资源简介

5.4 分式方程
课时1 分式方程
刷基础
知识点1 分式方程的定义
[2023江西抚州调研]下列关于x的方程( = ;②x- =2- (ab≠0);( 中，分式方程有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2已知等式 是分式方程，则a的取值范围是 .
知识点2 由实际问题抽象出分式方程
3某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务.问原计划每天完成多少套桌凳 设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是 ( )
4[2023 浙江衢州模拟]小宇妈妈上午在某水果超市买了16.5元的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄在打7.5折降价处理，小宇妈妈又买了16.5元的葡萄，结果恰好比早上多了0.5千克.若设该水果店早上葡萄的价格是x元/千克，则 ( )
[2023 浙江杭州萧山区模拟]如图，边长为a(a为常数)的大正方形剪去4个边长为x的小正方形，做成一个无盖纸盒.若无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，则根据题意可列出关于x的分式方程为 ( )
6新素材[2024山西运城一模改编]2024年山西省新的中考政策中，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作.为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7 560元，购买双目显微镜用了4 860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台.若设购进单目显微镜y台，则可列方程为 .
易错点 找不准等量关系、忽略单位致错(
7甲、乙两地相距600 km，提速前动车的速度为v km/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20 min，则可列方程为 ( )
课时2 解分式方程
知识点1 解分式方程
1[2024福建漳州校级质检]解分式方程 时，去分母化为一元一次方程，正确的是 ( )
A. x+3=2 B. x-3=2
C. x-3=2(3x-1) D. x+3=2(3x-1)
2[2024河南驻马店平舆期末]若分式方程 的解为x=2，则a的值是 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3方程 的解为 .
4[2023 山 东 威 海 文 登 区 调 研 ]已知 点 和点 关于原点对称，则x的值为 .
5[2024甘肃武威校级期末]解方程：
知识点2 分式方程的增根
6关于x的分式方程 的增根为( )
A. x=-1 B. x=0 C. x=-2 D. x=1
7[2023 河北邢台信都区质检]已知关于x的分式方程 无解，则m的值是( )
A.1或-1 B.1或3 C. D.1
2024 北京大兴区校级期末]关于x的分式方程 有增根 x=2,那么 k=
[2023 四川宜宾调研]已知关于x的方程/
(1)m为何值时，这个方程的解是5
(2)m为何值时，这个方程有增根
易错点去分母时漏乘常数项而算错
10以下是小明同学解方程 的过程.
【解】方程两边同时乘x-3，
得1-x=-1-2.…第一步
解得x=4.…第二步
检验:当x=4时,x-3=4-3=1≠0.…第三步所以原分式方程的解为x=4.…第四步
(1)小明的解法从第 步开始出现错误；
(2)写出解方程 的正确过程.
刷提升
[2023山东济南钢城区期中，中]已知关于x的分式方程 的根为负数，则k的取值范围是 ( )
且k≠0
2[2023 重庆渝中区质检，中]关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是 ( )
A.13 B.15 C.18 D.20
3[2024河北衡水质检，中]对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号 min{a,b}表示a,b中较小的值,如 min{2,4}=2,按照这个规定,方程 的解为 ( )
B. x=2
或x=2 D. x=1
4[2024湖南娄底调研，中]数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：do，mi，so.研究15，12，10这三个数的倒数发现： ，此时我们称15，12，10为一组调和数，现有三个数:6,4,x(x>4),若要组成调和数,则x的值为 .
5新考法[2024江苏扬州校级质检，较难]已知： 可转化为 解得
可转化为 解得 可转化为 4，解得 根据以上规律，关于x的方程 (m为常数)的解为 (用含m的代数式表示).
6[2023 陕西西安调研，中]解方程：
7核心素养运算能力[较难]探索发现：
根据你发现的规律，回答下列问题：
(2)利用你发现的规律计算：
(3)灵活 利 用 规 律 解 方 程:
课时3 分式方程的实际应用
刷提升
1[2024山东德州平原模拟，中]某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3 000 米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，进行施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程 根据此方程，题中用“……”表示的缺失的条件为 ( )
A.实际每天比原计划多铺设10 米，结果延期15天才完成任务
B.实际每天比原计划少铺设10 米，结果延期15天才完成任务
C.实际每天比原计划多铺设10 米，结果提前15天完成任务
D.实际每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成任务
2新考法[2024 浙江温州校级质检，较难]一个人步行从 A 地出发，匀速向 B 地走去.同时另一个人骑摩托车从 B 地出发，匀速向 A 地行驶.二人在途中相遇，骑摩托车者先把步行者送到B地，再向 A 地驶去，这样他在途中所用的时间是他从 B 地直接驶往 A 地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是 ( )
A.2:1 B.3:1 C.4:1 D.5:1
3[2023 江苏苏州期末，中]某汽车测评机构对A款电动汽车与B 款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每千米充电费用比B款燃油汽车平均每千米燃油费用少0.6元.当充电费用和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油汽车的4 倍，则A款电动汽车平均每千米充电费用为 元.
[中]在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控 A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛.已知乙每时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%.
(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每时各能收割多少亩水稻
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少时
5[较难]某商店准备购买 A，B两种商品， ，并且花费300 元购买 A 商品和花费100 元购买B商品的数量相等.
请先在横线上补充条件：从“①购买 1 个 A 商品比购买1个B商品多花10元”和“②A，B 两种商品各购买1个共需20元”这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题.
(1)求购买一个A商品和一个B 商品各需要多少元.
(2)商店准备购买 A，B两种商品共80个，若A商品的数量不少于 B商品数量的4倍，并且购买A，B两种商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，则该商店有哪几种购买方案
4 分式方程
课时1 分式方程
刷基础
1. B 【解析】
①④ 分母中含未知数x，是分式方程
分母中虽然有字母，但不表示未知数，② 所以不是分式方程
③⑤ 分母中不含未知数，不是分式方程
【解析】根据分式方程的定义，知分母中含有未知数，即 故答案为
3. C 【解析】若原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成( 套.根据原计划完成的时间-实际完成的时间： 天，可得 故选 C.
4. B 【解析】根据题意，得 故选B.
5. A 【解析】∵无盖纸盒的底面积为 表面积为 无盖纸盒的底面积与表面积之比为3:5, 故选 A.
【解析】由题意得，购进单目显微镜y台，则购进双目显微镜 台，可列方程为
刷易错
7. A 【解析】提速前动车的速度为v km/h,则提速后动车的速度为1.2v km/h.根据等量关系：提速后行车时间比提速前减少20 min，可得方程为
课时2 解分式方程
刷基础
1. C 【解析】原方程变形为 方程两边都乘 得 故选C.
2. C 【解析】∵分式方程 的解为x= 即 解得a=-1,经检验， 是方程的解,∴a=-1.故选C.
思路分析|解分式方程的一般步骤
去分母→求整式方程的解→检验→得出结论
【解析】方程两边同乘 得4x-8+2= 解得 .检验:当x=4 时, 4是原方程的解，∴原方程的解为.
4.3【解析】∵点 和点 关于原点对称， 0，解得x=3.经检验，x=3是原方程的解.
5.【解】 解得x=3.
检验:当x=3时, ，故x=3是原方程的解.
-3x,解得x=-7.
检验:当x=-7时,x-3≠0,
所以x=-7是原方程的解.
6. D 【解析】∵原分式方程有增根，∴最简公分母x-1=0,解得x=1.故选D.
7. A 【解析】解方程 去分母,得x-2m=3m(x-2),整理得(1-3m)x=-4m.
∵分式方程 无解，
∴1-3m=0或x=2,解得
将x=2代入(1-3m)x=-4m,解得m=1.
综上,m=1或
8.-1 【解析】 方程两边同乘(x+2)(x-2),可得( 关于x的分式方程 有增根. ∴把x=2代入( 可得 4,解得k=-1.故答案为-1.
9.【解】(1)∵方程的解是5,
∴把x=5代入
得
解得m=3.
两边都乘(
得
整理得3x-12=m.
∵方程有增根,∴x=3或x=4.当 时,m= 3×3-12=-3;
当x=4时,m=3×4-12=0,
∴m的值为-3或0.
刷易错
10.【解】(1)小明的解法从第一步开始出现错误.
故答案为一.
(2)方程两边同时乘 得 3),解得
检验：当 时，
所以原分式方程的解为
刷提升
1. C
2. A 【解析】解分式方程得x=a-2.∵x>0且x≠3,∴a-2>0且a-2≠3,∴a>2且a≠5.解不等式组，得 不等式组的解集为 且a≠5,∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6=13,故选 A.
3. B 【解析】当 即x>0时，方程化为 去分母得2=6-2x,解得x=2,经检验,x=2是分式方程的解；当 即x<0时,方程化为 去分母得5=6-2x,解得x=0.5(舍去).综上,方程的解为x=2.故选 B.
4.12或 【解析】分两种情况考虑：①x>6时，根据题意得 去分母得4x=3x+12,解得 经检验， 是分式方程的解，且符合题意；( 时，根据题意得 解得 经检验， 是分式方程的解，且符合题意.综上，x的值为 12 或 故答案为12或
【解析】由题意可得，一般性规律为关于x的方程 的解为 关于x的方程 (m为常数), 2 故答案为
6.【解】原方程可化为 即 移项，得 通分，得 48, 解得 经检验， 是原方程的解.
刷素养·
7.【解】 故答案为
(2)原式
解得 经检验， 为原方程的根.
课时3 分式方程的实际应用
刷提升
1. C 【解析】因为实际每天铺设管道x米，所以x-10表示原计划每天铺设管道长度，所以方程 表示原计划用的时间-实际用的时间=15 天.所以缺失的条件为实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务.故选 C.
2. B 【解析】设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为v，A、B两地相距s.由题意，得 解得 .即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是3：1.故选 B.
3.0.2 【解析】设A 款电动汽车平均每千米充电费用为x元，则B款燃油汽车平均每千米燃油费用为 元.根据题意得 解得 经检验， 是所列方程的解，且符合题意，∴A 款电动汽车平均每千米充电费用为0.2元.故答案为0.2.
4.【解】(1)设甲操控 A 型号收割机每时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每时收割(1-40%)x亩水稻.依题意得 0.4,解得x=10,经检验, 是原方程的解，且符合题意， (亩).
答：甲操控 A 型号收割机每时收割10 亩水稻，乙操控B型号收割机每时收割6亩水稻.
(2)设安排甲收割 y 时，则安排乙收割 时.依题意 解得y≤4.
答：最多安排甲收割4时.
5.【解】选①(任选一个作答).(1)设购买一个B商品需要x元，则购买1 个 A 商品需要(x+10)元.根据题意，得 解得x=5.
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
答：购买一个 A 商品需要15 元，购买一个 B商品需要5元.
(2)设购买B商品 m个,则购买 A 商品(80-m)个.根据题意，得 解得15≤m≤16.∵m为整数,
∴m=15或16,
∴商店有两种购买方案.方案一：购买 A 商品65个,B 商品15 个;方案二:购买 A 商品64个,B商品16个.

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