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6.2 平行四边形的判定
课时1 根据边的关系判定平行四边形
刷基础
知识点1 用两组对边分别平行判定平行四边形
1[2024 河南郑州调研]小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是 ( )
A.①② B. ①④ C.②④ D.②③
2[2024内蒙古呼和浩特模拟]如图，在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2,求证:四边形ABCD 是平行四边形.
知识点2 用两组对边分别相等判定平行四边形
[2023 四川绵阳期中]四边形的四条边的比值依次如下，那么是平行四边形的为( )
A.1:2:2:1 B.1:3:1:3
C.1:1:4:4 D.1:2:3:4
4已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足 则此四边形是
( )
A.长方形 B.等腰梯形
C.正方形 D.平行四边形
[2024广东佛山禅城区期末]如图，点A，B在直线l上，D为直线l外一点，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点 C,连接CD,BC,则四边形ABCD 是平行四边形的理由是 .
6[2023 河南开封期中]如图,在△ABC 中,AB=AC=7cm,D是BC上的一点,且DE=AF,DF=AE,则四边形AEDF 的周长为 .
知识点3 用一组对边平行且相等判定平行四边形
7新考向开放性试题如图，在四边形ABCD 中，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点 E,F.请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF 为平行四边形，你添加的条件是 .
8如图,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连接AD.求证:四边形ABED是平行四边形.
易错点 混淆平行四边形的判定条件出错
下列四个选项中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )
A. AB=CD,AC=BD
B.∠A=∠B,∠B=∠C
C. AB=CD,AD∥BC
D. AB∥CD,∠A=∠C
刷提升
1[2024 河北保定高碑店期末,中]如图,△ABC2和△ACD是两个完全相同的三角形，AB=CD，BC=AD,将△ACD 沿直线l向右平移到△EFG的位置，点A 对应点E，且点 E，C不重合，连接BE,CG,有下列结论:①以点 B,E,C,G为顶点的四边形总是平行四边形；②当 BE 最短时，BC⊥CG.下列判断正确的是 ( )
A.只有结论①正确B.只有结论②正确
C.结论①②都正确D.结论①②都不正确
2[中]如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD=9cm,BC=6cm,点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A 向点D 运动，同时点Q在BC边上，以每秒 1 cm的速度从点 C 向点 B 运动，设点P，Q运动的时间为t秒.当直线 PQ 在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，t= ( )
A.2 B.2或3 C.2或4 D.4
3[2024 安徽亳州质检，较难]如图，在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=BD=5,∠AOB=120°,则AB+CD 的最小值为( )
A.8 B.10 C.5 D.3
4[中]在平面直角坐标系中,O(0,1),A(3,0),B(5,3),点C在第一象限,若以O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形，则点 C 的坐标为 .
5[2023 浙江温州期中，中]如图，在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC边的中点,延长CD至点G,使 DG=CD,以DG,DE 为边向平行四边形ABCD 外构造平行四边形DGME，连接BM交AD 于点N,连接FN.若DG=DE=2,∠ADC=60°,则 FN的长为 .
6[中]如图,已知△ABC 是等边三角形,D,E分别在边 BC,AC上,且CD=CE,连接DE 并延长至点F,使EF=AE,连接AF,BE和CF.
(1)求证:△BDE≌△FEC.
(2)判断四边形ABDF的形状，并说明理由.
7核心素养推理能力[2024 北京海淀区校级期中，较难]如图，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC上的任意一点(不与点B，C重合)，以AD为边作等边△ADE,过点 C 作CF∥DE交AB于点 F,连接EF.
(1)若点 D 是BC边的中点(如图(1)),求证:EF=CD;
(2)若点 D 是BC边上的任意一点,如图(2),那么(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
课时2 根据对角线关系判定平行四边形
刷基础
知识点1 利用对角线互相平分判定平行四边形
[2023河北石家庄模拟]嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形ABCD 是平行四边形，嘉嘉给出的条件是AB∥CD,AO=CO;
琪琪给出的条件是△AOD≌△COB.
则下列判断正确的是 ( )
A.嘉嘉可以，琪琪不可以
B.嘉嘉不可以，琪琪可以
C.两人都可以
D.两人都不可以
2[2024 河北沧州校级一模]已知△ABC(如图(1))，按图(2)、图(3)所示的尺规作图痕迹(不需借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 ( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,AO=OC,BD=16cm,则当OB= cm时，四边形ABCD 是平行四边形.
4[2023 重庆永川区期中]如图，四边形ABCD 的对角线交于点 O,从下列条件:①AD∥BC;②AB=CD;③AO=CO;④∠ABC=∠ADC;⑤∠BAC=∠DCA 中选出两个可使四边形ABCD 是平行四边形的条件，则你选择的两个条件是 .(填写一组序号即可)
5[2023 北京海淀区期中]如图,在 ABCD中,连接BD，取BD中点O，过点O 作直线EF，分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)连接BE,DF,求证:四边形 BFDE 是平行四边形.
6[2024江西赣州期末]如图，四边形ABCD 是平行四边形,BE=CD.
(1)若∠DAE=60°,求∠BAD 的度数;
(2)若 BF⊥AE,求证:四边形 ACED 是平行四边形.
知识点2 根据角的关系判定平行四边形
7下列关于平行四边形的命题中，错误的是 ( )
A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8下列∠A:∠B:∠C:∠D 的值中,能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )
A.1:2:3:4 B.1:4:2:3
C.1:2:2:1 D.3:2:3:2
课时3 平行线之间的距离
刷基础
知识点平行线之间的距离
1[2023 浙江杭州期中]如图,已知l ∥l ,AB∥CD,CE⊥l ,FG⊥l ,下列说法错误的是 ( )
A. l 与l 之间的距离是线段 FG的长度
B. CE=FG
C.线段CD 的长度就是l 与l 两条平行线间的距离
D. AC=BD
2平行四边形的周长为25，对边的距离分别为2，3，则这个平行四边形的面积为 ( )
A.15 B.25
C.30 D.50
3[2023 河南洛阳期中]已知直线a,b,c,d在同一平面内,且a∥b∥c,d⊥a,d与a,b,c分别交于点A,B,C,AB=5cm,BC=2cm,则a与c的距离是 ( )
A.3cm B.7cm
C.3cm或7cm D.以上都不对
[2024云南文山校级调研]如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD 的面积为 .
5在 ABCD中,∠A=45°,BC=2,则AB与CD之间的距离为 .
6如图，两条宽度分别为2和4的纸条交叉放置，重叠部分为四边形 ABCD,若AB·BC=100,则四边形ABCD 的面积是 .
7[2024 天津和平区校级期末]如图,在 ABCD中,DE⊥AB 于点E,DF⊥BC于点 F,若 ABCD的周长为48,DE=5,DF=10.
(1)求AB 和CD 之间的距离及AD 和BC 之间的距离.
(2)求平行四边形ABCD的面积.
8如图,在△ABC中,BC=6cm.射线AG∥BC,点E从点 A 出发沿射线 AG 以2cm /s的速度运动，当点E 先出发1s后，点F也从点B 出发沿射线 BC以 的速度运动，分别连接AF，CE.设点 F 运动时间为 ts,其中t>0.
(1)当t为何值时,AE=CF
(2)当t为何值时，
2 平行四边形的判定
课时1 根据边的关系判定平行四边形
刷基础
C 【解析】∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃.故选 C.
2.【证明】· ∴四边形ABCD 是平行四边形.
3. B 【解析】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴比值中能反映对边相等的只有1:3:1:3,∴A、C、D选项不符合题意,B选项符合题意.故选B.
4. D 【解析】根据 得 则 ，所以此四边形是平行四边形.故选 D.
5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】根据尺规作图的画法可得， .四边形ABCD 是平行四边形，故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
6.14cm 【解析】∵ DE=AF,DF=AE,∴ 四边形AEDF 是平行四边形,∴ DE∥AC,∴ ∠C=∠EDB.又∵ AB=AC=7 cm,∴ ∠B=∠C,∴∠B=∠EDB,∴DE=BE,∴四边形AEDF的周长为2(DF+DE)= 2(AE+BE)= 2AB=14 cm.故答案为14 cm.
7. AE=CF(答案不唯一) 【解析】∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF.当添加条件AE=CF时,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形AECF为平行四边形.
8.【证明】∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.
∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF 中,
又
∴四边形ABED 是平行四边形.
刷易错
9. D 【解析】A 选项, 不能判定四边形ABCD 是平行四边形，此选项错误；B选项， 不能判定四边形ABCD 是平行四边形，此选项错误；C选项， 不能判定四边形ABCD是平行四边形，此选项错误；D选项， ∴四边形ABCD 是平行四边形，此选项正确.
刷提升
1. A 【解析】∵ ∴ 四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC.由平移的性质得,EG∥AD,GE=AD,∴ EG∥BC,GE=BC,∴以点 B，E，C，G为顶点的四边形总是平行四边形,∴①正确.当 BE 最短时,BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠BEG=∠BEC+∠CEG>90°. ∵ 四边形 BEGC 是平行四边形,∴∠BCG=∠BEG,∴∠BCG>90°,∴BC 与 CG不垂直，∴②错误.故选 A.
2. B 【解析】依题意,得CQ=t,BQ=6-t,AP=2t,PD=9-2t.
①当BQ=AP 时,四边形APQB 是平行四边形,即6-t=2t,解得t=2.
②当CQ=PD 时,四边形CQPD 是平行四边形,即t=9-2t,解得t=3.所以当t=2或3时,直线PQ在四边形ABCD 内部截出一个平行四边形.故选B.
3. C 【解析】如图,过点 B作BE∥CD,过点 C作CE∥BD,BE,CE相交于点E,连接AE,过点C作CM⊥AE于点 M,则四边形BDCE 是平行四边形,∠ACE=∠AOB=120°,∴ CD=BE,BD=CE.∵AB+CD=AB+BE>AE,∴当A,B,E三点在同一条直线上时，AB+CD 取得最小值.∵AC=BD = 5,∴ AC = CE. ∵ CM ⊥AE, 由勾股定理得 即AB+CD的最小值为 故选C.
4.(2,4)或(8,2) 【解析】∵点C在第一象限,∴分两种情况，如图所示.
①当OB 为对角线时，BC∥OA,BC=OA,四边形OABC 是平行四边形.∵ O(O,1),A(3,0),B(5,3),∴把点B向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到点C，∴点C的坐标为(2,4);②当AB为对角线时,BC'∥OA,BC'=OA,四边形OAC'B 是平行四边形.∵O(O,1),A(3,0),B(5,3),∴把点B 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点C'，∴点C'的坐标为(8,2).综上所述,若以O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形，则点 C 的坐标为(2,4)或(8,2).故答案为(2,4)或(8,2).
【解析】如图，连接EF,AF.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD = BC.∵点E,F分别是AD,BC边的中点,∴AE=DE=BF=CF,∴四边形ABFE,四边形CDEF是平行四边形.∵DG=DE=2,DG=DC,四边形DGME 是平行四边形,∴ AE=EF=AB=ME=2.∵ EF∥CD,∴∠AEF=∠ADC=60°,∴△AEF 是等边三角形.∵ME∥CD,EF∥CD,∴M,E,F 三点共线,∴MF∥AB,∴∠MEN=∠BAN. 在 △EMN 和 △ABN 中,
故答案为
6.(1)【证明】∵ △ABC 是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°.∵CD=CE,∴△EDC 是等边三角形,∴ DE=CE,∠EDC=∠DEC=60°=∠AEF,∴∠BDE=∠FEC=120°.∵ AE=EF,∴△AEF 是等边三角形,∴AE=EF=AF.
∵CD=CE,∴BC-CD=AC-CE,∴BD=AE.又∵EF=AE,∴BD=FE.
在△BDE与△FEC中, ∴△BDE≌△FEC(SAS).
(2)【解】四边形ABDF 是平行四边形.
理由:由(1)知△AEF 和△EDC都为等边三角形,∴∠AFE=∠FDC=60°,∴AF∥BD.∵AF=AE=BD,∴四边形ABDF 为平行四边形.
刷素养
7.(1)【证明】∵ △ABC 是等边三角形,D 是 BC边的中点，
∴AD⊥BC,且
∵△AED是等边三角形,∴AD=AE,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°.
∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°.
∵ ∠ACB=60°,∴ ∠ACF=∠ACB--∠FCB=30°,∴∠ACF=∠BAD=30°.
在△ABD和△CAF中 ∴△ABD≌△CAF(ASA),∴AD=CF.∵ AD=ED,∴ED=CF.又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD.
【解】成立. 证明如下:∵ ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB.∵ ∠AFC=∠B+∠BCF= ∠EDB,∴∠AFC=∠BDA.在△ABD 和△CAF中
∴AD=FC.∵AD=ED,∴ ED=CF.又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD
课时2 根据对角线关系判定平行四边形
刷基础
1. C 【解析】嘉嘉给出的条件是AB∥CD,AO=CO,∴ ∠BAO = ∠DCO, ∠ABO = ∠CDO,∴△ABO≌△CDO(AAS),∴BO=OD.∵AO=CO，∴四边形ABCD 是平行四边形，嘉嘉给出的条件可以.琪琪给出的条件是△AOD≌△COB,∴BO=OD,AO=CO,∴四边形ABCD是平行四边形，琪琪给出的条件也可以.故选C.
2. C 【解析】由作图可知 MN 垂直平分线段AC,OB=OD,∴OA=OC,∴四边形ABCD 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).故选C.
3.8 【解析】∵AO=OC,∴当 8cm时，四边形ABCD是平行四边形.故答案为8.
4.①③(答案不唯一) 【解析】选择①③.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.在△AOD和△COB 中,
∴OB=OD.∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.故答案为①③(答案不唯一).
5.【证明】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB.
∵O为BD 中点,∴OD=OB.
在△OED和△OFB中 ∴△OED≌△OFB(AAS),∴OE=OF.
(2)由(1)得,OE=OF.
∵OD=OB,∴四边形BFDE 是平行四边形.
6.(1)【解】∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB=60°.
∵BE=CD,∴AB=BE,
∴ △ABE 是等边三角形,
∴∠BAE=60°,
∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=120°.
(2)【证明】由(1)知,AB=BE,
∴ △ABE 是等腰三角形.
又∵BF⊥AE,∴AF=EF.
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(ASA),∴DF=CF,
∴ 四边形ACED 是平行四边形.
7. B 【解析】A选项，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；B选项，一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，符合题意；C选项，一组对边平行，一组对角相等可通过证明得到另一组对边平行或另一组对角相等，故该四边形是平行四边形，正确，不符合题意；D选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意.故选 B.
8. D 【解析】因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形,∠A 和∠C 是对角,∠B 和∠D是对角，所以只有选项D符合.故选D.
课时3 平行线之间的距离
刷基础
1. C 【解析】∵ 于点G,∴l 与l 两平行线间的距离就是线段FG的长度，故A 选项正确. 于点E， 于点 G,∴CE∥FG,∴四边形 CEGF 是平行四边形,∴CE=FG,故B 选项正确. 于点E，∴l 与l 两平行线间的距离就是线段CE 的长度.在 Rt△CED 中,CD>CE,故 C 选项错误. ∴ 四边形ABDC 是平行四边形,∴AC=BD,故D选项正确.故选C.
2. A 【解析】设平行四边形两邻边长分别为x，y(x>y),则2(x+y)=25,2x=3y,联立解得 y=5.故平行四边形的面积为 3×5=15.故选 A.
3. C
4.20 【解析】如图,作DG⊥BE 于G,AH⊥BE于H.∵AD∥BC,∴AH=DG.∵AB∥CD,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴ BC=AD=5.
∵BE=8,∴ CE=3.∵ △DCE 的面积为 6,
∴DG=4,∴四边形 ABCD 的面积为 BC×AH=20.
【解析】如图,过点D作DE⊥AB于E.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2.
∵ ∠A=45°,DE⊥AB,∴∠A=∠ADE=45°,
故答案为
【解析】依题意,得AB∥CD,AD∥BC,|则四边形 ABCD 是平行四边形.过点 A 作AE⊥BC交BC 于点E,过点 D 作DF⊥AB 交BA的延长线于点 F,∴AE=2,DF=4,∴BC·AE=AB·DF,即 BC=2AB. 又∵AB·BC=l 四边形ABCD 的面积为 故答案为
7.【解】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴AB 和 CD 之间的距离为DE=5,AD 和BC之间的距离为DF=10.
(2)∵ ABCD的周长为48,∴AB+BC=24.又∵ 10BC,∴AB=2BC,∴2BC+BC=24,∴BC=8,
8.【解】(1)分两种情况讨论：
①点F 在点 C 的左侧时,AE=CF,则2(t+ 解得
②点 F 在点 C 的右侧时,AE=CF,则2(t+ 解得
(2)∵AG∥BC,∴AG与BC 之间的距离处处相等,∴ 当 BF+AE∴当 时，

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