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广东省深圳市罗湖区2024-2025学年九年级数学中考二模试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分；每题只有一个正确选项）
1．（2025·罗湖模拟）下列正方体表面展开图中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·罗湖模拟）数据统计显示，深圳市2023年小学一年级入学人数达23万人，创历史最高峰．数据23万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·罗湖模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·罗湖模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·罗湖模拟）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成（如图2），其中，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·罗湖模拟）若一组数据3，4，5，x，6，7的众数是6，则中位数是（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
7．（2025·罗湖模拟）“拔萝卜，拔萝卜，嘿呦嘿呦拔萝卜，嘿呦嘿呦拔不动，小兔子，快快来，快来帮我们拔萝卜…”经典儿歌《拔萝卜》深受小朋友喜爱．这一天，一群兔爸爸，兔妈妈带着各自的小兔子宝宝来到田地里拔萝卜；领队兔爷数了数，大小兔子正好100只；规定每只大兔子拔3个萝卜，而小兔子每3只合作拔1个萝卜，收工后，兔爷数了数萝卜刚好100个．若设大兔子有只，小兔子有只，则下列所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·罗湖模拟）边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且与BF相交于点，当CG长最小时，BE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分）
9．（2025·罗湖模拟）已知，，则　 　．
10．（2025·罗湖模拟）在数字1，2，3，4，5中任选两个数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率是　 　．
11．（2025·罗湖模拟）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆；若衣架收拢时，，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了　 　cm．（保留一位小数，）
12．（2025·罗湖模拟）文文的教室地面形状是矩形，他想计算铺教室地面的瓷砖有多少块．他量得教室的长是8米，宽是7米，铺地面的瓷砖是边长为50cm的正方形．请你帮他算一算，铺这间教室大约需要　 　块瓷砖（不计损耗）。
13．（2025·罗湖模拟）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段AB绕点A顺时针旋转至线段AC，连BC，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点E，F时，的值等于　 　．
三、解答题（本大题共7小题，14题5分，15题6分，16、17题各9分，18、19题各10分，20题12分，共计61分）
14．（2025·罗湖模拟）计算：
15．（2025·罗湖模拟）化简求值：，其中．
16．（2025·罗湖模拟）根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．罗湖区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校抽查八年级学生的人数为　 　人，图中的a值为　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数；
（4）根据统计的样本数据，估计该校八年级800名学生中，每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有多少人？
17．（2025·罗湖模拟）“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务．
西红柿销售方案
素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的1.5倍。
素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多20kg．
素材1 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿30kg，其中白天（7：00－19：00）可销售20kg，剩下10kg打折销售，其折扣分5个时段进行，如右图。
素材1 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克。
问题解决
任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？
任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗）
任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是2kg），则每天进货多少时利润最大？
18．（2025·罗湖模拟）如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点为的直径，AD交BC于点；
（1）求AB的长；
（2）连OC，求证：四边形ABOC为菱形；
（3）直接写出图2中阴影部分的面积.
19．（2025·罗湖模拟）如图1，与轴交于点，与轴交于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是拋物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接PA交直线BC于点，设的面积为面积为，若，求点P坐标
②如图2，拋物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
20．（2025·罗湖模拟）
（1）【新知探究】
对于正数，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：
的值 的值 的值
5 4
4 4
4 m
3
①表格中的 ▲ ；
②根据表格，猜想与的大小关系（　　）；
A B C D
③当满足条件： ▲ 时，；
（2）【理解应用】
①已知，，当 ▲ 时，代数式取得最大值是 ▲ ；
②如图1，已知，在Rt中，，，求周长的最大值．
（3）【拓展提升】
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，为CD边上的动点，PA交BD于，过点作交BC边于点，连AF交BD于点，则面积的最小值是 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形的轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
数据23万用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
解得：x≥-1
在数轴上表示为
故答案为：D
【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：过点C作CG∥MN
∵∠B=30°，∠1=70°
∴∠BEN=40°
∵DK∥MN
∴CG∥MN∥DK
∴∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°
∵∠ACB=90°
∴∠3=∠ACG=90°-∠BEN=50°
故答案为：D
【分析】过点C作CG∥MN，根据三角形外角性质可得∠BEN=40°，根据直线平行性质可得∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，再根据角之间的关系及直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据3，4，5，x，6，7的众数是6
∴x=6
∴中位数为
故答案为：B
【分析】根据众数与中位数的定义即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：若设大兔子有只，小兔子有只
由题意可得
故答案为：A
【分析】若设大兔子有只，小兔子有只，根据题意建立方程组即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF
∴∠BAE=∠CBF
∵∠ABF+∠CBF=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AGB=90°
取AB的中点H，连接GH，CG
∵A，B为定点
∴G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆
当C，G，H共线时，CG的值最小
∵AB=BC=4
∴
∴
∴
∵GH=BH
∴∠CFG=∠HBG
∵CD∥AB
∴∠CFG=∠HBG
∵∠CGF=∠HBG
∴∠CFG=∠CGF
∴
∵BE=CF
∴BE=
故答案为：C
【分析】根据正方形性质可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF，则∠BAE=∠CBF，根据角之间的关系可得∠AGB=90°，取AB的中点H，连接GH，CG，则G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据勾股定理可得CH，根据边之间的关系可得CG，再根据等边对等角可得∠CFG=∠HBG，根据直线平行性质可得∠CFG=∠HBG，则∠CFG=∠CGF，由等角对等边可得，即可求出答案.
9．【答案】4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：4
【分析】提公因式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列出表格
共有20种等可能的结果，其中这个两位数是偶数的结果有8种
∴这个两位数是偶数的概率是
故答案为：
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出这个两位数是偶数的结果，再根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】14.6
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图①，过点O作OM⊥AB
∵OA=OB=20，∠AOB=120°
∴在Rt△AOM中，∠A=30°，OA=20
∴
∴AB=2AM=34.6
如图②，∠A'O'B'=60°，OA'=OB'=20
∴△O'A'B'为等边三角形
∴A'B'=O'A'=20
∴34.6-20=14.6
∴收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了14.6cm
故答案为：14.6
【分析】如图①，过点O作OM⊥AB，根据余弦定义及特殊角的三角形函数值可得AM，则AB=2AM=34.6，如图②，根据等边三角形判定定理可得△O'A'B'为等边三角形，则A'B'=O'A'=20，再作差即可求出答案.
12．【答案】224
【知识点】有理数乘法的实际应用；有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
教室地面面积为：800×700=560000(cm2)
每块瓷砖的面积为：50×50=2500(cm2)
∴需要的瓷砖块数为560000÷2500=224块
故答案为：224
【分析】分别求出地面面积及每块瓷砖面积，再根据总块数=教室面积÷单块瓷砖面积即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：作CG⊥x轴于点G
在△AOB和△CGA中
∴△AOB≌△CGA
∴OA=CG=1，OB=AG=3
∴C(4，1)
设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)
∵点E，F都在反比例函数图象上
∴3m+4+m，解得：m=2
∴E(2，3)
∴k=2×3=6
故答案为：6
【分析】作CG⊥x轴于点G，根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CGA，则OA=CG=1，OB=AG=3，即C(4，1)，设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)，将点E，F坐标代入反比例函数解析式，解方程可得m=2，则E(2，3)，再根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
14．【答案】解：原式=
=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】化简二次根式，特殊角的三角函数值，0指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式=
=
=
当
原式=
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的运算法则，结合完全平方公式，平方差公式化简，再将a，b值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）100；18
（2）解：1.5小时的人数为：100-12-30-18=40人
补全条形统计图如下
（3）解：平均数
∴每天平均校外活动时间的平均数为1.32小时
（4）解：
∴ 每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有704人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽查人数为：30÷30%=100人
∴a=18
故答案为：100；18
【分析】（1）根据1小时的人数除以占比即可求出抽查的总人数，再求出2小时的占比可得a值.
（2）求出1.5小时的人数，补全图形即可.
（3）根据平均数的定义计算即可求出答案.
（4）根据800乘以1小时以上的占比即可求出答案.
17．【答案】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克x元，则有机西红柿进价为每千克1.5x元
由题意可得：
解得：x=5
经检验，x=5是方程的根，且符合题意
∴1.5x=7.5
∴红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元
任务2：设标价（白天的售价）为每千克y元
由题意可得：
解得：y≥10
∴标价（白天的售价）最低价为每千克10元
任务3：∵10×0.9=9>7.5，10×0.8=8>7.5，10×0.7=7<7.5
∴九折和八折有利润，七折亏钱
20+2+2=24
∴每天进货多少20kg时利润最大.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设红粉西红柿进价为每千克x元，则有机西红柿进价为每千克1.5x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
任务3：根据题意求出打折后的价格，再比较大小即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠ABE=∠D
∵∠BAE=∠DAB
∴△ABE∽△ADB
∴
∴
∴
（2）证明：∵BD为直径
∴∠BAE=90°
∵
∴∠ABC=∠ACB=∠D=30°
∴∠DBA=60°，△OAB为等边三角形
∴OA=OB
同理，AC=OC，即AB=AC=OB=OC
∴四边形ABOC为菱形
（3）
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；扇形面积的计算；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E
由(2)可知，△OAB为等边三角形
∴∠ABO=∠AOB=60°
∴∠AOD=120°
∵四边形ABOC为菱形
∴，∠BOC=180°-∠ABC=120°
∴∠AOC=60°
∵OA=OC
∴△OAC为等边三角形
∵OE⊥AC
∴
∴阴影部分面积=
故答案为【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABE=∠D，再根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△ADB，则，代值计算即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得∠BAE=90°，根据等边三角形判定定理可得△OAB为等边三角形，则OA=OB，同理，AC=OC，即AB=AC=OB=OC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E，根据等边三角形性质可得∠ABO=∠AOB=60°，根据补角可得∠AOD=120°，再根据菱形性质可得，∠BOC=180°-∠ABC=120°，则∠AOC=60°，根据等边三角形性质可得△OAC为等边三角形，解直角三角形可得OE，再根据阴影部分面积=，结合扇形面积及三角形面积即可求出答案.
19．【答案】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)
将点C坐标代入表达式可得：3=a(0+1)(0-3)
解得：a=-1
∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
（2）解：①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N
易得BC的表达式为y=-x+3
∴M(t，-t+3)，N(-1，4)
∴PM=-t2+3t，AN=4
∵PM∥AN
∴
∴t2-3t+2=0，解得：t=1或t=2
∴P点坐标为(1，4)或(2，3)
②点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（2）②存在，理由如下
过点F作FG⊥OB于点G
∵y==-x2+2x+3的对称轴为x=1
∴OE=1
∵，
∴OC=OB=3
∵∠COB=90°
∴△OCB是等腰直角三角形
∵∠EFB=90°，BE=OB-OE=2
∴△EFB为等腰直角三角形
∴FG=GB=EG=1
∴点F的坐标为(2，1)
当EF为边时
∵四边形EFPQ为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2
当x=2时，y=-22+2×2+3=3
∴点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
∴点Q的坐标为(1，2)
根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形
当EF为对角线时
∵四边形PEQF为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
同理可得，点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
点Q的坐标为(1，-2)
综上所述，点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)，根据待定系数法将点C坐标代入表达式即可求出答案.
（2）①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N，求出BC的表达式，则M(t，-t+3)，N(-1，4)，根据两点间距离可得PM=-t2+3t，AN=4，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②过点F作FG⊥OB于点G，由题意可得OE=1，OC=OB=3，根据等腰直角三角形判定定理可得△OCB是等腰直角三角形，△EFB为等腰直角三角形，则FG=GB=EG=1，即点F的坐标为(2，1)，分情况讨论：当EF为边时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，则点P的横坐标与点F的横坐标同为2，即点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标，根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形；当EF为对角线时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理可得，点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标.
20．【答案】（1）①
②C
③a=b
（2）①20；100
②解：设BC=a，AC=b
∴
∵
∴
∴
∴周长的最大值为
（3）
【知识点】二次根式的化简求值；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得
故答案为：
②由表格可得：
，即
故答案为：C
③当且仅当a=b时，
故答案为：a=b
（2）①∵
∴x-10>0，30-x>0
∴当x-10=30-x，即x=20时，代数值取得最大值为(20-10)(30-20)=100
故答案为：20；100
（3）连接AC交BD于点O，连接CE
由正方形对称性可得，AE=CE，∠BCE=∠BAE
∵正方形ABCD的边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD
∴
∵FE⊥AP
∴∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE
∴EF=EC=EA
∴∠EAF=45°
∵AO⊥BD，
∴
当OG=OE时，S△ACE最小
此时AO是GE的垂直平分线
∴AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°
∵OB=OD，AB=AD
∴△ABG≌△ADE
∴BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO
过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x
∵∠ABD=∠ADB=45°
∴
∴
解得：
∴
∴
∴面积的最小值为
【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
③根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据不等式性质可得x-10>0，30-x>0，再根据（1）中结论即可求出答案.
②设BC=a，AC=b，根据勾股定理可得，根据（1）中结论可得，则，即可求出答案.
（3）连接AC交BD于点O，连接CE，根据正方形性质可得AE=CE，∠BCE=∠BAE，AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD，根据勾股定理可得，则，根据角之间的关系可得∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE，则EF=EC=EA，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得，当OG=OE时，S△ACE最小，此时AO是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°，再根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△ADE，则BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO，过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程可得，则，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市罗湖区2024-2025学年九年级数学中考二模试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分；每题只有一个正确选项）
1．（2025·罗湖模拟）下列正方体表面展开图中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形的轴对称图形.
2．（2025·罗湖模拟）数据统计显示，深圳市2023年小学一年级入学人数达23万人，创历史最高峰．数据23万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
数据23万用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．（2025·罗湖模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·罗湖模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
解得：x≥-1
在数轴上表示为
故答案为：D
【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集即可.
5．（2025·罗湖模拟）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成（如图2），其中，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：过点C作CG∥MN
∵∠B=30°，∠1=70°
∴∠BEN=40°
∵DK∥MN
∴CG∥MN∥DK
∴∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°
∵∠ACB=90°
∴∠3=∠ACG=90°-∠BEN=50°
故答案为：D
【分析】过点C作CG∥MN，根据三角形外角性质可得∠BEN=40°，根据直线平行性质可得∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，再根据角之间的关系及直线平行性质即可求出答案.
6．（2025·罗湖模拟）若一组数据3，4，5，x，6，7的众数是6，则中位数是（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据3，4，5，x，6，7的众数是6
∴x=6
∴中位数为
故答案为：B
【分析】根据众数与中位数的定义即可求出答案.
7．（2025·罗湖模拟）“拔萝卜，拔萝卜，嘿呦嘿呦拔萝卜，嘿呦嘿呦拔不动，小兔子，快快来，快来帮我们拔萝卜…”经典儿歌《拔萝卜》深受小朋友喜爱．这一天，一群兔爸爸，兔妈妈带着各自的小兔子宝宝来到田地里拔萝卜；领队兔爷数了数，大小兔子正好100只；规定每只大兔子拔3个萝卜，而小兔子每3只合作拔1个萝卜，收工后，兔爷数了数萝卜刚好100个．若设大兔子有只，小兔子有只，则下列所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：若设大兔子有只，小兔子有只
由题意可得
故答案为：A
【分析】若设大兔子有只，小兔子有只，根据题意建立方程组即可求出答案.
8．（2025·罗湖模拟）边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且与BF相交于点，当CG长最小时，BE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF
∴∠BAE=∠CBF
∵∠ABF+∠CBF=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AGB=90°
取AB的中点H，连接GH，CG
∵A，B为定点
∴G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆
当C，G，H共线时，CG的值最小
∵AB=BC=4
∴
∴
∴
∵GH=BH
∴∠CFG=∠HBG
∵CD∥AB
∴∠CFG=∠HBG
∵∠CGF=∠HBG
∴∠CFG=∠CGF
∴
∵BE=CF
∴BE=
故答案为：C
【分析】根据正方形性质可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF，则∠BAE=∠CBF，根据角之间的关系可得∠AGB=90°，取AB的中点H，连接GH，CG，则G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据勾股定理可得CH，根据边之间的关系可得CG，再根据等边对等角可得∠CFG=∠HBG，根据直线平行性质可得∠CFG=∠HBG，则∠CFG=∠CGF，由等角对等边可得，即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分）
9．（2025·罗湖模拟）已知，，则　 　．
【答案】4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：4
【分析】提公因式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
10．（2025·罗湖模拟）在数字1，2，3，4，5中任选两个数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列出表格
共有20种等可能的结果，其中这个两位数是偶数的结果有8种
∴这个两位数是偶数的概率是
故答案为：
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出这个两位数是偶数的结果，再根据概率公式即可求出答案.
11．（2025·罗湖模拟）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆；若衣架收拢时，，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了　 　cm．（保留一位小数，）
【答案】14.6
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图①，过点O作OM⊥AB
∵OA=OB=20，∠AOB=120°
∴在Rt△AOM中，∠A=30°，OA=20
∴
∴AB=2AM=34.6
如图②，∠A'O'B'=60°，OA'=OB'=20
∴△O'A'B'为等边三角形
∴A'B'=O'A'=20
∴34.6-20=14.6
∴收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了14.6cm
故答案为：14.6
【分析】如图①，过点O作OM⊥AB，根据余弦定义及特殊角的三角形函数值可得AM，则AB=2AM=34.6，如图②，根据等边三角形判定定理可得△O'A'B'为等边三角形，则A'B'=O'A'=20，再作差即可求出答案.
12．（2025·罗湖模拟）文文的教室地面形状是矩形，他想计算铺教室地面的瓷砖有多少块．他量得教室的长是8米，宽是7米，铺地面的瓷砖是边长为50cm的正方形．请你帮他算一算，铺这间教室大约需要　 　块瓷砖（不计损耗）。
【答案】224
【知识点】有理数乘法的实际应用；有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
教室地面面积为：800×700=560000(cm2)
每块瓷砖的面积为：50×50=2500(cm2)
∴需要的瓷砖块数为560000÷2500=224块
故答案为：224
【分析】分别求出地面面积及每块瓷砖面积，再根据总块数=教室面积÷单块瓷砖面积即可求出答案.
13．（2025·罗湖模拟）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段AB绕点A顺时针旋转至线段AC，连BC，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点E，F时，的值等于　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：作CG⊥x轴于点G
在△AOB和△CGA中
∴△AOB≌△CGA
∴OA=CG=1，OB=AG=3
∴C(4，1)
设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)
∵点E，F都在反比例函数图象上
∴3m+4+m，解得：m=2
∴E(2，3)
∴k=2×3=6
故答案为：6
【分析】作CG⊥x轴于点G，根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CGA，则OA=CG=1，OB=AG=3，即C(4，1)，设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)，将点E，F坐标代入反比例函数解析式，解方程可得m=2，则E(2，3)，再根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，14题5分，15题6分，16、17题各9分，18、19题各10分，20题12分，共计61分）
14．（2025·罗湖模拟）计算：
【答案】解：原式=
=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】化简二次根式，特殊角的三角函数值，0指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可求出答案.
15．（2025·罗湖模拟）化简求值：，其中．
【答案】解：原式=
=
=
当
原式=
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的运算法则，结合完全平方公式，平方差公式化简，再将a，b值代入即可求出答案.
16．（2025·罗湖模拟）根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．罗湖区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校抽查八年级学生的人数为　 　人，图中的a值为　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数；
（4）根据统计的样本数据，估计该校八年级800名学生中，每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有多少人？
【答案】（1）100；18
（2）解：1.5小时的人数为：100-12-30-18=40人
补全条形统计图如下
（3）解：平均数
∴每天平均校外活动时间的平均数为1.32小时
（4）解：
∴ 每天平均校外活动时间达到1小时及以上的学生有704人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽查人数为：30÷30%=100人
∴a=18
故答案为：100；18
【分析】（1）根据1小时的人数除以占比即可求出抽查的总人数，再求出2小时的占比可得a值.
（2）求出1.5小时的人数，补全图形即可.
（3）根据平均数的定义计算即可求出答案.
（4）根据800乘以1小时以上的占比即可求出答案.
17．（2025·罗湖模拟）“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务．
西红柿销售方案
素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的1.5倍。
素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多20kg．
素材1 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿30kg，其中白天（7：00－19：00）可销售20kg，剩下10kg打折销售，其折扣分5个时段进行，如右图。
素材1 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克。
问题解决
任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？
任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗）
任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是2kg），则每天进货多少时利润最大？
【答案】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克x元，则有机西红柿进价为每千克1.5x元
由题意可得：
解得：x=5
经检验，x=5是方程的根，且符合题意
∴1.5x=7.5
∴红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元
任务2：设标价（白天的售价）为每千克y元
由题意可得：
解得：y≥10
∴标价（白天的售价）最低价为每千克10元
任务3：∵10×0.9=9>7.5，10×0.8=8>7.5，10×0.7=7<7.5
∴九折和八折有利润，七折亏钱
20+2+2=24
∴每天进货多少20kg时利润最大.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设红粉西红柿进价为每千克x元，则有机西红柿进价为每千克1.5x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
任务3：根据题意求出打折后的价格，再比较大小即可求出答案.
18．（2025·罗湖模拟）如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点为的直径，AD交BC于点；
（1）求AB的长；
（2）连OC，求证：四边形ABOC为菱形；
（3）直接写出图2中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠ABE=∠D
∵∠BAE=∠DAB
∴△ABE∽△ADB
∴
∴
∴
（2）证明：∵BD为直径
∴∠BAE=90°
∵
∴∠ABC=∠ACB=∠D=30°
∴∠DBA=60°，△OAB为等边三角形
∴OA=OB
同理，AC=OC，即AB=AC=OB=OC
∴四边形ABOC为菱形
（3）
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；扇形面积的计算；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E
由(2)可知，△OAB为等边三角形
∴∠ABO=∠AOB=60°
∴∠AOD=120°
∵四边形ABOC为菱形
∴，∠BOC=180°-∠ABC=120°
∴∠AOC=60°
∵OA=OC
∴△OAC为等边三角形
∵OE⊥AC
∴
∴阴影部分面积=
故答案为【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABE=∠D，再根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△ADB，则，代值计算即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得∠BAE=90°，根据等边三角形判定定理可得△OAB为等边三角形，则OA=OB，同理，AC=OC，即AB=AC=OB=OC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E，根据等边三角形性质可得∠ABO=∠AOB=60°，根据补角可得∠AOD=120°，再根据菱形性质可得，∠BOC=180°-∠ABC=120°，则∠AOC=60°，根据等边三角形性质可得△OAC为等边三角形，解直角三角形可得OE，再根据阴影部分面积=，结合扇形面积及三角形面积即可求出答案.
19．（2025·罗湖模拟）如图1，与轴交于点，与轴交于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是拋物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接PA交直线BC于点，设的面积为面积为，若，求点P坐标
②如图2，拋物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)
将点C坐标代入表达式可得：3=a(0+1)(0-3)
解得：a=-1
∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
（2）解：①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N
易得BC的表达式为y=-x+3
∴M(t，-t+3)，N(-1，4)
∴PM=-t2+3t，AN=4
∵PM∥AN
∴
∴t2-3t+2=0，解得：t=1或t=2
∴P点坐标为(1，4)或(2，3)
②点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（2）②存在，理由如下
过点F作FG⊥OB于点G
∵y==-x2+2x+3的对称轴为x=1
∴OE=1
∵，
∴OC=OB=3
∵∠COB=90°
∴△OCB是等腰直角三角形
∵∠EFB=90°，BE=OB-OE=2
∴△EFB为等腰直角三角形
∴FG=GB=EG=1
∴点F的坐标为(2，1)
当EF为边时
∵四边形EFPQ为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2
当x=2时，y=-22+2×2+3=3
∴点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
∴点Q的坐标为(1，2)
根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形
当EF为对角线时
∵四边形PEQF为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
同理可得，点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
点Q的坐标为(1，-2)
综上所述，点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)，根据待定系数法将点C坐标代入表达式即可求出答案.
（2）①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N，求出BC的表达式，则M(t，-t+3)，N(-1，4)，根据两点间距离可得PM=-t2+3t，AN=4，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②过点F作FG⊥OB于点G，由题意可得OE=1，OC=OB=3，根据等腰直角三角形判定定理可得△OCB是等腰直角三角形，△EFB为等腰直角三角形，则FG=GB=EG=1，即点F的坐标为(2，1)，分情况讨论：当EF为边时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，则点P的横坐标与点F的横坐标同为2，即点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标，根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形；当EF为对角线时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理可得，点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标.
20．（2025·罗湖模拟）
（1）【新知探究】
对于正数，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：
的值 的值 的值
5 4
4 4
4 m
3
①表格中的 ▲ ；
②根据表格，猜想与的大小关系（　　）；
A B C D
③当满足条件： ▲ 时，；
（2）【理解应用】
①已知，，当 ▲ 时，代数式取得最大值是 ▲ ；
②如图1，已知，在Rt中，，，求周长的最大值．
（3）【拓展提升】
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，为CD边上的动点，PA交BD于，过点作交BC边于点，连AF交BD于点，则面积的最小值是 ▲ ．
【答案】（1）①
②C
③a=b
（2）①20；100
②解：设BC=a，AC=b
∴
∵
∴
∴
∴周长的最大值为
（3）
【知识点】二次根式的化简求值；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得
故答案为：
②由表格可得：
，即
故答案为：C
③当且仅当a=b时，
故答案为：a=b
（2）①∵
∴x-10>0，30-x>0
∴当x-10=30-x，即x=20时，代数值取得最大值为(20-10)(30-20)=100
故答案为：20；100
（3）连接AC交BD于点O，连接CE
由正方形对称性可得，AE=CE，∠BCE=∠BAE
∵正方形ABCD的边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD
∴
∵FE⊥AP
∴∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE
∴EF=EC=EA
∴∠EAF=45°
∵AO⊥BD，
∴
当OG=OE时，S△ACE最小
此时AO是GE的垂直平分线
∴AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°
∵OB=OD，AB=AD
∴△ABG≌△ADE
∴BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO
过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x
∵∠ABD=∠ADB=45°
∴
∴
解得：
∴
∴
∴面积的最小值为
【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
③根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据不等式性质可得x-10>0，30-x>0，再根据（1）中结论即可求出答案.
②设BC=a，AC=b，根据勾股定理可得，根据（1）中结论可得，则，即可求出答案.
（3）连接AC交BD于点O，连接CE，根据正方形性质可得AE=CE，∠BCE=∠BAE，AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD，根据勾股定理可得，则，根据角之间的关系可得∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE，则EF=EC=EA，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得，当OG=OE时，S△ACE最小，此时AO是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°，再根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△ADE，则BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO，过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程可得，则，即可求出答案.
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