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贵州省贵阳市第六中学联盟校2024-2025学年高二下学期4月联考数学试题
1．（2025高二下·贵阳月考）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】先解一元二次不等式求出集合，进而根据交集的定义计算可得 .
2．（2025高二下·贵阳月考）已知角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故选：A.
【分析】先根据三角函数的定义求出，再由诱导公式即可求得.
3．（2025高二下·贵阳月考）2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（　　）
A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势
B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）
C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）
D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）
【答案】C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故选项A错误；
B、上映前十天的票房极差为（亿），故选项B错误；
C、上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、，所以上映前十天的票房中位数为（亿），故选项C正确；
D、因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故选项D错误.
故选：C.
【分析】根据极差、中位数、百分位的定义逐一进行计算分析即可.
4．（2025高二下·贵阳月考）的展开式中为常数项的是（　　）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
【答案】B
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，解得，所以的展开式中为常数项的是第2项.
故选：B.
【分析】根据展开式的通项的定义写出展开式的通项为，进而令，求出k，即可求得常数项的项数.
5．（2025高二下·贵阳月考）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦点为，
所以可设双曲线方程为，
又因为双曲线的离心率，所以，解得，
所以双曲线方程为.
故选：C.
【分析】结合已知条件可求得双曲线的焦点，即可求得c的值，进而可设双曲线方程为，再由离心率求出，即可求得双曲线的方程.
6．（2025高二下·贵阳月考）定义域为的可导函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．函数是一个偶函数
B．在区间内，函数的单调性为先减再增
C．函数至少有五个零点
D．函数有两个极大值
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、若为偶函数，则，所以，则为奇函数，显然不为奇函数，故选项A错误；
BD、由导函数的图象可知，当或时，；当时，（仅在处取等号），所以在，，上单调递增，
当或时，，所以在，上单调递减，
所以在、处取得极大值，即函数有两个极大值，故选项D正确，选项B错误；
C、由于只知道的单调性，不知道其函数值的特征，故无法判断其零点，故C错误.
故选：D.
【分析】结合奇偶函数的定义即可判断选项A；根据导函数图象得到函数的单调性，即可得到函数的极值点，即可判断选项BD；根据零点的定义即可判断选项C.
7．（2025高二下·贵阳月考）化简，其结果等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：设．
由组合数的性质，可得．
因为，
即．
所以，
所以．
所以，所以．
故选：A．
【分析】根据组合数的性质可得，进而根据二项式定理，对所给式子进行变形，可得 ，进而可求得S，即可化简 .
8．（2025高二下·贵阳月考）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，定义域为，
∵函数是定义在上的奇函数，，
∴，∴函数是偶函数，
∵，且当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增，
∴在 上单调递减，
∵，∴，∴，
当时，等价为，即，解得，
当时，等价为，即，解得，
当时，不符合题意，
综上所述，不等式的解集是，
故选：D.
【分析】根据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数的单调性，结合，进而可求得不等式的解集
9．（2025高二下·贵阳月考）已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（　　）
A． B．的前项和为
C．的前100项和为100 D．的前10项和为
【答案】A,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、因为，，成等比数列，所以，即，
解得，所以，所以，故选项A正确；
B、的前项和为，故选项B错误；
C、因为，
所以的前100项和为
，故选项C错误；
D、因为，
所以的前10项和为，故选项D正确.
故选：AD.
【分析】根据等比中项的性质以及等差数列的定义列式可求出，进而可得到的通项公式，即可判断选项A；根据等差数列求和公式即可判断选项B；先求得数列的通项公式，进而利用并项求和法即可判断选项C；利用裂项相消法求出前10项和即可判断选项D.
10．（2025高二下·贵阳月考）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波、唐胜杰、江新林）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排，则下列说法正确的是（　　）
A．若要求神舟十七号乘组3名航天员相邻，则这6名航天员共有144种不同的排法
B．若要求两个乘组航天员相间排列，则这6名航天员共有96种排法
C．若要求神舟十七号乘组3名航天员互不相邻，则这6名航天员共有144种排法
D．若要求航天员叶光富不在排头也不在排尾，则这6名航天员共有480种排法
【答案】A,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、先将神舟十七号航天员乘组3名航天员看成一个整体，有种排法，再与神舟十八号乘组3名航天员进行全排列，有种排法，共有种不同的排法，故选项A正确；
B、有两种情况：神舟十七号乘组在奇数位，神舟十八号乘组在偶数位；或者神舟十七号乘组在偶数位，神舟十八号乘组在奇数位，共有种不同的排法，故选项B错误；
C、先排神舟十八号乘组3名航天员，有种排法；再将神舟十七号乘组3名航天员插入神舟十八号乘组3名航天员之间的4个空位，有种排法，共有种不同的排法，故选项C正确；
D、先从除叶光富外的5名航天员中选2名排在排头和排尾，有种排法；再剩下4名航天员全排列，有种排法，共有种不同的排法，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用捆绑法求解即可判断选项A；分神舟十七号乘组在奇数位，神舟十八号乘组在偶数位或神舟十七号乘组在偶数位，神舟十八号乘组在奇数位，两种情况求解即可判断选项B；利用插空法求解即可判断选项C；先从除叶光富外的5名航天员中选2名排在排头和排尾，再剩下4名航天员全排列，进而求解即可判断选项D.
11．（2025高二下·贵阳月考）已知函数，，下列说法正确的是（　　）
A．与的图象有且仅有一个交点
B．函数在其定义域上单调递增
C．若方程有实数根，则
D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、令，，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以有且仅有一个零点，即与的图象有且仅有一个交点，故选项A正确；
B、，定义域为，
当时，；当时，，
所以在定义域上不可能单调递增，故选项B错误；
C、方程有实数根，即与有交点，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，当时，所以，故选项C正确；
D、因为，所以恒成立，即恒成立，
所以恒成立，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
即，即，
所以，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，进而可知，即有且仅有一个零点即可判断选项A；利用特殊值判定函数值的大小即可判断选项B；方程有实数根转化为与有交点，根据的单调性即可判断选项B；恒成立，当且仅当时取等号，从而得到，即可判断选项D.
12．（2025高二下·贵阳月考）已知向量与的夹角为，，，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故答案为：.
【分析】根据数量积的公式先求出，进而根据模长公式计算可得答案.
13．（2025高二下·贵阳月考）若函数，则　 　．
【答案】6
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：
令，当时，，所以，所以.
因为，所以，所以.
所以.
故答案为：6.
【分析】先对原式进行变形可得，进而可知再结合复合函数求导法则求出的导数，即可求得 .
14．（2025高二下·贵阳月考）罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为　 　．
【答案】
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：用5根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
①5根火柴：表示数字，此时表示的数有个（）；
②1根火柴和4根火柴：1根火柴可表示的数为1；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数共有个；
③2根火柴和3根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数有个.
④1根火柴、1根火柴和3根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，3根火柴可表示的数为3、4、6、9，
所以能表示的数有个；
⑤1根火柴、2根火柴和2根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，2根火柴可表示的数为2、5，
所以能表示的数有个；
综上可知，可组成的三位数共有 个.
故答案为：.
【分析】将5根火柴分成5根火柴；1根火柴和4根火柴；2根火柴和3根火柴；1根火柴、1根火柴和3根火柴；1根火柴、2根火柴和2根火柴五种情况将能表示数字的搭配列举出来，结合排列组合定义计算即可.
15．（2025高二下·贵阳月考）已知，它的二项式系数之和为64．
（1）求n的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由题意可知，，解得．
（2）解：由(1)可知，．
令，可得．
令，可得．
所以，所以．
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和的性质即可求出的值；
（2）先求得，进而利用赋值法令以及，
即可求出的值.
（1）根据二项式系数之和的性质：可得，即，所以．
（2）已知，且，
则．
令，可得，即．
令，可得，即．
将代入，可得，移项可得．
16．（2025高二下·贵阳月考）已知函数，．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）解：当时，，所以，
所以，
而，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以在单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
所以在单调递增，在单调递减；
综上可得：当时，在单调递增；；
当时，在单调递增，在单调递减.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
（1）当时，则，，
所以，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，
又，
当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由，解得，由，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时单调递增区间为，单调递减区间为.
17．（2025高二下·贵阳月考）如图，在圆锥中，底面圆的直径，母线，若点是上靠近点的三等分点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为底面圆的直径，所以为的中点，
因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：如图所示，取的中点，连接，则，
以O为原点，建立空间直角坐标系，
因为底面圆的直径，母线，所以，
又点是上靠近点的三等分点，连接，所以，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令x=1，则，所以，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令b=3，则，所以；
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.

【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论.
（2）建立空间直角坐标系， 分别求得平面与平面的法向量，进而数量积公式即可求得平面与平面所成夹角的余弦值.
（1）如图连接，
因为底面圆的直径，所以为的中点，
因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）如图取的中点，连接，则，
如图建立空间直角坐标系，因为底面圆的直径，母线，
所以，又点是上靠近点的三等分点，连接，则，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，取；
设平面的法向量为，则，取；
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
18．（2025高二下·贵阳月考）为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访．
（1）每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？
（2）如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？
（3）若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？
【答案】（1）解：每位老师都只安排到一个住宅小区，
则每位老师都有种安排方法，
所以不同的安排方法有种；

（2）解：先将人分成人数为2，2，1或的三组，
再将分好的三组安排到三个小区，
则不同的安排方法有种.
（3）解：分两种情况，
第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区，
再将其余四人分成人数为2，2，1的三组安排到B，C，D三个小区，
则不同的安排方法为种；
第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区，
再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为种，
所以不同的安排方法种数为种.

【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）每位老师都有种安排方法，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）先分组，将人分成人数为2，2，1或的三组；再分配， 将分好的三组安排到三个小区，计算即可求解；
（3）分小区安排一位老师与两位老师两种情况讨论，按照先分组、再分配的做法计算可得.
（1）每位老师都只安排到一个住宅小区，
则每位老师都有种安排方法，
所以不同的安排方法有种；
（2）先将人分成人数为或的三组，
再将分好的三组安排到三个小区，
则不同的安排方法有种；
（3）分两种情况，
第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区，
再将其余四人分成人数为的三组安排到B，C，D三个小区，
则不同的安排方法为种；
第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区，
再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为种，
所以不同的安排方法种数为种.
19．（2025高二下·贵阳月考）在光学中，透镜的设计需要考虑光线的传播路径．假设光线的传播路径由函数描述，光线的曲率决定了光线的聚焦能力．曲率越大，光线的聚焦能力越强；曲率为零时，光线无聚焦能力．曲率的计算公式为：．
其中，是函数的导函数，是函数的导函数．通过分析光线的曲率，可以优化透镜的设计，使其在不同位置具有不同的聚焦能力．已知函数，定义在区间上．假设光线的传播路径由该函数描述，光线的曲率决定其聚焦能力．
（1）若，求函数在处的曲率k；
（2）已知实数，对于任意的，若恒成立，
i.求a的值；
ⅱ.证明：对于任意，曲率满足不等式，并解释其光学意义．（参考数据：）
【答案】（1）解：当时，，
所以.
所以.
所以，.
所以.
（2）解：i.因为，所以，
因为，，所以，所以在上单调递增.
所以当x=0时，取得最小值，最小值为.
因为对于任意的，恒成立，所以.
令，，所以.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得最大值，最大值为，所以，
又因为，所以，即.
ii.由前面计算可知时，，，.
代入曲率公式可得：.
令，则原命题等价于，，证明：.
首先证明：：
因为，对于，绝对值，
分母，，所以.
再来证明：
因为，
当，；当，；
当，，分母（当时取等号），
所以.
当，，
所以分子最大值小于，
分母最小值大于，
则.
当时，.
综上所得，，.
即对于任意，曲率满足不等式.
光学意义：曲率满足表示在这个区间内，
光线的聚焦能力在到之间变化，当时，光线无聚焦能力；
当时，光线聚焦能力最强.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）需要先求出函数的一阶导数和二阶导数，进而求得，，再代入曲率公式计算即可求得函数在处的曲率k ；
（2）i.要根据函数单调性求出最小值，结合不等式恒成立求出的值；ii.先求出曲率表达式，再令，则原命题等价于，证明：.分类讨论，再证明即可，并解释光学意义.
（1）当时，. 求一阶导数.
求二阶导数可得.
，.
代入曲率公式，得到.
（2）i.求的一阶导数，
因为，，所以，即在上单调递增.
则在上的最小值.
因为对于任意的，恒成立，所以.
令，，求导.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以在处取得最大值，则，
又因为，所以，即.
ii.由前面计算可知时，，，.
代入曲率公式可得：.
令，则原命题等价于，，证明：.
首先证明：：
因为，对于，绝对值，
分母，，所以.
再来证明：
因为，
当，；当，；
当，，分母（当时取等号），
所以.
当，，
所以分子最大值小于，
分母最小值大于，
则.
当时，.
综上所得，，.
即对于任意，曲率满足不等式.
光学意义：曲率满足表示在这个区间内，
光线的聚焦能力在到之间变化，当时，光线无聚焦能力；
当时，光线聚焦能力最强.
1 / 1贵州省贵阳市第六中学联盟校2024-2025学年高二下学期4月联考数学试题
1．（2025高二下·贵阳月考）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·贵阳月考）已知角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·贵阳月考）2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（　　）
A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势
B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）
C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）
D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）
4．（2025高二下·贵阳月考）的展开式中为常数项的是（　　）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
5．（2025高二下·贵阳月考）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·贵阳月考）定义域为的可导函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．函数是一个偶函数
B．在区间内，函数的单调性为先减再增
C．函数至少有五个零点
D．函数有两个极大值
7．（2025高二下·贵阳月考）化简，其结果等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·贵阳月考）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025高二下·贵阳月考）已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（　　）
A． B．的前项和为
C．的前100项和为100 D．的前10项和为
10．（2025高二下·贵阳月考）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波、唐胜杰、江新林）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排，则下列说法正确的是（　　）
A．若要求神舟十七号乘组3名航天员相邻，则这6名航天员共有144种不同的排法
B．若要求两个乘组航天员相间排列，则这6名航天员共有96种排法
C．若要求神舟十七号乘组3名航天员互不相邻，则这6名航天员共有144种排法
D．若要求航天员叶光富不在排头也不在排尾，则这6名航天员共有480种排法
11．（2025高二下·贵阳月考）已知函数，，下列说法正确的是（　　）
A．与的图象有且仅有一个交点
B．函数在其定义域上单调递增
C．若方程有实数根，则
D．
12．（2025高二下·贵阳月考）已知向量与的夹角为，，，则　 　．
13．（2025高二下·贵阳月考）若函数，则　 　．
14．（2025高二下·贵阳月考）罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为　 　．
15．（2025高二下·贵阳月考）已知，它的二项式系数之和为64．
（1）求n的值；
（2）求的值．
16．（2025高二下·贵阳月考）已知函数，．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
17．（2025高二下·贵阳月考）如图，在圆锥中，底面圆的直径，母线，若点是上靠近点的三等分点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．
18．（2025高二下·贵阳月考）为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访．
（1）每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？
（2）如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？
（3）若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？
19．（2025高二下·贵阳月考）在光学中，透镜的设计需要考虑光线的传播路径．假设光线的传播路径由函数描述，光线的曲率决定了光线的聚焦能力．曲率越大，光线的聚焦能力越强；曲率为零时，光线无聚焦能力．曲率的计算公式为：．
其中，是函数的导函数，是函数的导函数．通过分析光线的曲率，可以优化透镜的设计，使其在不同位置具有不同的聚焦能力．已知函数，定义在区间上．假设光线的传播路径由该函数描述，光线的曲率决定其聚焦能力．
（1）若，求函数在处的曲率k；
（2）已知实数，对于任意的，若恒成立，
i.求a的值；
ⅱ.证明：对于任意，曲率满足不等式，并解释其光学意义．（参考数据：）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】先解一元二次不等式求出集合，进而根据交集的定义计算可得 .
2．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故选：A.
【分析】先根据三角函数的定义求出，再由诱导公式即可求得.
3．【答案】C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故选项A错误；
B、上映前十天的票房极差为（亿），故选项B错误；
C、上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、，所以上映前十天的票房中位数为（亿），故选项C正确；
D、因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故选项D错误.
故选：C.
【分析】根据极差、中位数、百分位的定义逐一进行计算分析即可.
4．【答案】B
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，解得，所以的展开式中为常数项的是第2项.
故选：B.
【分析】根据展开式的通项的定义写出展开式的通项为，进而令，求出k，即可求得常数项的项数.
5．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦点为，
所以可设双曲线方程为，
又因为双曲线的离心率，所以，解得，
所以双曲线方程为.
故选：C.
【分析】结合已知条件可求得双曲线的焦点，即可求得c的值，进而可设双曲线方程为，再由离心率求出，即可求得双曲线的方程.
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、若为偶函数，则，所以，则为奇函数，显然不为奇函数，故选项A错误；
BD、由导函数的图象可知，当或时，；当时，（仅在处取等号），所以在，，上单调递增，
当或时，，所以在，上单调递减，
所以在、处取得极大值，即函数有两个极大值，故选项D正确，选项B错误；
C、由于只知道的单调性，不知道其函数值的特征，故无法判断其零点，故C错误.
故选：D.
【分析】结合奇偶函数的定义即可判断选项A；根据导函数图象得到函数的单调性，即可得到函数的极值点，即可判断选项BD；根据零点的定义即可判断选项C.
7．【答案】A
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：设．
由组合数的性质，可得．
因为，
即．
所以，
所以．
所以，所以．
故选：A．
【分析】根据组合数的性质可得，进而根据二项式定理，对所给式子进行变形，可得 ，进而可求得S，即可化简 .
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，定义域为，
∵函数是定义在上的奇函数，，
∴，∴函数是偶函数，
∵，且当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增，
∴在 上单调递减，
∵，∴，∴，
当时，等价为，即，解得，
当时，等价为，即，解得，
当时，不符合题意，
综上所述，不等式的解集是，
故选：D.
【分析】根据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数的单调性，结合，进而可求得不等式的解集
9．【答案】A,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、因为，，成等比数列，所以，即，
解得，所以，所以，故选项A正确；
B、的前项和为，故选项B错误；
C、因为，
所以的前100项和为
，故选项C错误；
D、因为，
所以的前10项和为，故选项D正确.
故选：AD.
【分析】根据等比中项的性质以及等差数列的定义列式可求出，进而可得到的通项公式，即可判断选项A；根据等差数列求和公式即可判断选项B；先求得数列的通项公式，进而利用并项求和法即可判断选项C；利用裂项相消法求出前10项和即可判断选项D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、先将神舟十七号航天员乘组3名航天员看成一个整体，有种排法，再与神舟十八号乘组3名航天员进行全排列，有种排法，共有种不同的排法，故选项A正确；
B、有两种情况：神舟十七号乘组在奇数位，神舟十八号乘组在偶数位；或者神舟十七号乘组在偶数位，神舟十八号乘组在奇数位，共有种不同的排法，故选项B错误；
C、先排神舟十八号乘组3名航天员，有种排法；再将神舟十七号乘组3名航天员插入神舟十八号乘组3名航天员之间的4个空位，有种排法，共有种不同的排法，故选项C正确；
D、先从除叶光富外的5名航天员中选2名排在排头和排尾，有种排法；再剩下4名航天员全排列，有种排法，共有种不同的排法，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用捆绑法求解即可判断选项A；分神舟十七号乘组在奇数位，神舟十八号乘组在偶数位或神舟十七号乘组在偶数位，神舟十八号乘组在奇数位，两种情况求解即可判断选项B；利用插空法求解即可判断选项C；先从除叶光富外的5名航天员中选2名排在排头和排尾，再剩下4名航天员全排列，进而求解即可判断选项D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、令，，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以有且仅有一个零点，即与的图象有且仅有一个交点，故选项A正确；
B、，定义域为，
当时，；当时，，
所以在定义域上不可能单调递增，故选项B错误；
C、方程有实数根，即与有交点，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，当时，所以，故选项C正确；
D、因为，所以恒成立，即恒成立，
所以恒成立，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
即，即，
所以，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，进而可知，即有且仅有一个零点即可判断选项A；利用特殊值判定函数值的大小即可判断选项B；方程有实数根转化为与有交点，根据的单调性即可判断选项B；恒成立，当且仅当时取等号，从而得到，即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故答案为：.
【分析】根据数量积的公式先求出，进而根据模长公式计算可得答案.
13．【答案】6
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：
令，当时，，所以，所以.
因为，所以，所以.
所以.
故答案为：6.
【分析】先对原式进行变形可得，进而可知再结合复合函数求导法则求出的导数，即可求得 .
14．【答案】
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：用5根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
①5根火柴：表示数字，此时表示的数有个（）；
②1根火柴和4根火柴：1根火柴可表示的数为1；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数共有个；
③2根火柴和3根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数有个.
④1根火柴、1根火柴和3根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，3根火柴可表示的数为3、4、6、9，
所以能表示的数有个；
⑤1根火柴、2根火柴和2根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，2根火柴可表示的数为2、5，
所以能表示的数有个；
综上可知，可组成的三位数共有 个.
故答案为：.
【分析】将5根火柴分成5根火柴；1根火柴和4根火柴；2根火柴和3根火柴；1根火柴、1根火柴和3根火柴；1根火柴、2根火柴和2根火柴五种情况将能表示数字的搭配列举出来，结合排列组合定义计算即可.
15．【答案】（1）解：由题意可知，，解得．
（2）解：由(1)可知，．
令，可得．
令，可得．
所以，所以．
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和的性质即可求出的值；
（2）先求得，进而利用赋值法令以及，
即可求出的值.
（1）根据二项式系数之和的性质：可得，即，所以．
（2）已知，且，
则．
令，可得，即．
令，可得，即．
将代入，可得，移项可得．
16．【答案】（1）解：当时，，所以，
所以，
而，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以在单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
所以在单调递增，在单调递减；
综上可得：当时，在单调递增；；
当时，在单调递增，在单调递减.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
（1）当时，则，，
所以，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，
又，
当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由，解得，由，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时单调递增区间为，单调递减区间为.
17．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为底面圆的直径，所以为的中点，
因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：如图所示，取的中点，连接，则，
以O为原点，建立空间直角坐标系，
因为底面圆的直径，母线，所以，
又点是上靠近点的三等分点，连接，所以，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令x=1，则，所以，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令b=3，则，所以；
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.

【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论.
（2）建立空间直角坐标系， 分别求得平面与平面的法向量，进而数量积公式即可求得平面与平面所成夹角的余弦值.
（1）如图连接，
因为底面圆的直径，所以为的中点，
因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）如图取的中点，连接，则，
如图建立空间直角坐标系，因为底面圆的直径，母线，
所以，又点是上靠近点的三等分点，连接，则，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，取；
设平面的法向量为，则，取；
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：每位老师都只安排到一个住宅小区，
则每位老师都有种安排方法，
所以不同的安排方法有种；

（2）解：先将人分成人数为2，2，1或的三组，
再将分好的三组安排到三个小区，
则不同的安排方法有种.
（3）解：分两种情况，
第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区，
再将其余四人分成人数为2，2，1的三组安排到B，C，D三个小区，
则不同的安排方法为种；
第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区，
再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为种，
所以不同的安排方法种数为种.

【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）每位老师都有种安排方法，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）先分组，将人分成人数为2，2，1或的三组；再分配， 将分好的三组安排到三个小区，计算即可求解；
（3）分小区安排一位老师与两位老师两种情况讨论，按照先分组、再分配的做法计算可得.
（1）每位老师都只安排到一个住宅小区，
则每位老师都有种安排方法，
所以不同的安排方法有种；
（2）先将人分成人数为或的三组，
再将分好的三组安排到三个小区，
则不同的安排方法有种；
（3）分两种情况，
第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区，
再将其余四人分成人数为的三组安排到B，C，D三个小区，
则不同的安排方法为种；
第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区，
再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为种，
所以不同的安排方法种数为种.
19．【答案】（1）解：当时，，
所以.
所以.
所以，.
所以.
（2）解：i.因为，所以，
因为，，所以，所以在上单调递增.
所以当x=0时，取得最小值，最小值为.
因为对于任意的，恒成立，所以.
令，，所以.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得最大值，最大值为，所以，
又因为，所以，即.
ii.由前面计算可知时，，，.
代入曲率公式可得：.
令，则原命题等价于，，证明：.
首先证明：：
因为，对于，绝对值，
分母，，所以.
再来证明：
因为，
当，；当，；
当，，分母（当时取等号），
所以.
当，，
所以分子最大值小于，
分母最小值大于，
则.
当时，.
综上所得，，.
即对于任意，曲率满足不等式.
光学意义：曲率满足表示在这个区间内，
光线的聚焦能力在到之间变化，当时，光线无聚焦能力；
当时，光线聚焦能力最强.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）需要先求出函数的一阶导数和二阶导数，进而求得，，再代入曲率公式计算即可求得函数在处的曲率k ；
（2）i.要根据函数单调性求出最小值，结合不等式恒成立求出的值；ii.先求出曲率表达式，再令，则原命题等价于，证明：.分类讨论，再证明即可，并解释光学意义.
（1）当时，. 求一阶导数.
求二阶导数可得.
，.
代入曲率公式，得到.
（2）i.求的一阶导数，
因为，，所以，即在上单调递增.
则在上的最小值.
因为对于任意的，恒成立，所以.
令，，求导.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以在处取得最大值，则，
又因为，所以，即.
ii.由前面计算可知时，，，.
代入曲率公式可得：.
令，则原命题等价于，，证明：.
首先证明：：
因为，对于，绝对值，
分母，，所以.
再来证明：
因为，
当，；当，；
当，，分母（当时取等号），
所以.
当，，
所以分子最大值小于，
分母最小值大于，
则.
当时，.
综上所得，，.
即对于任意，曲率满足不等式.
光学意义：曲率满足表示在这个区间内，
光线的聚焦能力在到之间变化，当时，光线无聚焦能力；
当时，光线聚焦能力最强.
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