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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题精选汇编（四）
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【解析】因为中，，
当时，；
当时，，用代替得：，
两式相减得：.
又，
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以.
所以，
由或.
所以数列中，有：，即数列中，最大，且.
故选：B
2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先证明：在处切线方程为,且整个函数图象都在切线上方.
,切线方程为,即为.
令,
在时,单调递减，在时,单调递增，
所以,当且仅当时取等号.
再证明：在处切线方程为，且整个函数图象都在切线下方.
,切线方程为,即为,
令,
在时,单调递增，在时,单调递增，
所以,当且仅当时取等号.
根据上述结论，在下面的讨论中可以采用数形结合方式研究函数恰有3个零点的条件.
设零点条件： 即 ,需分别分析 和 时方程的解数.
当 时：方程化简为 ，
即 即和.
分情况讨论：
当：方程 在 时有 3 个解
（分别来自 (两个)、 (一个)）.
当：和的解都是.
：方程在 时仅有 1 个解（来自 ）.
当 时：方程化简为 ，即 ,
即和.
分情况讨论：
：方程 和 各有1 个解.
：方程 无解， 一个解.
：
当 时方程 无解，有 1个解.
当 时 方程 和 都没有解.
总解数分析：
： 时 3 解， 时无解，总解数 3.
： 时 2 解， 时 1 解，总解数 3.
其他区间：解数不足 3，不符合条件.
故选：A.
3．（2025·广东深圳·二模）已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，
对A，，
，，故A正确；
，
，，故B正确；
，
，故C错误；
，，
，故D正确；
故选：C.
4．（2025·湖南长沙·一模）设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）.
A．ω(10)=2.
B．ω(16n+5)=ω(4n+3).
C．ω(8n+5)=ω(4n+5).
D．若n<256且ω(n)=3，则符合条件的n有56个.
【答案】C
【解析】，所以，故A项正确，
，
所以，，
所以 ，所以，
故B项正确;
， ，故，
即时，，故C项错误，
若且，由 ，
可知，时，有个，时，有个，时，
有个，…，时，有个，
共有，故D项正确.
故选：C.
5．（2025·湖南·一模）已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】由题知，函数的最小正周期满足，解得，
所以，
则，
由图象与轴的交点为得，则，
因为，所以，即，则，
所以图象与轴的交点为，
则，，
因为，所以，解得（负舍），所以，
所以，
所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，
则，
所以.
故选：D
6．（2025·湖南·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知是定义在上的奇函数，则.
当时，，那么，所以.
当时，，则，所以.
因此.
分情况讨论：
因为恒成立，所以.
由可得，即，解得.
又因为，所以不等式在上的解集为.
故选：A.
7．（2025·高二·江西九江·期末）已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由对称性，知轴，，，
四边形是正方形，则，，
则，，
则在双曲线上，
，即，
即，化简整理得，
即，所以，
即，又，故，
解得或（舍去）.
故选：C．
8．（2025·湖南湘潭·三模）设函数的两个极值点分别为，．则过，两点的直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，
故，满足，，
也即，．
而，同理，
故过，两点的直线斜率.
故选：A
9．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【解析】依题意，因为，则，
令，则，因为，所以，
又因为，则，即，
令，则，即，
令，则，所以，故得，
又；
又，
所以，即．
故选：C．
10．（2025·河北保定·一模）已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则，
函数在区间上有且仅有两个零点，
则与在上有两个交点，
则，且，
不妨设，则，
则
，
当时，有最小值.
则的最小值为.
故选：A
11．（2025·高二·安徽·阶段练习）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以
，
所以．
故选：D
12．（2025·广东汕头·二模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因时，，函数图象的对称轴为，当时函数在时取得极大值，
又因时，，由函数的性质，可知要使还有一个极值，必须使，
则由，可得.
故选：B.
13．（2025·全国I卷·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
14．（2025·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可知，设，则，,,
则由余弦定理可得
化简可得，故，（舍去），
又,
所以，化简可得，故，
故选：D
15．（2025·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，
容易知道图象是抛物线图象的上半部分，
记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：
则，
当且仅当在线段 上时，取最小值.
设这时点坐标为，又，
所以有，解得 ，即该点为，
所以，因此.
故选：A.
16．（2025·湖北·三模）已知，且，则下列可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为R，
，
所以函数为奇函数，
又，
所以函数在R上单调递增，
又，
所以可得： ，
画出的图像，
当，，时，不成立，
当时，可能成立，
故选：D
17．（2025·湖北·三模）已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】，如图1，动圆M与圆内切，与圆外切，
此时，，，
，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时，
故，故离心率为，
如图2，当动圆M与圆，均内切，
，
则
，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时，
故，故离心率为，
.
故选：B
18．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，当时，，
所以，函数在上单调递减，
因为，所以，
即，
因为、，所以，
即，
因为，则，
所以，或，解得或.
因此，的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
19．（2025·湖北·模拟预测）已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为、、，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．若函数，则在上有7个零点
D．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，依题意，，故A正确；
对于B，，故，，
记，则，
故，则①，
而②，联立①②可得，故B正确；
对于C，由B可知函数,
则，
在直角坐标系中分别作出，的图象如图所示，
观察可知，它们在上有6个交点，
即在上有6个零点，C错误；
对于D，，
故当时，，，
故，故D正确；
故选：ABD.
20．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有2个零点
B．若，则的解集为
C．在上有极小值
D．在上有极大值
【答案】BC
【解析】对于选项A：当时，由得，，
且，解得，所以有且仅有1个零点，故A错误；
对于选项B：当时，，且，
由得，解得，
所以的解集为，故B正确.
对于选项C：当时，且，由得或，
当时，；当时，.
①若，则，当时，；
可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，
所以在内有极小值；
②若，则，
当时，则，可知，
可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，
所以在内有极小值；
③若，当时，；当时，；
可知在的右侧附近单调递增，在左侧附近单调递减，
所以在有极小值；
④若，则，
当时，则，可知，
可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，
所以在内有极小值；
综上所述：在上有极小值，故C正确.
对于选项D：因为，
构建，可知，
构建，可得，
可知在上单调递增，则，
①若，则，即，可知在上单调递增，
则，且，
可知在上存在唯一零点，
当，，即；当，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以有极小值，无极大值；
②若，且，可知在上存在唯一零点，
当，，即；当，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且，且，
可知在上存在唯一零点，
当，，即；当，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以有极小值，无极大值；
综上所述：在上无极大值，故D错误
故选：BC.
21．（2025·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，令，则，解得，A错；
对于B选项，令，则，即，
所以，
令，，可得，即，
即，故，B对；
对于C选项，因为，
同理有，
所以，
因为不恒为零，所以，
令有，故函数为偶函数，C对；
对于D选项，令，则，
所以，可得，故函数的最大值为，D对.
故选：BCD.
22．（2025·广东深圳·二模）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对A，∵，∴，故A正确；
对B，∵，∴，故B正确；
对C，∵设，
，
增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确；
对于D，∵，
∴，故D错误；
故选：ABC.
23．（2025·湖南长沙·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（ ）
A．若，则M在内部
B．若，则M为的重心
C．若，则的面积是面积的
D．若，M为外接圆圆心，则
【答案】ABD
【解析】
对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知，
当时，M在内部，故A 正确；
对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确；
对于选项C，已知，
则
这说明M在线段BC上，且，那么，
因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比，
即的面积是面积的故C错误；
对于选项D M为外心，
故
，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
24．（2025·湖南长沙·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为，过 的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，中点为，的内切圆圆心分别为，半径分别为则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线 B．直线斜率存在时，
C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是
【答案】ABD
【解析】依题意，得得，
则
设点
对于A项，如图，设 的内切圆的切点为，
由双曲线的定义得， ，而，
得 而
得 又因为
得切点T与点B 重合，得点，则内心的横坐标为1，
同理可得，内心的横坐标也为1，得三点共线，故A项正确.
对于B项，由相减得，
得 即，故B项正确；
对于C项，设直线的倾斜角为，连接，
则
若 ，则 ，故C项错误；
对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为为，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以
令，则，则在单调递减，在单调递增，
故，
故 ，故D项正确.
故选：ABD
25．（2025·高二·江苏盐城·阶段练习）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．时，满足的点有2个 B．时，满足的点有4个
C．的周长等于 D．的最大值为a2
【答案】ABD
【解析】对和，
又
又
当时，，两个短轴端点恰能使，正确；
当时，，点位于短轴端点时，为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使，正确；
对，，的周长为，错误；
对，，，正确.
故选：.
26．（2025·湖南·一模）中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】A：，且，则，
若为锐角，则且，
此时，即；
若为钝角，则且，
此时，即；
综上，为直角三角形或钝角三角形，故A不满足题意；
B：，由正弦定理得，
即，得，
由，解得，又，所以，
即为直角三角形，故B符合题意；
C：由，得，
整理得，所以或，
即为等腰三角形或直角三角形，故C不符合题意；
D：，
，
即，由，得，
即，
，
得，所以或，解得或，
即为直角三角形，故D符合题意.
故选：BD
27．（2025·高二·广东深圳·期末）对于无穷数列，下列命题中正确的是（ ）
A．若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列
B．若等差数列满足，则是常数列
C．若等比数列满足，则是常数列
D．若各项为正数的等比数列满足，则是常数列
【答案】ABD
【解析】对于A选项，若数列既是等差数列又是等比数列.
对于等差数列，有（为公差）；对于等比数列，有（为公比且）.
若，那么，不是常数，这与等比数列性质矛盾.所以，即，所以是常数列，A选项正确.
对于B选项，等差数列满足.
设等差数列的公差为，若，当足够大时，会无限增大，不可能始终满足.
只有当时，，才能满足，所以是常数列，B选项正确.
对于C选项，等比数列满足.
例如等比数列，，当增大时，逐渐减小且始终小于等于，满足，但它不是常数列，C选项错误.
对于D选项，各项为正数的等比数列满足.
设等比数列的公比为（），.
若，当足够大时，会无限增大，不满足；
若，当足够大时，会无限趋近于，不满足.
所以只有，此时，满足，是常数列，D选项正确.
故选：ABD.
28．（2025·湖南湘潭·三模）定义域为R的函数满足：①，②的图象过点，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点中心对称 D．
【答案】AC
【解析】由①，，
对于A，令，，则，
由②可知，所以，解得，故A正确；
对于B，令，则，即，
故为奇函数，故B错误；
对于C，令，则，
即的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，由于且，
则有，即，
所以，，…，，故D错误，
故选：AC．
29．（2025·湖南湘潭·三模）记是的外接圆，且，，，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．圆O的周长为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为是的外接圆，所以是的外心，在的中垂线上，
若符合，则也应在的中垂线上，因为，故A错误；
对于B，因为是的外心，所以在的中垂线上，
所以，故B正确；
对于C，对等式两边同时乘以，则，
所以，
解得，故，，
所以的面积为，故C正确；
对于D，由余弦定理可得，解得，
由正弦定理，，
所以圆的半径为，其周长为，故D正确，
故选：BCD
30．（2025·河北·模拟预测）已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．点是的一个顶点
C． D．
【答案】ACD
【解析】如图1，当双曲线为焦点在轴上的标准方程时，
过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点，
则，，故A正确；
由题意知，双曲线中，渐近线即，其斜率为，
如图2，它与轴夹角的正切值，
解得或（舍），，
由A选项可知，，故C正确；
顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点，
，∴对称轴为，与双曲线在第一象限交于，
，故B不正确，D正确.
图1 图2
故选：ACD.
31．（2025·高三·河北·开学考试）欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
A． B．数列单调递增
C． D．数列的前项和小于
【答案】ACD
【解析】A选项，由题可知与4互质的数为1，3，则；与6互质的数为1，5，则；
与10互质的数为1，3，7，9，则，故，即A正确；
B选项，由A选项可知，，故数列不是单调递增数列，即B错误；
C选项，注意到，则从1到100，这100个整数中，被2整除的有50个，
被5整除的有20个，同时被2和5整除的有10个，则从1到100，这100个整数中，
不能被被2或5整除的数，即与100互质的数的个数为个，则，故C正确；
D选项，由C选项分析可知，与互质的数，就是从1到，这个整数中去掉所有的2的倍数.
其中2的倍数有个，则，同理可得.则，
即为首项为，公比为的等比数列，其前项和，故D正确.
故选：ACD
32．（2025·广东汕头·模拟预测）已知曲线，则（ ）
A．曲线位于直线、和围成的矩形框（含边界）里
B．曲线上存在与点的距离小于1的点
C．曲线关于轴对称
D．曲线所围成区域的面积大于4
【答案】ACD
【解析】由，
所以，，
所以曲线位于直线、和围成的矩形框（含边界）里，故A对；
设为曲线上任一点，所以P到的距离为：
，故B错；
对于曲线上任意点，其关于x轴对称点为，
把代入成立，曲线关于轴对称，故C对；
如图四边形在曲线C内部，根据图像的对称性可得，
又曲线位于直线、和围成的矩形框（含边界）里，
所以，
故曲线C所围成区域的面积大于，
故D对.
故选：ACD.
33．（2025·广东汕头·二模）已知函数的定义域为且，，则（ ）
A． B．
C．为的极小值点 D．是偶函数
【答案】AD
【解析】在中，
对于A，令，则，，A正确；
对于B，令，则，В错误；
对于C，若函数为，显然符合题意，此时无极小值点，C错误；
对于D，令，则，则，
令，则，故是偶函数，D正确．
故选：AD.
34．（2025·高三·江苏苏州·期末）如图，在长方体中，已知为棱的中点，为底面上（含边界）的一动点.记点轨迹的长度为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若平面，则
C．若，则
D．若到平面的距离为，则
【答案】ACD
【解析】
对于A，设在上的射影为，所以面，
又面，所以，则四点共面，
又面，所以，
又，面，
所以面，又面，即，
以为原点建系，由得，
设，则，
所以，解得，
所以可得，且点的轨迹是过点且平行于的线段，故，故A正确；
对于B，取的中点，所以，
又，，
又，
所以四边形是平行四边形，所以，
而面，面，
所以面，同理面，
又因为平面，
所以平面面，又平面，
所以，故B错误；
对于C，设在上的射影为，即面，
又面，所以，
易得，又，
所以可得，即点的轨迹是以点为圆心1为半径的半圆弧，
所以，故C正确；
对于D，以为原点建系，，设，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
，解得或，
即或，
所以点的轨迹为平面内的两条直线或被矩形所截得的线段，如图所示：
显然只有直线与矩形交于点，
即点的轨迹为线段，
所以可得，故D正确.
故选：ACD.
35．（2025·高三·江苏镇江·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的最小值是
C．存在唯一实数，使得是偶函数
D．在上有3个极大值点
【答案】ACD
【解析】对于A，，所以是的一个周期；
对于B，，故B错误；
对于C，若，
则，即，
所以，又，所以，经检验符合题意，故C正确；
对于D，设，
则，
令，
则在上的函数值小于0，
在上的函数值小于0，
故所有上面的极值点都是极大值点，
同时，，
，
所以在上各有一个极大值点，从而有三个极大值点，故D正确.
故选：ACD.
36．（2025·安徽·三模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．在区间上仅有2个零点
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以且，所以，
故的定义域为，故A正确；
对于B，因为函数和的最小正周期均为，
所以的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为函数在区间，上单调递减，
函数在区间上均单调递减，且值域为；
函数在区间上均单调递减，且值域为.
所以函数与在区间上均单调递增，
则在区间上单调递增，故C项错误；
对于D，令，则，解得，
在区间上有2个解，故D项正确．
故选：ABD．
37．（2025·安徽·三模）平面直角坐标系中，曲线上任一点，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ）
A．对于不同的值，曲线总是关于轴对称
B．当时，曲线经过原点
C．当时，的取值范围为
D．当时，轴上存在4个不同的点在曲线上
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，可知为线段的中点，
又动点满足，设动点关于轴对称的点为，
则，，可得，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对于B，当时，将原点代入，得，故B错误；
对于C，当时，，可得．
因为，即，解得，，
令，则，由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增，且，，可得，
所以，故C正确；
对于D，当时，设曲线在轴上的点为，由题意得，
因为曲线图象关于轴对称，不妨考虑的情形，
当时，方程化为，解得，
当时，方程化为，解得，
故时，轴上有2个点，所以轴上存在4个不同的点在曲线上，故D正确．
故选：ACD．
38．（2025·湖北·三模）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，动点在正方体表面运动，则（ ）
A．与为异面直线
B．与所成的角为
C．平面截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D．，则点轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确；
对于B，取的中点为，连接，如下图所示：
由正方体性质可知，又，所以，
因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角，
易知，满足，即，
所以，因此与所成的角为，即B正确；
对于C，分别取的中点为，连接各中点，如下图所示：
易知，，即可知在同一平面内，
所以平面截该正方体所得截面即为六边形，
又，所以截面形状为正六边形，即C错误；
对于D，因为为的中点，所以，
由可知，
即，因此可知共线，
所以点轨迹为过点且与平行的线段，
取的中点为，连接，取的中点，连接，如下图所示：
由正方体性质易知，又为的中位线，所以，；
因此点轨迹即为线段，且，
所以点轨迹长度为，可得D正确.
故选：ABD
39．（2025·湖北·三模）已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点则（ ）
A．当时，切线的方程为
B．当时，的面积为
C．点的坐标为
D．面积的最小值为
【答案】BD
【解析】令，可得，则，且，则，
所以曲线在点处的切线为，令，则，
综上，，，显然C错；
所以，令，则，
令且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以，故，D对；
当，则，，，且，则，A错；
所以的面积为，B对；
故选：BD
40．（2025·湖北十堰·三模）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型．如图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切点为，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面，为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于两点，且为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为，其底面圆的半径为，圆柱的半径为，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．点到圆锥底面的距离为
D．点到圆锥底面的距离为
【答案】ACD
【解析】对于A，过点作轴截面，为圆锥的母线与与圆柱的切点，为圆锥的高，为与圆柱的交点，
如图1，由题意可知，先计算，
又已知，.
因为，根据相似三角形对应边成比例，即.
已知，，，，由可得：.
因为，所以.
由可得：，化简同求OD过程类似，可得，所以A选项正确.
对于B，点到圆锥底面的距离即点到圆锥底面的距离，已知，
因为，，所以，C选项正确.
对于D，点到圆锥底面的距离即点到圆锥底面的距离，已知，
因为，，所以，D选项正确.
对于B，过点，，作截面，如图2所示，易得.
已知，，，则，所以B选项错误.
故选：ACD.
三、填空题
41．（2025·湖北·模拟预测）已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足，则周长的最大值为 .
【答案】
【解析】由正弦定理及外接圆半径可得，.
因为，，所以.
所以，
即.
因为，所以，而为三角形内角，故，
所以，且，
即可得，
故，故，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
故答案为：
42．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，与底面所成的角分别为和，已知，当四棱锥体积最小时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图，以A为原点，以AB、AD所在直线为x轴，y轴空间直角坐标系，
则，
设，P在平面的投影为，
因为PA与底面的夹角，所以，
PC与底面的夹角，
所以，
由，
即，
所以点P在底面的投影P'的轨迹是一个圆，圆心在，半径，
因为，
当四棱锥体积最小时，此时最小，
表示圆的点到原点距离，
而，所以原点在圆内，
所以圆上的点到原点的最小距离为半径减去原点到圆心的距离，
所以的最小值为，
所以，
所以当四棱锥体积最小时，P的坐标为，
因为正方形的外接圆的圆心即为交点O，半径为，
所以四棱锥外接球的球心为，则球心到A和P的距离相等，
则，
解得，所以球心为，半径为，
所以外接球的表面积公式为：,
故答案为:
43．（2025·广东深圳·二模）将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 ．
【答案】
【解析】分两种情况讨论：
（1）第一步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第二步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第三步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第四步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为种；
（2）第一步，抽号卡片，
第二步，从、、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第三步，从、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第四步，从、号卡片抽取一张，有种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为种.
而从张卡片随意抽取，不同的抽法种数为，
因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为.
故答案为：.
44．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由不等式，可得，
要使得不等式对任意成立，
可得分为两种情况：
（1）不等式且对任意成立，
由不等式恒成立，即，可得；
由不等式恒成立，即在恒成立，
令，可得恒成立，
所以在上单调递增，所以，则，所以；
（2）方程且有相同的解，即且的零点重合，
由，可得，将代入，可得，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
45．（2025·高二·湖北·期中）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以，
依题意，函数在上有两个变号零点，由，得，
令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点，
而，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，又，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
46．（2025·湖南·三模）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素.
【答案】921
【解析】先说明连续11项中集合中最多选取5项，
以为例.
构造抽屉，，，，，，.
①同时选，因为具有性质和，
所以选5则不选；选6则不选；选7则不选；
则只剩，故中属于集合的元素个数不超过5个.
②选2个，
若只选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则只能从中选，但不能同时选，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
③中只选1个，
又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个，
如取.
因为，则把每11个连续自然数分组，前184组每组至多选取5项，余一个数2025.
给出如下选取方法：从中选取；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造184次.
此时集合的元素为：；；；；
，共个元素，而取也满足题意，
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个.
故答案为：921.
47．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 （写出对应编号）．
①； ②；
③； ④．
【答案】①③④
【解析】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点，
结合函数图象可知，
对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确；
对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误；
对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确；
对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确．
故答案为：①③④.
48．（2025·广东汕头·模拟预测）围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是 位数，它的个位数字是 .（参考数据：）
【答案】 173 3
【解析】因为，
所以，
因为，则，
所以为位数，
由，其个位数分别为以为周期循环往复，
因为，
故的个位数与的个位数相同，即的个位数为.
故答案为：；
49．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球体积的最小值为 ．

【答案】
【解析】如图，取中点，连接，则，，
又，，平面，则平面，
因为平面，则，
又，，，平面，
所以平面，
所以三棱锥的外接球球心必在过的中心且平行于的直线上，
且，
设，则，，
设三棱锥的外接球半径为，则有，
当时，，
故三棱锥外接球体积的最小值为．
故答案为：.
50．（2025·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】直线：即，过定点
直线：即，过定点
又，故，
则点在以线段为直径的圆上，
即点的轨迹为，即，
假设存在点，使恒成立，设
则，整理得，
与的轨迹对照得，解得，
即存在点，使，即，
所以，
即的最小值为.
故答案为：.
51．（2025·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且，
则，，，于是，
以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
令，由，，得，，，
则，化简得，
因此点在以为圆心，为半径的圆上，
当最小时，最小，即三棱锥的体积最小，
此时，，，，
因此点在底面上的射影在上，且，又，
显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点，
外接球的半径，表面积为.
故答案为：
52．（2025·湖北·三模）已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为.若对于抛物线上的一点的最小值为5，则的值等于 .
【答案】
【解析】①如图，若点在抛物线的张口外部，即，即，
则当点三点共线时，有最小值，最小值为，
因，则，解得或，
均不符合题意；
②如图，若点在抛物线的张口内部，即，即，
过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线，
则由抛物线的定义可知，，
所以当三点共线时，有最小值，
则，得，符合题意，
故的值等于.
故答案为：
53．（2025·湖北·三模）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种.
【答案】
【解析】由，得到或，
若，，即前次跳跃，次向左，次向右，
后面次跳跃全部向右，有种，
若，，即前次跳跃，次向右，次向左，
后面次跳跃次向左，次向右，有种，
所以满足的跳跃方法有种，
故答案为：.
54．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，
由圆的几何性质可知，，
且，即，即，
当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值，
故.
故答案为：.
55．（2025·湖北十堰·三模）已知函数，若存在实数、、，使得，且、、成等差数列，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
函数的图象是保留函数在上的图象，并去除函数在上的图象，
再将函数在上的图象关于轴翻折，可得到函数的图象，
作出函数的图象如下图所示：
当时，方程的解分别为、、、，
因为，所以，、、为、、、中的三个数，
因为、、成等差数列，且，
所以，、、对应的数为、、或、、，
根据对称性，不妨取、、为对应的、、，
因为，所以，因为，所以，
因为，所以，
令，则，
因为函数为减函数，且，
所以，方程的解为，即，解得，，故.
故答案为：.
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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题精选汇编（四）
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·广东深圳·二模）已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·湖南长沙·一模）设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）.
A．ω(10)=2.
B．ω(16n+5)=ω(4n+3).
C．ω(8n+5)=ω(4n+5).
D．若n<256且ω(n)=3，则符合条件的n有56个.
5．（2025·湖南·一模）已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
A． B．0 C． D．
6．（2025·湖南·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·高二·江西九江·期末）已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·湖南湘潭·三模）设函数的两个极值点分别为，．则过，两点的直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
10．（2025·河北保定·一模）已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·高二·安徽·阶段练习）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（ ）
A． B．5 C． D．
12．（2025·广东汕头·二模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·全国I卷·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
14．（2025·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·湖北·三模）已知，且，则下列可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2025·湖北·三模）已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
18．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
19．（2025·湖北·模拟预测）已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为、、，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．若函数，则在上有7个零点
D．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为
20．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有2个零点
B．若，则的解集为
C．在上有极小值
D．在上有极大值
21．（2025·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的最大值为
22．（2025·广东深圳·二模）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2025·湖南长沙·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（ ）
A．若，则M在内部
B．若，则M为的重心
C．若，则的面积是面积的
D．若，M为外接圆圆心，则
24．（2025·湖南长沙·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为，过 的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，中点为，的内切圆圆心分别为，半径分别为则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线 B．直线斜率存在时，
C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是
25．（2025·高二·江苏盐城·阶段练习）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．时，满足的点有2个 B．时，满足的点有4个
C．的周长等于 D．的最大值为a2
26．（2025·湖南·一模）中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
27．（2025·高二·广东深圳·期末）对于无穷数列，下列命题中正确的是（ ）
A．若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列
B．若等差数列满足，则是常数列
C．若等比数列满足，则是常数列
D．若各项为正数的等比数列满足，则是常数列
28．（2025·湖南湘潭·三模）定义域为R的函数满足：①，②的图象过点，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点中心对称 D．
29．（2025·湖南湘潭·三模）记是的外接圆，且，，，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．圆O的周长为
30．（2025·河北·模拟预测）已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．点是的一个顶点
C． D．
31．（2025·高三·河北·开学考试）欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
A． B．数列单调递增
C． D．数列的前项和小于
32．（2025·广东汕头·模拟预测）已知曲线，则（ ）
A．曲线位于直线、和围成的矩形框（含边界）里
B．曲线上存在与点的距离小于1的点
C．曲线关于轴对称
D．曲线所围成区域的面积大于4
33．（2025·广东汕头·二模）已知函数的定义域为且，，则（ ）
A． B．
C．为的极小值点 D．是偶函数
34．（2025·高三·江苏苏州·期末）如图，在长方体中，已知为棱的中点，为底面上（含边界）的一动点.记点轨迹的长度为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若平面，则
C．若，则
D．若到平面的距离为，则
35．（2025·高三·江苏镇江·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的最小值是
C．存在唯一实数，使得是偶函数
D．在上有3个极大值点
36．（2025·安徽·三模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．在区间上仅有2个零点
37．（2025·安徽·三模）平面直角坐标系中，曲线上任一点，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ）
A．对于不同的值，曲线总是关于轴对称
B．当时，曲线经过原点
C．当时，的取值范围为
D．当时，轴上存在4个不同的点在曲线上
38．（2025·湖北·三模）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，动点在正方体表面运动，则（ ）
A．与为异面直线
B．与所成的角为
C．平面截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D．，则点轨迹长度为
39．（2025·湖北·三模）已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点则（ ）
A．当时，切线的方程为
B．当时，的面积为
C．点的坐标为
D．面积的最小值为
40．（2025·湖北十堰·三模）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型．如图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切点为，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面，为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于两点，且为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为，其底面圆的半径为，圆柱的半径为，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．点到圆锥底面的距离为
D．点到圆锥底面的距离为
三、填空题
41．（2025·湖北·模拟预测）已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足，则周长的最大值为 .
42．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，与底面所成的角分别为和，已知，当四棱锥体积最小时，其外接球的表面积为 .
43．（2025·广东深圳·二模）将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 ．
44．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 .
45．（2025·高二·湖北·期中）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 .
46．（2025·湖南·三模）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素.
47．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 （写出对应编号）．
①； ②；
③； ④．
48．（2025·广东汕头·模拟预测）围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是 位数，它的个位数字是 .（参考数据：）
49．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球体积的最小值为 ．

50．（2025·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ．
51．（2025·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 .
52．（2025·湖北·三模）已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为.若对于抛物线上的一点的最小值为5，则的值等于 .
53．（2025·湖北·三模）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种.
54．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
55．（2025·湖北十堰·三模）已知函数，若存在实数、、，使得，且、、成等差数列，则 ．
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