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2025年河北省高考数学模拟训练（新高考Ⅰ）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.将表面积的圆锥沿母线将侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )
A. B. C. D.
6.设函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.若函数在区间上至少有个极值点，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 有一组数，，，，这组数的第百分位数是
B. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过
C. 随机变量，若，，则
D. 用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则，
10.函数的导函数在和上单调递增，在上单调递减，有且仅有两个零点，则以下命题是假命题的有
A. 是函数的极值点
B. 是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增
D. 在处切线的斜率小于零
11.已知正数，满足，则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的离心率为_________
13.已知曲线在点处的切线与在点处的切线平行，若点的纵坐标为，则点的纵坐标为 ．
14.从二项式的展开式中随机抽取一项，则该项的系数是奇数的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求；
若，求面积．
16.本小题分
已知椭圆：的中心为，直线与相交于，两点．
若线段中点的横坐标为，求；
在的条件下，若，求弦长的值；
点的坐标为，证明：．
17.本小题分
如图，在矩形中，，，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥，为中点．
求证： 平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
若，求在上的最大值和最小值；
若，当时，证明：恒成立；
若函数在处的切线与直线垂直，且对任意的恒成立，求的最大整数值．
19.本小题分
若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组不必考虑所有的有趣数组．
判断下列数组是否为的一列有趣数组，不需要说明理由；
；
．
过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：是有趣数，并找出的一列有趣数组；
从，，，中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【解答】解：由 ， ，
所以 ．
故选：
2.【答案】
【解析】解：复数满足，
．
故选：．
由复数满足，得，由此能求出结果．
本题考查复数的求法，考查复数的运算法则、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
又，，
所以，解得．
故选：．
由向量垂直得数量积为，再根据题设即可求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
4.【答案】
【解析】【解答】解：由题得 ，
解得 ，因为 ，则 ，
则 ，
解得 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，
设此圆锥的底面半径为，高为，母线长为．
则，化为：．
，可得．
解得：，．
．
该圆锥的轴截面的面积．
故选：．
设此圆锥的底面半径为，高为，母线长为可得，，联立解得：，即可得出该圆锥的轴截面的面积．
本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，则，即，解得；
当时，则，解得．
综上所述：实数的取值范围是．
故选：．
根据题意分类讨论，结合指、对数函数单调性解不等式即可．
本题考查分段函数的应用，考查指数不等式与对数不等式的解法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，即，．
所以第个极值点为，
令，得，
所以的取值范围是．
故选：．
根据极值点的概念，结合正弦函数型图象特征，构造不等式计算即可．
本题考查了正弦函数的图象与性质应用问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域，属于基础题．
由的定义域求得的定义域，根据的定义域及根式与分式的定义即可求解．
【解答】
解：因为函数的定义域为，
所以，所以，即的定义域为．
所以，解得
所以的定义域为．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以这组数的第百分位数是，故A错误；
对于，在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过，故B正确；
对于，随机变量，若，，
则，
解得，故C错误；
对于，对两边取对数，得，
即，
即，
因为，所以，
所以，，
所以，故D正确．
故选：．
根据百分位数的定义可判断，根据独立性检验的性质可判断，根据二项分布的期望公式和方差公式可判断，对两边取对数，结合对数的运算性质可判断．
本题主要考查了百分位数的定义，考查了独立性检验的应用，以及二项分布的期望公式和方差公式，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数在研究函数单调性，极值，属于基础题．
由已知条件可确定导数的正负区间，进一步确定函数的单调区间，即可判断得解．
【解答】
解：根据导函数的图像可知当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，
则是函数的极值点不是函数的最小值点从而确定真，假，真
函数在处的导数大于，即切线的斜率大于零，假
故选BD
11.【答案】
【解析】解：，对；
表示直线上的点与原点的距离，
则距离的最小值，对；
，，，
当时，取最大值，此时矛盾，错；
，
当且仅当
即时，等号成立，对．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，属于基础题．
【解答】
解：双曲线的焦点在轴上，，，
，则离心率为，
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，是中档题．
方法一：令，设，，依题意，得，易得的图象关于点中心对称，所以点与点关于点对称，可得的值；
方法二：令，易得在上单调递增，设其根为，得由题意得存在两实根，其中一个为，设另一个为，即两根为，，由韦达定理得，则，计算，可得结果．
【解答】
解：方法一：令，
则，设，，
依题意，所以，则，显然，
则，因为，
所以的图象关于点中心对称，
所以点与点关于点对称，
所以，则．
方法二：令，
因为，故在上单调递增，
令，设其根为，得．
由于在点处的切线与在点处的切线平行，
得存在两实根，其中一个为，设另一个为．
即两根为，，由韦达定理得，则，
从而
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：
，
展开式共项，其中有项的系数为奇数，故所求概率为．
故答案为：．
15.【答案】解：根据余弦定理，，所以．
方法一：根据正弦定理，
，
，
，
又，则，，
．
方法二：，
，
，即，
，
，
．

【解析】本题考查了正余弦定理、三角形面积公式等知识，属于中档题．
结合条件，根据余弦定理直接求解即可；
对条件借助正弦定理将“边”化“角”，或借助余弦定理，将“角”化“边”，都可求得，进而求得和面积．
16.【答案】解：设
联立直线和椭圆，整理可得
则，
又因为中点的横坐标为，即
解得或
在的条件下，若，则，
由韦达定理可得
根据弦长公式可得
要证，
只需证直线，的斜率互为相反数，即
已知，，，
则，
因为，，
所以
由韦达定理，，
代入上式得：
所以，即
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：证明：取中点，连接，，
因为在矩形中，，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
在中，，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面
取中点，连接，如图所示，
因为在矩形中，，，，
所以在中，，，且，
因为平面平面，且平面平面，平面
所以平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，并过点分别作与平行的直线为轴，与平行的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得：
，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
有，所以，取，得平面的一个法向量为，
又，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：当 时， ， ，
令 可得 ，故当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递增；
故 递减区间为 ，递增区间为 ，
函数 的极小值 是唯一的极小值，无极大值．
又 ，
在 上的最大值是 ，最小值是 ；
当 时，令 ，
．
当 时， ，则在上单调递增，
所以当 时， ，所以 恒成立．
因为函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，
所以 ，即 ，解得
所以 ．
因为对 ， 恒成立，
所以对 ， 恒成立．
设 ，则 ，
令 ，得 ．
当 即 时，
由 ，得 ；由 ，得 ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，需 ，得 ．
当 时， ，成立；当 时， ，不成立；当 时， 都不成立，
所以实数 的最大整数值为．
当 即 时，， ， 在上单调递增，
所以 ，符合题意．
综上，实数 的最大整数值为．

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可；
构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明；
根据导数的几何意义求出 ，将原问题转化为对 ， 恒成立，利用导数分类讨论研究 的性质求出 ，令 即可．
19.【答案】是；不是；
是有趣数，数组为；
概率为．
【解析】解：不是，因为数组中的任何两个都是比例关系；
是，因为数组中的任何两个都不是比例关系．
证明：直线的方程为，联立圆的方程可得，
由韦达定理可得，即，
于是，又点的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，，，其中，，，
若存在正整数和且，，使得，
那么，
因为，则有比例性质，
于是，，
故，则，矛盾故对任意正整数，，不存在正数，使得，
则是有趣数，的一列有趣数组为．
由可知是有趣数；由可知是有趣数；当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使最小的一组解．由于，故是的倍数，
若，，，为非负整数，则不可能是的倍数，矛盾，
同理可，，或，，或，也不成立．
若为的倍数，则也为的倍数，设，，
则，即，故为的倍数．
设，则有所以也是原方程的一组正整数解，
且，矛盾．因此方程，没有正整数解，则不是有趣数．当时，
由可知，则，
此时取，，，其中，，，由比例性质同理可知对任意正整数，，
不存在正数，使得，
则是有趣数．当时，过点作斜率为的直线交圆，
于另一点，则直线的方程为，联立圆的方程可得，
由韦达定理可得，即．
于是，又点的坐标满足圆的方程，
于是，
即取，，
其中，，，由比例性质同理可知：对任意正整数，，不存在正数，使得，
则是有趣数．当时，假设方程有正整数解，设是所有正整数解中使最小的一组解．
由于，故是的倍数，由时的分析可知和都是的倍数，
设，即，故：为的倍数．设，则有，
所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程也没有正整数解，则不是有趣数．因此，，，中的有趣数为，，，，
所求概率为．
题目中的“有趣数”要求存在无穷多组正整数解满足，且这些解之间成比例关系即存在基本解通过缩放生成所有解，判断数组是否为有趣数组：验证是否满足方程，解之间是否成比例，通过几何方法直线与圆交点生成满足条件的解，确定中的有趣数，计算组合概率．
本题考查数列的应用，属于难题．

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