b= ；c= ；
（2）m=____；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在 70≤x<80这一组的扇形的圆心角是____度；本次测试成绩更整齐的是____校（填 “甲” 或 “乙”）；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属学校排在前 20 名，由表中数据可知该学生是____校的学生（填 “甲” 或 “乙”）；
（4）甲校有 600 名学生都参加此次测试，如果成绩不低于 75 分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数。
22.（本小题满分 10 分）
为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书。所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样。经了解，30 本文学名著和 20 本人物传记共需 1150 元，10 本文学名著比 10 本人物传记多 50 元。
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）根据学校图书馆的采购计划，拟用 1500 元预算购买文学名著和人物传记各 40 本，请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？
（3）图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多 20 本，总费用不超过 2000 元，请求出人物传记至多买多少本？
23.（本小题满分 10 分）知，一次函数y=2x+4 的图象交反比例函数 y=图象于点 A，B，交 x 轴于点 C，点 B 为(1,m)。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图 1，点 M 为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点 M 作 x 轴垂线，交一次函数 y=2x+4图象于点 N，连接 BM，若 △BMN是以 MN 为底边的等腰三角形，求 △BMN的面积；
（3）如图 2，一次函数 y=2x+4交 y 轴于点 F，将一次函数绕 C 顺时针旋转 45 交反比例函数 y= 图象于点 D，E，求点 E 的坐标。
24.（本小题满分 12 分）某城市计划在滨河步道 AB 上方搭建一座抛物线型观景台。根据以下素材探索完成任务。
【素材 1】如图 1，步道 AB 的宽为 20m，观景台拱顶最高处距离地面为 8m。
【素材 2】如图 2，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称。支撑柱 CD=EF=4m。
【素材 3】如图 3，在两个支撑柱上搭一个限高横杆 CE，为提升景观效果，现要在横杆 CE 上方设置一个矩形宜传牌，要求宜传牌满足以下条件：①宜传牌在观景台内部，且一边落在 CE 上；②矩形长、宽均为整数；③宜传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为20m2。（1）以步道 AB 的中点为原点，求出抛物线的解析式；
求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）；
设计宜传牌方案：给出符合要求的宜传牌尺寸，并说明理由。
25.（本小题满分 12 分）“联想” 是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关 “联想” 就有很多……
【问题提出】
（1）如图 1，PC 是 △PAB的角平分线，求证：=。
请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考。
思路 1：联想 “平行线、等腰三角形”，过点 B 作 BD∥PA，交 PC 的延长线于点 D，利用 “三角形相似”。
思路 2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点 C 分别作CD⊥PA交 PA 于点 D，作CE⊥PB交 PB 于点 E，利用 “等面积法”。
【理解应用】
（2）如图 2，在 △ABC中，∠BAC=90 ，AB=3，AC=4，AD 平分 ∠BAC交 BC 于 D，求 BD 的长。
【深度思考】
（3）如图 3，△ABC中，AB=6，AC=4，AD 为∠BAC的角平分线。AD 的垂直平分线 EF 交 BC 延长线于点 F，连接 AF，当 BD=3时，求 AF 的长。
【拓展升华】
（4）如图 4，AD 是 △ABC的角平分线，若 BC=4，BD=2CD，请直接写出 △ABC的面积最大值。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.2025 的相反数是（ B ）
A. 2025 B. -2025 C. D. ﹣
2.太阳与地球的平均距离大约是 15000000 千米，15000000 用科学记数法表示为（ B ）
A. 1.5×107 B. 1.5×108 C. 15×107 D. 15×106
3.如图，该三棱柱的俯视图是（ A ）
4.芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术。下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
5.已知实数 m，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ C ）
A.>0 B. ∣ n∣<0 C. mn<0 D. m n>0
6.已知关于 x 的一元二次方程 x2 2x+k=0有两个不相等的实数根，则 k 的值可以是（ A ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
7.如图，已知直线 a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90 ，若 ∠1+∠B=60 ，则∠2的度数为（ C ）
A. 50 B. 40 C. 30 D. 20
8.一个不透明的袋子中装有 4 个分别标有化学元素符号 H，O，C，N 的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含 “C” 的概率是（ D ）
A. B. C. D.
9.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AC 上一点，连接 ED，过点 C 作 ED 的垂线交对角线 BD 于点 M，垂足为 F，若 CE=CD=2，则 DM 的长为（ B ）
A. 1 B. 2 2 C. 2 D.
10.新定义：若函数图象恒过点(m,n)，我们称(m,n)为该函数的 “永恒点”。如：一次函数y=k(x 1)(k≠0)，无论 k 值如何变化，该函数图象恒过点(1,0)，则点(1,0)称为这个函数的 “永恒点”。点 P 和点 B 分别为抛物线 y= mx2 2mx+3m(m>0)的顶点和 x 轴正半轴上的 “永恒点”，设点 B 到直线 y=mx+3m(m>0)的距离为 d1，设点 P 到直线 y=mx+3m(m>0)的距离为d2，则的值为（ D ）
A. 1 B. C. D. 2
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.客厅地面上铺了 18 块地砖，有 12 块是白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块地砖上的机会都相等，小猫停留在黑色地砖上的概率等于____。
12.代数式 与代数式 的值相等，则x=__7__。
13.小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的 ∠1的度数是__132°__。
14.如图，射线 OA 与函数 y=(k>0,x>0)图象相交于点 A(1,)，以点 O 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与 OA，OB 相交于点 M，N；再分别以点 M，N 为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB内部相交于点 P，作射线 OP，交函数 y=图象于点 C，连接AC，则 △AOC的面积是__1__。
15.如图，在菱形纸片 ABCD 中，BC=4+4，∠B=60 ，将菱形纸片翻折，使点 B 落在 CD 边上的点 P 处，折痕为 MN，点 M，N 分别在 BC，AB 上，若PN⊥AB，则折痕 MN 的长为__6__。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算： (π 3.14)0+() 1+∣∣ 2cos30 。
=3﹣1+4+﹣
=6
17.（本小题满分 7 分）解不等式组，并写出它的所有整数解。
解不等式①，得：x ＞﹣1
解不等式②，得：x≤2
原不等式组的解集是﹣1＜x≤2
该不等式组的所有整数解是 0，1，2．
18.（本小题满分 7 分）如图，在□ABCD中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE=CF，EF，BD 相交于点 O，求证：OE=OF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， AD=BC
∴∠ODE=∠OBF
∵AE=CF
∴AD﹣AE=BC﹣CF ，即DE=BF
又∠DOE=∠BOF ， ∠ODE=∠OBF
∴△DOE≌△BOF ( AAS )
∴OE=OF
19.（本小题满分 8 分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯 AC，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点 A 与点 B 所在的直线与 CD 平行），层高 AD 为 8m，坡角 ∠ACD=20 ，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，A，B 之间必须达到一定的距离。
（1）要使身高 1.8m 的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么 A，B 之间的距离要大于多少米？（精确到 0.1m）
（2）商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE 段（上坡段自动扶梯）、EF 段（水平平台，即 EF∥DC）、FC 段（上坡楼梯），如图中虚线所示。AE 段和 FC 段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度 i 不能超过 1:2，商场希望尽可能延长平台 EF 的长度，以方便顾客休息。在其他条件不变的情况下，请探究平台 EF 的最大长度。（精确到 0.1m）（参考数据：sin20 ≈0.34，cos20 ≈0.94，tan20 ≈0.36）
解：（1）如图 1，连接AB，过点B作BM⊥AB 交AC于点M
∵AB∥CD
∴∠BAM=∠ACD=20°
∵tan∠BAM=
∴AB=1.8÷0.36≈5.0（米）
答：AB之间的距离要大于 5.0 米；
（2）延长FE交AD于点H，过点C作CG⊥EF ，交EF的延长线于点G
设AH=x 米，则HD=CG=x
∵要使EF的最长，AE段和FC段的坡度i 1: 2
∴HE=2x米，FG=2(8﹣x )米
在Rt ACD 中，∠ACD=20°
则CD=8÷0.36≈22.22
∵四边形HDCG为矩形
∴HG=CD=22.22
则EF=CD﹣EH﹣FG=22.22﹣2x﹣（16﹣2x）≈6.2（米)
答：平台EF的最大长度约为 6.2 米．
20.（本小题满分 8 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠BCD=90 ，BD 平分 ∠ABC，CD 与⊙O相切于点 D，以 AD 为直径作 ⊙O交 AB 于点 E，交 BD 于点 H。
（1）求证：AB=AD；
（2）若 tan∠BDC=，DH=，求 ⊙O的半径。
（1）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠CBD =∠DBE
∵CD为⊙O的切线
∴AD⊥CD ，∠ADC=90
∴∠ADB+∠BDC 90
又 Rt△BCD中，∠DBC+∠CDB=90
∴∠ADB∠ABD
∴AB=AD ．
（2）解：连接AH ，
∵AD为直径，
∴∠AHD=90
∵∠C=∠ADC=90
∴∠ADH+∠CDB=∠ADH +∠DAH=90
∴∠DAH=∠CDB
∵tan∠BDC=
∴tan∠DAH==
∵DH=
∴AH=2
∴AD =5
∴⊙O的半径为
21.（本小题满分 9 分）每年 4 月 15 日是全民国家安全教育日。某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取 40 名学生的成绩（成绩用 x 表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析，下面给出了部分信息：
【收集数据】甲校成绩在 70≤x<80这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78。
【整理数据】甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如下：
【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a= ；b= ；c= ；
（2）m=____；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在 70≤x<80这一组的扇形的圆心角是____度；本次测试成绩更整齐的是____校（填 “甲” 或 “乙”）；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属学校排在前 20 名，由表中数据可知该学生是____校的学生（填 “甲” 或 “乙”）；
（4）甲校有 600 名学生都参加此次测试，如果成绩不低于 75 分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数。
解：（1）13；2；15；
（2）72.5；135；乙．
（3）甲．
（4）估计甲校能参加第二轮比赛的人有：600×=240（人) ．
22.（本小题满分 10 分）
为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书。所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样。经了解，30 本文学名著和 20 本人物传记共需 1150 元，10 本文学名著比 10 本人物传记多 50 元。
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）根据学校图书馆的采购计划，拟用 1500 元预算购买文学名著和人物传记各 40 本，请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？
（3）图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多 20 本，总费用不超过 2000 元，请求出人物传记至多买多少本？
解：（1）设每本文学名著x元，每本人物传记y元，根据题意得：
解得：
答：每本文学名著 25 元，每本人物传记 20 元；
文学名著和人物传记各 40 本费用：25×40+2×40=1800元
∵1500 ＜1800
∴总费用不在预算内1800 1500 300元，还需追加资金 300 元。
（3）设人物传记买m本，则文学名著买( m+20)本
根据题意得：25(m+20)+20m≤2000
解得：m≤
又m为正整数，
∴m的最大值为 33．
答：人物传记至多买 33 本
23.（本小题满分 10 分）知，一次函数y=2x+4 的图象交反比例函数 y=图象于点 A，B，交 x 轴于点 C，点 B 为(1,m)。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图 1，点 M 为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点 M 作 x 轴垂线，交一次函数 y=2x+4图象于点 N，连接 BM，若 △BMN是以 MN 为底边的等腰三角形，求 △BMN的面积；
（3）如图 2，一次函数 y=2x+4交 y 轴于点 F，将一次函数绕 C 顺时针旋转 45 交反比例函数 y= 图象于点 D，E，求点 E 的坐标。
解：（1）当x=1时，y=2x+4，则点B(1,6)
将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k=1×6=6
即反比例函数表达式为：y=
（2）设点N的坐标为(t,2t+4)，则点M ( t,) 6
若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，则
(2t+4+)=6
解得：t=1（舍去）或t=3
则点M ， N的坐标分别为：(3,10) ，(3,2)
则面积为（10﹣2）×（3﹣1）÷2=8
（3）（﹣1，）
24.（本小题满分 12 分）某城市计划在滨河步道 AB 上方搭建一座抛物线型观景台。根据以下素材探索完成任务。
【素材 1】如图 1，步道 AB 的宽为 20m，观景台拱顶最高处距离地面为 8m。
【素材 2】如图 2，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称。支撑柱 CD=EF=4m。
【素材 3】如图 3，在两个支撑柱上搭一个限高横杆 CE，为提升景观效果，现要在横杆 CE 上方设置一个矩形宜传牌，要求宜传牌满足以下条件：①宜传牌在观景台内部，且一边落在 CE 上；②矩形长、宽均为整数；③宜传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为20m2。（1）以步道 AB 的中点为原点，求出抛物线的解析式；
求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）；
设计宜传牌方案：给出符合要求的宜传牌尺寸，并说明理由。
解：（1）最高点H的坐标为(0,8)
∵AB=20
∴OB=10
∴B(10,0)
设抛物线的解析式为y=ax2+c，则
解得
∴抛物线的函数表达式为y=﹣0.08x2+8
（2）令y=4，则﹣0.08x2+8
解得x1=﹣5， x2=5
两个支撑柱之间的距离是10m
（3）矩形宣传牌的长为10m，宽为2m，左上方顶点的坐标是(5,6)．
25.（本小题满分 12 分）“联想” 是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关 “联想” 就有很多……
【问题提出】
（1）如图 1，PC 是 △PAB的角平分线，求证：=。
请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考。
思路 1：联想 “平行线、等腰三角形”，过点 B 作 BD∥PA，交 PC 的延长线于点 D，利用 “三角形相似”。
思路 2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点 C 分别作CD⊥PA交 PA 于点 D，作CE⊥PB交 PB 于点 E，利用 “等面积法”。
【理解应用】
（2）如图 2，在 △ABC中，∠BAC=90 ，AB=3，AC=4，AD 平分 ∠BAC交 BC 于 D，求 BD 的长。
【深度思考】
（3）如图 3，△ABC中，AB=6，AC=4，AD 为∠BAC的角平分线。AD 的垂直平分线 EF 交 BC 延长线于点 F，连接 AF，当 BD=3时，求 AF 的长。
【拓展升华】
（4）如图 4，AD 是 △ABC的角平分线，若 BC=4，BD=2CD，请直接写出 △ABC的面积最大值。
（1）证明：选择小明的思路，如图 1，过点BD∥AP交PC的延长线于点D
∵BD∥AP
∴∠APC=∠D，
又∵∠ACP∠BCD，
∴△ACP∽△BCD
∴=
∵PC是∠PAB的角平分线
∴∠APC∠BPC
∴∠BPC=∠D，
∴PB=BD
∴=
（2）
（3）AF=6
（4）

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